คณิตศาสตร์สำหรับกลศาสตร์ 2

แผนที่คณิตศาสตร์: โจทย์แบบนี้ ใช้อะไร?

บทนี้อ่านเรียงตั้งแต่ต้นได้ หรือเปิดเฉพาะหัวข้อที่ติดขัดจากลิงก์ในหน้าเฉลย สัญลักษณ์ $x$ อาจหมายถึงพิกัด แต่เมื่อใช้กับสปริงต้องตรวจว่าเป็น ระยะจากจุดสมดุล หรือไม่ และทุกอนุพันธ์ต้องบอกให้ได้ว่ากำลังเปลี่ยนเทียบกับตัวแปรใด

1. หน่วย มิติ และเลขนัยสำคัญ

หน่วยเป็นส่วนหนึ่งของคำตอบ เช่น $x=3,\mathrm{m}$ กับ $x=3,\mathrm{cm}$ ต่างกัน 100 เท่า ก่อนแทนค่าให้ใช้หน่วยชุดเดียวกัน ความเร็วต้องแปลงทั้งตัวเศษและตัวส่วน:

$$72\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}=72\times\frac{1000\,\mathrm{m}}{3600\,\mathrm{s}}=20\,\mathrm{m/s}.$$

เขียน $[Q]$ แทนมิติของ $Q$ โดย $M,L,T$ แทนมวล ความยาว และเวลา กฎนิวตันให้ $[F]=MLT^{-2}$ ดังนั้น

$$[W]=[F][x]=ML^2T^{-2},\qquad [P]=[W]/[t]=ML^2T^{-3}.$$

$$[I]=ML^2,\qquad [L_{\mathrm{angular}}]=[r][p]=ML^2T^{-1}.$$

บวกหรือลบได้เฉพาะปริมาณที่มีมิติเดียวกัน เช่น $v_0+at$ ใช้ได้เพราะทั้งสองพจน์มีมิติ $LT^{-1}$ ส่วน $v_0+a$ ใช้ไม่ได้ นอกจากนี้อาร์กิวเมนต์ของ $\sin,\cos,\exp,\ln$ ต้องไร้มิติ: $\cos(\omega t)$ จึงกำหนดให้ $[\omega]=T^{-1}$

ถ้า $x(t)=2t+t^2$ และใช้ $x$ เป็นเมตร $t$ เป็นวินาที ค่าสัมประสิทธิ์ต้องหมายถึง $(2\,\mathrm{m/s})t+(1\,\mathrm{m/s^2})t^2$ ไม่ใช่จำนวนไร้หน่วยทุกตัว เก็บเลขทศนิยมระหว่างทางให้มากพอ แล้วค่อยปัดคำตอบสุดท้ายตามข้อมูลโจทย์

2. พีชคณิตที่ช่วยให้ไม่หลงระหว่างทาง

ย้ายข้างทีละการกระทำ

จากทฤษฎีบทงาน–พลังงาน ให้ทำการกระทำเดียวกันกับสองข้างเสมอ:

$$W=\frac12 mv_f^2-\frac12 mv_i^2.$$ $$\frac{2W}{m}=v_f^2-v_i^2\quad\Rightarrow\quad v_f^2=v_i^2+\frac{2W}{m}.$$

ถ้าต้องการ อัตราเร็ว ให้ใช้ $v_f=\sqrt{v_i^2+2W/m}$ ซึ่งไม่ติดลบ ถ้าต้องการความเร็วแบบมีทิศ สมการพลังงานเพียงอย่างเดียวให้ได้เพียงขนาด ต้องใช้ข้อมูลทิศการเคลื่อนที่เพิ่ม ถ้าปริมาณใต้รากติดลบ แปลว่าตำแหน่งปลายทางนั้นเข้าถึงไม่ได้ภายใต้สมมติฐานที่ใช้

สมการกำลังสองและการเลือกราก

$$at^2+bt+c=0\quad\Rightarrow\quad t=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\quad(a\ne0).$$

ตัวอย่าง $t^2-6t+2=0$ ให้ $t=3\pm\sqrt7$ ถ้าโจทย์ใช้แบบจำลองเฉพาะช่วง $0\le t\le3$ รากที่ใช้ได้มีเพียง $3-\sqrt7\approx0.354$ อย่าทิ้งรากเพียงเพราะมันมีเครื่องหมายลบอยู่หน้าสัญลักษณ์ราก ต้องดูค่าจริงและช่วงเวลา

