โมเมนตัมเชิงมุมและกฎการอนุรักษ์

เป้าหมายของบท เราจะสร้างปริมาณที่ติดตาม “สถานะการหมุนของระบบ” ได้แม้การกระจายมวลเปลี่ยน โดยเริ่มจากอนุภาค ไม่เริ่มจากสูตรของวัตถุแข็ง แล้วค่อยพัฒนาไปสู่ torque theorem, angular impulse และ conservation law

Chapter 10 ให้ความสัมพันธ์ $\sum\tau = I\alpha$ สำหรับ rigid body ที่หมุนรอบแกนคงที่และ $I$ คงที่ แต่ถ้าคนบนแท่นหมุนดึงมวลเข้าหาตัว $I$ เปลี่ยน และ $\omega$ เปลี่ยนทั้งที่แทบไม่มี external torque คำถามคือ ปริมาณใดควรเป็นตัวหลักของปัญหา?

คำตอบคือ angular momentum หรือโมเมนตัมเชิงมุม

11.1 โมเมนตัมเชิงมุมของอนุภาค

พูดให้ง่ายก่อน: linear momentum บอก “การเคลื่อนที่ไปข้างหน้า” ส่วน angular momentum บอกว่า linear momentum นั้นมี moment about a chosen point มากเพียงใด

กำหนดจุดอ้างอิง $O$ และอนุภาคมี position vector $\mathbf{r}_{O}$ กับ linear momentum $\mathbf{p} = m\mathbf{v}$

$$\boxed{\mathbf{L}_{O} = \mathbf{r}_{O} \times \mathbf{p}}$$

Equation reference: Young & Freedman, 15e, §10.5, p.344–345; Serway & Jewett, 10e, §11.2, pp.289–291; Knight, 4e, §12.11, pp.320–321; Tipler & Mosca, 6e, §10-2, p.334 onward.

สัญลักษณ์

• $\mathbf{L}_{O}$ = angular momentum ของอนุภาคเกี่ยวกับจุด $O$ หน่วย $kg\, m^{2}/s$

• $\mathbf{r}_{O}$ = เวกเตอร์จาก $O$ ไปยังตำแหน่งอนุภาค

• $\mathbf{p} = m\mathbf{v}$ = linear momentum

• เครื่องหมาย $\times$ = cross product; ทิศหาโดยกฎมือขวา

ความหมายทางคณิตศาสตร์ Cross product เลือกเฉพาะส่วนของ momentum ที่ “ตั้งฉากกับแนวจากจุดอ้างอิง” จึงรวมทั้งขนาดและ orientation ของการหมุนไว้ในเวกเตอร์เดียว

จากขนาดของ cross product

$$L_{O} = rp\sin\phi = p\ell$$

โดย $\ell = r\sin\phi$ คือระยะตั้งฉากจาก $O$ ถึง เส้นแนวของ momentum

ดังนั้นอนุภาคไม่จำเป็นต้องเคลื่อนที่เป็นวงกลมจึงจะมี angular momentum อนุภาคที่วิ่งเป็นเส้นตรงผ่าน “ข้าง” จุด $O$ มี $L_{O} \neq 0$ ได้ และถ้าไม่มีแรงสุทธิ $L_{O}$ อาจคงที่ด้วย

ในระนาบ $xy$,

$$\boxed{L_{z} = xp_{y} - yp_{x}}$$

Math box สมการนี้คือ determinant/component form ของ $\mathbf{r} \times \mathbf{p}$ ไม่ใช่สูตรใหม่คนละกฎ และเครื่องหมายของ $L_{z}$ บอก orientation: บวก = ตามแกน $+ z$, ลบ = ตามแกน $- z$

Worked Example 11.1 — เส้นตรง แต่ $L \neq 0$

อนุภาคมวล $0.40\, kg$ เคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่ $6.0\, m/s$ ตามแกน $+ x$ บนเส้น $y = 1.50\, m$ จงหา $L_{z}$ เกี่ยวกับ origin และอธิบายว่าทำไมค่าจึงไม่เปลี่ยนเมื่ออนุภาคเคลื่อนต่อไป

เหตุผลที่เลือกวิธีนี้: เส้นการเคลื่อนที่เป็นเส้นตรง จึงใช้ lever-arm form ได้ทันที

$$L_{z} = - p\ell = - mv(1.50)$$

$$L_{z} = - (0.40)(6.0)(1.50) = - 3.60\ kg\, m^{2}/s$$

เครื่องหมายลบเกิดจาก $\mathbf{r} \times \mathbf{p}$ ชี้เข้า page ($- z$) ระยะตั้งฉาก $\ell$ คงที่และ $p$ คงที่ จึงได้ $L_{z}$ คงที่ แม้ $r$ เองจะเพิ่มขึ้น