อัตราส่วนลดความผิดพลาดจากการแทนเลข

ถ้า $I_i\omega_i=I_f\omega_f$ หารด้วย $I_f\omega_i$ จะได้

$$\frac{\omega_f}{\omega_i}=\frac{I_i}{I_f}.$$

เมื่อ $I_f=I_i/2$ อัตราส่วนเป็น $2$ แต่พลังงานการหมุนใช้ $K=\frac12 I\omega^2$ จึงต้องรวมการเปลี่ยนของ ทั้ง $I$ และ $\omega$:

$$\frac{K_f}{K_i}=\frac{I_f}{I_i}\left(\frac{\omega_f}{\omega_i}\right)^2=\frac12(2)^2=2.$$

เอกลักษณ์ที่พบบ่อยคือ $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ และ $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ พจน์ $2ab$ ห้ามหายไปเมื่อขยายกำลังสอง

3. เรเดียน ตรีโกณมิติ และการฉาย

เรเดียนนิยามจาก $\theta=s/r$ จึงได้ $s=r\theta$ เมื่อ $\theta$ วัดเป็นเรเดียน และ $180^\circ=\pi\,\mathrm{rad}$ ดังนั้น $30^\circ=\pi/6$ ค่าที่ควรใช้ได้คล่อง:

ถ้าเวกเตอร์ขนาด $A$ ทำมุม $\theta$ วัดจากแกน $+x$ จะมีองค์ประกอบ

$$A_x=A\cos\theta,\qquad A_y=A\sin\theta,\qquad A^2=A_x^2+A_y^2.$$

cosine เลือกด้านประชิดมุม ส่วน sine เลือกด้านตรงข้ามมุม การใช้ $\sin$ หรือ $\cos$ จึงต้องดูว่ามุมวัดจากแกนใด ไม่ใช่จำว่าแกน $x$ ใช้ cosine ทุกกรณี

แขนโมเมนต์คือระยะ ตั้งฉาก จากจุดอ้างอิงถึงแนวแรง: $d_\perp=r|\sin\theta|$ ตัวอย่างแรง $10\,\mathrm N$ กระทำที่ $r=2\,\mathrm m$ และ $\theta=30^\circ$ ให้ $d_\perp=1\,\mathrm m$ และขนาดทอร์ก $10\,\mathrm{N\,m}$

4. เวกเตอร์ ฐาน และขนาด

ฐานคาร์ทีเซียน $\hat{\mathbf i},\hat{\mathbf j},\hat{\mathbf k}$ มีขนาดหนึ่งและตั้งฉากกัน:

$$\mathbf A=A_x\hat{\mathbf i}+A_y\hat{\mathbf j}+A_z\hat{\mathbf k},\qquad |\mathbf A|=\sqrt{A_x^2+A_y^2+A_z^2}.$$

บวกเวกเตอร์โดยบวกองค์ประกอบที่อยู่บนแกนเดียวกัน เช่น $(2,-1,3)+(1,4,-2)=(3,3,1)$ เวกเตอร์หน่วยตามแนว $\mathbf A$ คือ $\hat{\mathbf A}=\mathbf A/|\mathbf A|$ ใช้ได้เมื่อ $\mathbf A\ne\mathbf0$

เวกเตอร์ตำแหน่ง ขึ้นกับจุดอ้างอิง ถ้าอนุภาคอยู่ $\mathbf r$ และจุดอ้างอิงใหม่อยู่ $\mathbf a$ เทียบกับจุดเดิม ระยะจากจุดใหม่ถึงอนุภาคคือ $\mathbf r'=\mathbf r-\mathbf a$ ข้อนี้สำคัญเมื่อหาทอร์กหรือโมเมนตัมเชิงมุม

5. Dot product: เลือกส่วนที่ขนานกัน

$$\mathbf A\cdot\mathbf B=A_xB_x+A_yB_y+A_zB_z=AB\cos\theta.$$

ผลลัพธ์เป็น สเกลาร์ และ $\mathbf A\cdot\mathbf B=\mathbf B\cdot\mathbf A$ ถ้าตั้งฉากกันผลเป็นศูนย์ ถ้าทิศสวนกันมากกว่า $90^\circ$ ผลติดลบ

ตัวอย่าง $\mathbf F=(3,4)\,\mathrm N$ และ $\Delta\mathbf r=(2,-1)\,\mathrm m$:

$$W=\mathbf F\cdot\Delta\mathbf r=(3)(2)+(4)(-1)=6-4=2\,\mathrm J.$$

อย่าใช้ $|\mathbf F||\Delta\mathbf r|$ โดยลืม cosine และอย่าเปลี่ยนองค์ประกอบติดลบให้เป็นบวกก่อนทำ dot product สำหรับแรงแปรตามตำแหน่งต้องนำ $\mathbf F\cdot d\mathbf r$ ไปอินทิเกรต

6. Cross product: ขนาด พื้นที่ และทิศ

ผลคูณไขว้เป็น เวกเตอร์ ตั้งฉากกับเวกเตอร์ต้นทางทั้งสอง:

$$\mathbf A\times\mathbf B=\begin{vmatrix}\hat{\mathbf i}&\hat{\mathbf j}&\hat{\mathbf k}\\A_x&A_y&A_z\\B_x&B_y&B_z\end{vmatrix}.$$

ขยาย determinant ตามแถวแรก โดยเครื่องหมายเป็น $+,-,+$:

$$\mathbf A\times\mathbf B=(A_yB_z-A_zB_y)\hat{\mathbf i}+(A_zB_x-A_xB_z)\hat{\mathbf j}+(A_xB_y-A_yB_x)\hat{\mathbf k}.$$

ตัวอย่าง $\mathbf r=(1,2,-1)$ และ $\mathbf p=(3,-1,2)$:

$$L_x=(2)(2)-(-1)(-1)=3,$$ $$L_y=(-1)(3)-(1)(2)=-5,$$ $$L_z=(1)(-1)-(2)(3)=-7.$$

จึง $\mathbf L=(3,-5,-7)$ ตรวจด้วย dot product: $\mathbf L\cdot\mathbf r=3-10+7=0$ และ $\mathbf L\cdot\mathbf p=9+5-14=0$ ทั้งสองค่าเป็นศูนย์ตามที่ควรเป็น

ขนาดคือ $|\mathbf A\times\mathbf B|=AB|\sin\theta|$ ส่วนทิศใช้กฎมือขวา สลับลำดับแล้วกลับเครื่องหมาย: $\mathbf B\times\mathbf A=-\mathbf A\times\mathbf B$ ในระนาบ $xy$ ใช้ $\tau_z=xF_y-yF_x$ และ $L_z=xp_y-yp_x$ ได้โดยตรง

7. อนุพันธ์: ความชันและอัตราการเปลี่ยน

$$f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}h.$$

ในฟิสิกส์ $v=dx/dt$, $a=dv/dt$, $\omega=d\theta/dt$, $\alpha=d\omega/dt$ ความชันบอกอัตราเปลี่ยน ไม่ใช่ค่าของฟังก์ชันเอง กราฟตำแหน่งเป็นบวกจึงไม่ได้แปลว่าความเร็วเป็นบวก

กฎลูกโซ่: อนุพันธ์ชั้นนอก คูณอนุพันธ์ชั้นใน

$$\frac{d}{dt}f(g(t))=f'(g(t))g'(t).$$

ให้ $x=A\cos(\omega t+\phi)$ โดย $A,\omega,\phi$ คงที่ เริ่มจากอนุพันธ์ cosine เป็นลบ sine แล้วคูณอนุพันธ์ของ $\omega t+\phi$ ซึ่งเป็น $\omega$:

$$v=-A\omega\sin(\omega t+\phi),\qquad a=-A\omega^2\cos(\omega t+\phi)=-\omega^2x.$$

กฎผลคูณและผลหาร

$$\frac{d(uv)}{dt}=u\frac{dv}{dt}+v\frac{du}{dt},\qquad \frac{d}{dt}\left(\frac uv\right)=\frac{v\dot u-u\dot v}{v^2}.$$

เมื่อ $I$ เปลี่ยนตามเวลา ต้องใช้ $d(I\omega)/dt=I\dot\omega+\omega\dot I$ ไม่ใช่ $I\alpha$ เพียงพจน์เดียว อีกตัวอย่างที่ใช้ใน work–energy คือ

$$a=\frac{dv}{dt}=\frac{dv}{dx}\frac{dx}{dt}=v\frac{dv}{dx}.$$

ความสัมพันธ์นี้ใช้ตามช่วงการเคลื่อนที่ที่เขียน $v$ เป็นฟังก์ชันของ $x$ ได้ ต้องระวังจุดวกกลับซึ่งมีมากกว่าหนึ่งทิศการเคลื่อนที่ที่ตำแหน่งเดียวกัน