Sanity check: ถ้าเลื่อนเส้นทางลงมาผ่าน origin จะได้ $\ell = 0$ และ $L = 0$ ตามนิยามทันที

11.2 Torque คืออัตราการเปลี่ยน Angular Momentum

ภาพของ torque และ angular momentum มี geometry แบบเดียวกัน

เริ่มจากนิยาม

$$\mathbf{L}_{O} = \mathbf{r} \times \mathbf{p}$$

หาอนุพันธ์ตามเวลา

$$\frac{d\mathbf{L}_{O}}{dt} = \frac{d\mathbf{r}}{dt} \times \mathbf{p} + \mathbf{r} \times \frac{d\mathbf{p}}{dt}$$

เพราะ $d\mathbf{r}/dt = \mathbf{v}$ และ $\mathbf{p} = m\mathbf{v}$

$$\mathbf{v} \times \mathbf{p} = \mathbf{v} \times m\mathbf{v} = \mathbf{0}$$

และจาก Newton’s second law $d\mathbf{p}/dt = \mathbf{F}_{net}$ จึงได้

$$\boxed{\frac{d\mathbf{L}_{O}}{dt} = \mathbf{r} \times \mathbf{F}_{net} = \mathbf{\tau}_{O}}$$

Equation reference: Young & Freedman, 15e, §10.5, pp.344–346; Serway & Jewett, 10e, §11.2, pp.289–292; Knight, 4e, §12.11, pp.321–322.

เงื่อนไขของบทนี้: $O$ เป็นจุดคงที่ใน inertial frame และ torque กับ angular momentum ต้องวัดเกี่ยวกับ reference เดียวกัน

ความหมายทางคณิตศาสตร์ สมการนี้เป็น differential equation: torque ไม่ได้ “เท่ากับ angular momentum” แต่เป็น time derivative ของ angular momentum ดังนั้น torque อาจเปลี่ยนขนาดของ $\mathbf{L}$, เปลี่ยนทิศของ $\mathbf{L}$, หรือทั้งสองอย่าง

Worked Example 11.2 — ตรวจด้วย components

ให้ $m = 0.50\, kg$, $\mathbf{r} = \left( 2\widehat{\mathbf{i}} - \widehat{\mathbf{j}} \right)\, m$ และ $\mathbf{v} = \left( 3\widehat{\mathbf{i}} + 4\widehat{\mathbf{j}} \right)\, m/s$

$$\mathbf{p} = \left( 1.5\widehat{\mathbf{i}} + 2.0\widehat{\mathbf{j}} \right)\ kg\, m/s$$

ดังนั้น

$$L_{z} = xp_{y} - yp_{x} = (2)(2.0) - ( - 1)(1.5) = 5.50\ kg\, m^{2}/s$$

ทิศคือ $+ z$ ออกจาก page

จุดที่โจทย์ทดสอบ ไม่ใช่การจำ $mvr$ แต่คือการรู้ว่า $mvr$ ใช้ตรง ๆ เฉพาะ geometry ที่ $\mathbf{r}\bot\mathbf{v}$ เท่านั้น

11.3 จากอนุภาคสู่ระบบ: external torque สำคัญกว่า internal torque

สำหรับระบบหลายอนุภาค

$$\boxed{\mathbf{L}_{sys,O} = \sum_{i}^{}\mathbf{r}_{i} \times \mathbf{p}_{i}}$$

แล้วรวม torque theorem ของแต่ละอนุภาค

$$\frac{d\mathbf{L}_{sys,O}}{dt} = \sum_{i}^{}\mathbf{\tau}_{i}$$

ใน particle model มาตรฐาน หาก internal action–reaction forces เป็นคู่ที่เท่ากัน ตรงข้ามกัน และอยู่บน line of separation เดียวกัน net internal torque cancel จึงเหลือ

$$\boxed{\frac{d\mathbf{L}_{sys,O}}{dt} = \mathbf{\tau}_{ext,O}}$$

Equation reference: Young & Freedman, 15e, §10.5, pp.345–346; Serway & Jewett, 10e, §11.2, pp.291–292; Tipler & Mosca, 6e, §10-2.