8. อินทิกรัล: รวมทีละชิ้นและเก็บเครื่องหมาย

อินทิกรัลไม่จำกัดเขตให้ปฏิยานุพันธ์พร้อมค่าคงที่ ส่วนอินทิกรัลจำกัดเขตให้ผลสะสมระหว่างปลายทาง:

$$\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\quad(n\ne-1),\qquad \int_a^bf(x)\,dx=F(b)-F(a).$$

$$\int\frac{dx}{x}=\ln|x|+C,\qquad\int e^{cx}\,dx=\frac{e^{cx}}c+C\quad(c\ne0).$$

ถ้า $F_x=6-2x$ ในหน่วย SI งานจาก $x=0$ ถึง $4$ คือ

$$W=\int_0^4(6-2x)\,dx=[6x-x^2]_0^4=(24-16)-(0-0)=8\,\mathrm J.$$

เชิงเรขาคณิต ช่วง $0\to3$ เป็นสามเหลี่ยมบวกพื้นที่ $\frac12(3)(6)=9$ และช่วง $3\to4$ เป็นสามเหลี่ยมลบพื้นที่ $-\frac12(1)(2)=-1$ จึงรวมได้ $8$ เช่นกัน

เปลี่ยนตัวแปรและเปลี่ยนขอบเขตพร้อมกัน

หา $\int_0^\infty e^{-t/T}\,dt$ เมื่อ $T>0$: ให้ $u=t/T$ จึง $dt=T\,du$ และขอบเขตยังเป็น $0\to\infty$

$$\int_0^\infty e^{-t/T}\,dt=T\int_0^\infty e^{-u}\,du=T[-e^{-u}]_0^\infty=T(0+1)=T.$$

Integration by parts

มาจากกฎผลคูณ: $d(uv)=u\,dv+v\,du$ ดังนั้น $\int u\,dv=uv-\int v\,du$ ตัวอย่าง $\int t e^{-ct}dt$ เลือก $u=t$, $dv=e^{-ct}dt$ จะได้ $du=dt$, $v=-e^{-ct}/c$ แล้ว

$$\int t e^{-ct}dt=-\frac{te^{-ct}}c-\frac{e^{-ct}}{c^2}+C.$$

ตรวจทุกปฏิยานุพันธ์ได้ด้วยการหาอนุพันธ์ย้อนกลับ

9. พารามิเตอร์และ Line integral

เมื่อเส้นทางโค้ง ให้ตัวแปรเดียว $t$ บอกตำแหน่งทั้งสามแกน: $\mathbf r(t)=(x(t),y(t),z(t))$ ตัวแปรนี้อาจเป็นเวลา หรือเป็นเพียงพารามิเตอร์ไร้หน่วยก็ได้

$$d\mathbf r=\mathbf r'(t)\,dt,\qquad W=\int_{t_a}^{t_b}\mathbf F(\mathbf r(t))\cdot\mathbf r'(t)\,dt.$$

ทำตามลำดับ แทนเส้นทางในสนาม → หาอนุพันธ์เส้นทาง → dot product → อินทิเกรต เช่น สนาม $\mathbf F=(y,x)$ และทาง $\mathbf r(t)=(t,t^2)$, $0\le t\le1$:

$$\mathbf F(\mathbf r(t))=(t^2,t),\qquad\mathbf r'(t)=(1,2t),$$ $$\mathbf F\cdot\mathbf r'=t^2+2t^2=3t^2,\qquad W=\int_0^13t^2dt=[t^3]_0^1=1.$$

หากเส้นทางแบ่งหลายช่วง ให้คำนวณแต่ละช่วงด้วยทิศจริงแล้วบวกงาน การกลับทิศเดินบนเส้นเดิมทำให้อินทิกรัลเปลี่ยนเครื่องหมาย ไม่ควรใช้ $ds$ ซึ่งเป็นระยะบวกแทนเวกเตอร์ $d\mathbf r$ โดยไม่ฉายแรงก่อน

10. อนุพันธ์ย่อยและ Gradient

อนุพันธ์ย่อยคือเปลี่ยนตัวแปรหนึ่งโดยตรึงตัวอื่นไว้ เช่น $U(x,y)=x^2y+3y^2$:

$$\frac{\partial U}{\partial x}=2xy,\qquad \frac{\partial U}{\partial y}=x^2+6y.$$

ตอนหาอนุพันธ์ตาม $x$ ถือ $y$ คงที่ แต่ตอนหาอนุพันธ์ตาม $y$ ต้องถือ $x$ คงที่ Gradient รวมความชันทุกแกน:

$$\nabla U=\frac{\partial U}{\partial x}\hat{\mathbf i}+\frac{\partial U}{\partial y}\hat{\mathbf j}+\frac{\partial U}{\partial z}\hat{\mathbf k},\qquad \mathbf F=-\nabla U.$$

จึง $\mathbf F=(-2xy,-x^2-6y)$ สำหรับตัวอย่างข้างต้น โดยค่าสัมประสิทธิ์ต้องมีหน่วยให้ $U$ เป็นพลังงาน เวกเตอร์ $\nabla U$ ชี้ทางที่ $U$ เพิ่มเร็วที่สุด ส่วนแรงชี้ทางลด $U$ และตั้งฉากกับเส้นระดับ $U=\text{constant}$ ณ จุดที่ gradient ไม่เป็นศูนย์

สร้างพลังงานศักย์กลับจากแรง

ถ้า $F_x=2xy$, $F_y=x^2+2y$ ให้เริ่ม $\partial U/\partial x=-2xy$ แล้วอินทิเกรตตาม $x$:

$$U=-x^2y+g(y).$$

ค่าคงที่ของการอินทิเกรตตาม $x$ อาจยังเป็นฟังก์ชันของ $y$ จึงต้องเขียน $g(y)$ จากนั้นเทียบอีกแกน:

$$-\frac{\partial U}{\partial y}=x^2-g'(y)=x^2+2y\Rightarrow g'(y)=-2y\Rightarrow g(y)=-y^2+C.$$

จึง $U=-x^2y-y^2+C$ ตรวจทั้งสององค์ประกอบของแรงก่อนจบ

11. Curl และเหตุใดต้องดูโดเมน

$$\nabla\times\mathbf F=\begin{vmatrix}\hat{\mathbf i}&\hat{\mathbf j}&\hat{\mathbf k}\\\partial_x&\partial_y&\partial_z\\F_x&F_y&F_z\end{vmatrix}.$$

สนามสองมิติ $\mathbf F=(P,Q,0)$ ที่ไม่ขึ้นกับ $z$ ให้เพียงองค์ประกอบ

$$(\nabla\times\mathbf F)_z=\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}.$$

สำหรับ $\mathbf F=(y,x)$ ได้ $1-1=0$ ส่วน $\mathbf F=(-y,x)$ ได้ $1-(-1)=2$ จึงมีการหมุนเวียนเฉพาะที่

Curl เป็นศูนย์เป็นเงื่อนไขเฉพาะที่ การสรุปว่ามีพลังงานศักย์ค่าเดียวทั่วโดเมนต้องมีเงื่อนไขเรื่องความเรียบและโดเมนที่ไม่มีช่องโหว่ที่เกี่ยวข้อง ตัวอย่าง

$$\mathbf F=\left(-\frac{y}{x^2+y^2},\frac{x}{x^2+y^2}\right)$$

นิยามไม่ได้ที่จุดกำเนิด แม้ curl เป็นศูนย์นอกจุดนั้น แต่บนวงกลมหน่วย $\mathbf r(t)=(\cos t,\sin t)$, $0\le t\le2\pi$:

$$\mathbf F(\mathbf r(t))=(-\sin t,\cos t)=\mathbf r'(t),\quad \oint\mathbf F\cdot d\mathbf r=\int_0^{2\pi}1\,dt=2\pi\ne0.$$

จึงห้ามใช้แค่คำว่า “curl = 0” แล้วข้ามการตรวจบริเวณที่สนามนิยาม

12. สมการเชิงอนุพันธ์และเงื่อนไขเริ่มต้น

สมการเชิงอนุพันธ์บอกความสัมพันธ์ระหว่างฟังก์ชันกับอัตราการเปลี่ยน การหาคำตอบต้องหา ทั้งรูปฟังก์ชันและค่าคงที่จากข้อมูลเริ่มต้น