สำคัญ อย่าพูดสั้น ๆ ว่า “internal torque หายเสมอ” โดยไม่บอกสมมติฐาน จุดสำคัญคือเรากำลังใช้ classical particle model ที่ internal forces ให้ net internal torque เป็นศูนย์เกี่ยวกับ reference เดียวกัน

11.4 Angular Impulse — รวม torque ตลอดช่วงเวลา

Integrate torque theorem ตั้งแต่ $t_{1}$ ถึง $t_{2}$

$$\boxed{\Delta\mathbf{L} = \mathbf{L}_{2} - \mathbf{L}_{1} = \int_{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf{\tau}_{ext}(t)\, dt}$$

Equation reference: Tipler & Mosca, 6e, §10-2, Angular Impulse–Angular-Momentum Equation (Eq.10-11).

ใน fixed-axis scalar form

$$\boxed{\Delta L_{axis} = \int\tau_{axis}(t)\, dt}$$

ความหมายทางคณิตศาสตร์ พื้นที่มีเครื่องหมายใต้กราฟ $\tau(t)$–$t$ คือ $\Delta L$ เช่นเดียวกับพื้นที่ใต้กราฟ $F(t)$–$t$ ที่ให้ linear impulse

Worked Example 11.3 — Torque-time graph

ล้อมี $I = 2.50\, kg\, m^{2}$ และ $\omega_{0} = 1.0\, rad/s$ ได้ torque pulse รูปสามเหลี่ยมฐาน $4.0\, s$ สูงสุด $8.0\, N\, m$

พื้นที่ใต้กราฟ

$$\Delta L = \frac{1}{2}(4.0)(8.0) = 16\ N\, m\, s$$

เพราะ $I$ คงที่

$$I\omega_{f} - I\omega_{0} = 16$$

$$\omega_{f} = 1.0 + \frac{16}{2.50} = 7.40\ rad/s$$

Units check: $N\, m\, s = kg\, m^{2}/s$ ตรงกับหน่วย angular momentum

11.5 Rigid body: ทำไมจึงได้ $L_{axis} = I\omega$

พิจารณา rigid body หมุนรอบแกน $z$ คงที่ ทุกอนุภาคมี angular speed เดียวกัน $\omega$

สำหรับอนุภาคที่ $r_{i}$ จากแกน

$$\left( L_{i} \right)_{z} = m_{i}r_{i}^{2}\omega$$

รวมทุกอนุภาค

$$L_{z} = \sum_{i}^{}m_{i}r_{i}^{2}\omega = \left( \sum_{i}^{}m_{i}r_{i}^{2} \right)\omega$$

เพราะวงเล็บคือ $I_{z}$

$$\boxed{L_{z} = I_{z}\omega}$$

Equation reference: Serway & Jewett, 10e, §11.3, p.293 onward; Young & Freedman, 15e, §10.5, pp.345–346.

Math box — สิ่งที่ห้ามเหมารวม $L_{z} = I_{z}\omega$ คือ component relation เกี่ยวกับแกนหมุน สำหรับแกน symmetry/principal axis ที่เหมาะสม $\mathbf{L} \parallel \mathbf{\omega}$ จึงเขียน vector form ได้ แต่สำหรับวัตถุ 3 มิติทั่วไปที่หมุนรอบ nonsymmetry axis, $\mathbf{L}$ ไม่จำเป็นต้องขนานกับ $\mathbf{\omega}$. Young §10.5 และ Knight §12.11 เตือนประเด็นนี้โดยตรง

ถ้า $I$ คงที่

$$\tau_{z} = \frac{dL_{z}}{dt} = I_{z}\frac{d\omega}{dt} = I_{z}\alpha$$

จึงเห็นว่า Chapter 10 relation $\tau = I\alpha$ เป็น special constant-$I$ case ของกฎที่กว้างกว่า

11.6 Conservation of Angular Momentum

ถ้า net external torque เป็นศูนย์

$$\mathbf{\tau}_{ext} = \mathbf{0}$$

จึงมี

$$\frac{d\mathbf{L}}{dt} = \mathbf{0}$$

และ

$$\boxed{\mathbf{L} = \text{constant}}$$

Equation reference: Young & Freedman, 15e, §10.6, pp.347–350; Serway & Jewett, 10e, §11.4, pp.295–300; Tipler & Mosca, 6e, §10-3, p.341 onward.

ใน fixed-axis system ที่ใช้ $L = I\omega$ ได้

$$\boxed{I_{i}\omega_{i} = I_{f}\omega_{f}}$$

แต่ก่อนใช้ต้องตรวจ 3 อย่าง:

1. ระบบคืออะไร?

2. external torque รอบแกนที่เลือกประมาณศูนย์จริงหรือไม่?