แบบแยกตัวแปร: การลดแบบเอ็กซ์โพเนนเชียล

$$\frac{dL}{dt}=-\gamma L\quad(\gamma>0).$$

สำหรับ $L_0\ne0$ และก่อนจะหารต้องทราบว่าคำตอบไม่ผ่านศูนย์ในเวลาจำกัด แยกตัวแปรแล้วใช้ขอบเขต:

$$\int_{L_0}^{L(t)}\frac{dL'}{L'}=-\gamma\int_0^tdt'\Rightarrow\ln\left|\frac{L(t)}{L_0}\right|=-\gamma t.$$

เครื่องหมายของ $L$ คงตามค่าเริ่มต้น จึง $L(t)=L_0e^{-\gamma t}$ กรณี $L_0=0$ มีคำตอบ $L(t)=0$ โดยตรง สำหรับแรงหน่วงเชิงมุม $\tau=-k\omega$ และ $I$ คงที่ จะมี $\gamma=k/I$

SHM: สมการอันดับสอง

$$\ddot x+\omega^2x=0\quad\Rightarrow\quad x(t)=C\cos\omega t+D\sin\omega t.$$

หาอนุพันธ์ $v=-C\omega\sin\omega t+D\omega\cos\omega t$ แล้วแทน $t=0$:

$$C=x_0,\qquad D=\frac{v_0}{\omega},\qquad x(t)=x_0\cos\omega t+\frac{v_0}{\omega}\sin\omega t.$$

สมการอันดับสองต้องการข้อมูลเริ่มต้นสองค่า ถ้า $\omega^2$ เปลี่ยนเป็นค่าลบจริง รูปคำตอบจะไม่ใช่การสั่น sine/cosine แต่เกี่ยวข้องกับ exponential ซึ่งสอดคล้องกับสมดุลไม่เสถียร

13. แอมพลิจูด เฟส และการเลือกควอดแรนต์

เทียบ $x=C\cos\omega t+D\sin\omega t$ กับ $A\cos(\omega t+\phi)$ โดยขยาย cosine ของผลบวก:

$$A\cos(\omega t+\phi)=A\cos\phi\cos\omega t-A\sin\phi\sin\omega t.$$

จึง $C=A\cos\phi$ และ $D=-A\sin\phi$ ยกกำลังสองแล้วบวก:

$$A=\sqrt{C^2+D^2}=\sqrt{x_0^2+\left(\frac{v_0}{\omega}\right)^2}.$$

$$\cos\phi=\frac{x_0}{A},\qquad\sin\phi=-\frac{v_0}{A\omega},\qquad\phi=\operatorname{atan2}\left(-\frac{v_0}{\omega},x_0\right).$$

atan2(y,x) รับทั้งองค์ประกอบเพื่อรักษาควอดแรนต์ เช่น $x_0<0$ และ $v_0<0$ ให้ cosine ติดลบและ sine เป็นบวก จึงต้องอยู่ควอดแรนต์ II การใช้ $\arctan(y/x)$ อย่างเดียวอาจให้มุมต่างไป $\pi$ หาก $A=0$ ระบบหยุดที่สมดุลและเฟสไม่มีความหมายเฉพาะ

14. Taylor expansion และเสถียรภาพ

ใกล้ $x_0$ เขียน $\xi=x-x_0$ แล้วขยายฟังก์ชันที่เรียบพอ:

$$U(x_0+\xi)=U(x_0)+U'(x_0)\xi+\frac12U''(x_0)\xi^2+\cdots.$$

ที่สมดุล $U'(x_0)=0$ ถ้า $U''(x_0)>0$ และ $\xi$ เล็กพอ พจน์กำลังสองครองพฤติกรรม:

$$F\approx-U''(x_0)\xi,\qquad m\ddot\xi=-U''(x_0)\xi,\qquad \omega=\sqrt{\frac{U''(x_0)}m}.$$

ถ้า $U''(x_0)<0$ การกระจัดเล็ก ๆ ถูกผลักออกจากสมดุล ถ้า $U''(x_0)=0$ ยังสรุปไม่ได้ ต้องดูพจน์อันดับสูงกว่า เช่น $U=x^4$ มี minimum ที่ศูนย์แต่ไม่มีพจน์สปริงเชิงเส้น ขณะที่ $U=-x^4$ ไม่เสถียร

ตัวอย่าง $U=ax^4-bx^2$ เมื่อ $a,b>0$:

$$U'=4ax^3-2bx=2x(2ax^2-b)=0\Rightarrow x_0=0,\ \pm\sqrt{\frac b{2a}}.$$ $$U''=12ax^2-2b.$$

ที่ศูนย์ $U''=-2b<0$ แต่ที่ minimum สองจุด $U''=12a(b/2a)-2b=4b$ จึง $\omega=\sqrt{4b/m}$ สำหรับการสั่นเล็ก

การประมาณลูกตุ้มใช้ $\sin\theta=\theta-\theta^3/6+\cdots$ เมื่อ $|\theta|\ll1$ โดยใช้เรเดียน ขนาดของพจน์ที่ละทิ้งเทียบพจน์หลักประมาณ $\theta^2/6$ และช่วงที่ “เล็กพอ” ขึ้นกับความคลาดเคลื่อนที่ยอมรับ

15. องค์ประกอบมวลและอินทิกรัลเชิงเรขาคณิต

เริ่มจาก $I=\int r_\perp^2\,dm$ เลือกแกนก่อนเลือกระยะ และเปลี่ยน $dm$ ให้สัมพันธ์กับรูปร่าง:

$$dm=\lambda\,dx\quad\text{(เส้น)},\qquad dm=\sigma\,dA\quad\text{(แผ่น)},\qquad dm=\rho\,dV\quad\text{(ปริมาตร)}.$$

แท่งสม่ำเสมอยาว $\ell$ หมุนรอบแกนผ่านกลางและตั้งฉากกับแท่ง มี $\lambda=M/\ell$:

$$I=\frac M\ell\int_{-\ell/2}^{\ell/2}x^2dx=\frac M\ell\left[\frac{x^3}3\right]_{-\ell/2}^{\ell/2}=\frac{M\ell^2}{12}.$$

สำหรับจานสม่ำเสมอ ใช้วงแหวนรัศมี $r$ หนา $dr$ ซึ่งมีพื้นที่ $dA=2\pi r\,dr$ และ $\sigma=M/(\pi R^2)$:

$$I=\int_0^Rr^2(2\pi\sigma r\,dr)=2\pi\sigma\left[\frac{r^4}4\right]_0^R=\frac12MR^2.$$

ในพิกัดขั้ว $dA=r\,dr\,d\theta$ ตัวประกอบ $r$ มาจากความยาวด้านโค้ง $r\,d\theta$ ไม่ใช่ค่าที่ใส่เพิ่มตามใจ ส่วนปริมาตรทรงกลม $dV=r^2\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi$ และระยะถึงแกน $z$ คือ $r_\perp=r\sin\theta$ ต้องแยกสองบทบาทนี้ให้ออก

ความหนาแน่นแปรผันต้องหาค่าคงที่จาก $M=\int dm$ ก่อน เช่น $\lambda(x)=cx$ บน $0\le x\le\ell$ ให้ $M=c\ell^2/2$ จึง $c=2M/\ell^2$ แล้วค่อยหา $I=\int_0^\ell x^2(cx)dx=M\ell^2/2$

16. อ่านกราฟพลังงาน และคาบจากอินทิกรัล

สำหรับระบบหนึ่งมิติที่ $E=K+U(x)$ และไม่มีการสูญเสีย จะมี

$$v^2=\frac2m(E-U(x))\ge0.$$

บริเวณที่เป็นไปได้จึงต้อง $U(x)\le E$ จุดที่ $U=E$ มีความเร็วศูนย์ แต่จะเป็นจุดวกกลับหรือจุดสมดุลต้องดูแรงและการเข้าถึงจุดนั้นด้วย การที่กราฟมีบริเวณอนุญาตสองบริเวณไม่ได้แปลว่าอนุภาคข้ามกำแพงระหว่างบริเวณได้

จาก $dt=dx/v$ บนช่วงที่เคลื่อนตามทิศ $+x$ คาบของการเคลื่อนที่กลับไปกลับมาระหว่าง $x_-$ กับ $x_+$ คือ

$$T=2\int_{x_-}^{x_+}\frac{dx}{\sqrt{2(E-U(x))/m}}.$$

สำหรับสปริงสมมาตร $E=\frac12kA^2$ ใช้หนึ่งในสี่คาบจาก $0$ ถึง $A$:

$$T=4\sqrt{\frac mk}\int_0^A\frac{dx}{\sqrt{A^2-x^2}}.$$

ให้ $x=A\sin u$, $dx=A\cos u\,du$, $\sqrt{A^2-x^2}=A\cos u$ เมื่อ $0\le u\le\pi/2$ จึง

$$T=4\sqrt{\frac mk}\int_0^{\pi/2}du=2\pi\sqrt{\frac mk}.$$

แม้ตัวอินทิเกรตจะสูงขึ้นไม่จำกัดใกล้จุดวกกลับ อินทิกรัลนี้ยังมีค่าจำกัด นี่เป็นตัวอย่าง improper integral ที่ไม่ควรตัดทิ้งเพียงเพราะตัวส่วนเป็นศูนย์ที่ปลายช่วง

17. Hyperbolic functions และปริพันธ์เวลา

นิยาม $\cosh u=(e^u+e^{-u})/2$ และ $\sinh u=(e^u-e^{-u})/2$ จึงมี $\cosh^2u-\sinh^2u=1$ โดย $d(\cosh u)/du=\sinh u$ และ $d(\sinh u)/du=\cosh u$

เมื่อพบ $\sqrt{x^2-a^2}$ บนช่วง $x\geq a>0$ ลองแทน $x=a\cosh u$ โดย $u\geq0$ จะได้ $dx=a\sinh u\,du$ และ $\sqrt{x^2-a^2}=a\sinh u$ ดังนั้น

$$\int_a^X\frac{dx}{\sqrt{x^2-a^2}}=\int_0^{\operatorname{arcosh}(X/a)}du=\operatorname{arcosh}(X/a).$$

หารนิยาม $\cosh u=z$ แล้วตั้ง $q=e^u>0$ ได้ $q+1/q=2z$ หรือ $q^2-2zq+1=0$. บนสาขา $u\geq0$ เลือก $q=z+\sqrt{z^2-1}$ จึง

$$\operatorname{arcosh}z=\ln\left(z+\sqrt{z^2-1}\right),\qquad z\geq1.$$

ใช้จริงในข้อ 6.28: $t=\sqrt{m/k}\operatorname{arcosh}(X/x_0)$. มวล $2\,\mathrm{kg}$, $k=8\,\mathrm{N/m}$ และ $X/x_0=4$ ให้ $t=\tfrac12\ln(4+\sqrt{15})\approx1.032\,\mathrm s$. ถ้าใช้ $x=a\cos\theta$ แทน จะเหมาะกับราก $\sqrt{a^2-x^2}$ คนละรูปกัน

18. ค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักและอสมการ

กำหนด $M=\sum m_i>0$, น้ำหนัก $w_i=m_i/M\geq0$ ซึ่งรวมเป็น $1$ และรัศมีเฉลี่ย $c=\sum w_ir_i$. ค่าเฉลี่ยของกำลังสองไม่เท่ากับกำลังสองของค่าเฉลี่ยเสมอไป: ความต่างคือความแปรปรวน

$$\sum_iw_i(r_i-c)^2=\sum_iw_ir_i^2-c^2\geq0.$$

ดังนั้น $I/M=\sum w_ir_i^2\geq c^2$. เท่ากันเมื่อมวลทุกส่วนที่มีน้ำหนักบวกอยู่ที่รัศมี $c$. นี่เป็นกรณีของอสมการ Jensen สำหรับฟังก์ชันนูน $r^2$ และพิสูจน์ด้วยการขยายกำลังสองได้โดยตรง

หากมีขอบเขต $0\leq r_i\leq R$ จะได้ $r_i^2\leq Rr_i$ จึงมีขอบเขตบนด้วย:

$$Mc^2\leq I\leq McR.$$

สำหรับขอบเขตบน วางสัดส่วนมวล $c/R$ ที่ $R$ และส่วนที่เหลือที่ $0$ จะทำให้ค่าเฉลี่ยคงเดิมและได้ $I=McR$ จริง ตัวอย่าง $c=R/2$ ให้ $MR^2/4\leq I\leq MR^2/2$. การวางมวลทั้งหมดที่ $R/2$ สร้างค่าต่ำสุด ส่วนการแบ่งครึ่งไว้ที่ศูนย์กับขอบสร้างค่าสูงสุด — นำไปใช้ใน เฉลยข้อ 10.22

19. ฝึกเชื่อมคณิตกับฟิสิกส์

ลองทำก่อนเปิดเฉลย เขียนหน่วยและอธิบายการเลือกรากหรือเครื่องหมายให้ครบ

พร้อมแล้วไปใช้จริง: บท 6 งานและพลังงาน · บท 7 พลังงานศักย์ · บท 8 การสั่น · บท 9 ทอร์ก · บท 10 โมเมนต์ความเฉื่อย · บท 11 โมเมนตัมเชิงมุม