3. fixed-axis scalar relation ใช้ได้หรือไม่?

Worked Example 11.4 — คนบน turntable ดึงมวลเข้าหาตัว

แท่นและคนมี moment of inertia พื้นฐาน $I_{0} = 3.00\, kg\, m^{2}$ ถือมวล $1.00\, kg$ สองก้อนที่รัศมีเริ่มต้น $1.20\, m$ และดึงเข้ามาที่ $0.40\, m$ เริ่มด้วย $\omega_{i} = 2.00\, rad/s$ สมมติ external torque รอบแกนตั้งฉากเล็กมาก

$$I_{i} = I_{0} + 2mr_{i}^{2} = 3 + 2(1)(1.2)^{2} = 5.88\ kg\, m^{2}$$

$$I_{f} = 3 + 2(1)(0.4)^{2} = 3.32\ kg\, m^{2}$$

Conservation:

$$I_{i}\omega_{i} = I_{f}\omega_{f}$$

$$\boxed{\omega_{f} = 3.54\ rad/s}$$

ความเร็วเชิงมุมเพิ่มขึ้นเพราะ $I$ ลดลง ไม่ใช่เพราะมี external torque มาหมุนระบบ

11.7 Angular Momentum อนุรักษ์ แต่พลังงานอาจไม่อนุรักษ์ในรูป $K_{rot}$

จาก Chapter 10

$$K_{rot} = \frac{1}{2}I\omega^{2}$$

และ $L = I\omega$ จึงมี

$$\boxed{K_{rot} = \frac{L^{2}}{2I}}$$

นี่เป็น derived synthesis equation ไม่ใช่นิยามใหม่

สำหรับ Worked Example 11.4

$$K_{i} = \frac{1}{2}(5.88)(2.00)^{2} = 11.76\ J$$

$$K_{f} = \frac{1}{2}(3.32)(3.54)^{2} \approx 20.83\ J$$

ดังนั้น $K_{f} - K_{i} \approx 9.07\, J$ พลังงานที่เพิ่มมาจาก งานภายในที่คนทำเพื่อดึงมวลเข้าหาตัว ไม่ได้เกิดจาก conservation of angular momentum

Source cross-check: Young & Freedman §10.6 มี rotating-person example ที่ rotational kinetic energy เพิ่มขึ้นขณะที่ $L$ conserved และอธิบายว่าพลังงานมาจาก work ของผู้หมุน

Decision box

• $\tau_{ext} = 0$ → ใช้ angular momentum conservation

• ไม่มี nonconservative energy transfer และเลือก system เหมาะสม → อาจใช้ energy conservation

• ทั้งสองเงื่อนไขเป็นจริง → ใช้ได้ทั้งสองกฎและต้องให้คำตอบสอดคล้องกัน

• อย่าอนุมานว่า “$L$ conserved ⇒ $K$ conserved”

11.8 Reference point และ axis เป็นส่วนหนึ่งของโจทย์

Angular momentum ไม่ใช่ property ของ particle เพียงลำพัง แต่เป็น property เกี่ยวกับจุดอ้างอิง

หากเปลี่ยน origin ค่า $\mathbf{r}$ เปลี่ยน จึงทำให้ $\mathbf{L} = \mathbf{r} \times \mathbf{p}$ เปลี่ยน Young และ Knight ระบุประเด็นนี้ชัดเจน

ในการแก้โจทย์ interaction สั้น ๆ เรามักเลือก axis ที่ทำให้ unknown support forces มี zero lever arm เพื่อให้ external angular impulse รอบแกนนั้นหายไป

11.9 Advanced — Short Interaction / Impact (หลังเรียน collision)

Chronology note: ส่วนนี้ไม่ใช่ live-core first contact เพราะตารางค่ายสอน collision หลัง angular momentum block ให้กลับมาใช้หลังเรียน collision แล้ว

สำหรับช่วงเวลาสั้น

$$L_{f,axis} - L_{i,axis} = \int\tau_{ext,axis}\, dt$$

ถ้า external angular impulse รอบแกนที่เลือกเล็กมาก

$$L_{f,axis} \approx L_{i,axis}$$

Worked Example 11.5 — มวลดินน้ำมันติดกับจาน (Advanced)

จานมี $I_{d} = 0.600\, kg\, m^{2}$ เริ่มหยุดนิ่ง มวลดินน้ำมัน $m = 0.200\, kg$ วิ่ง tangent ด้วย $v = 8.00\, m/s$ ชนและติดที่ $R = 0.500\, m$ แกนรองรับผ่านศูนย์จาน

ก่อนชน

$$L_{i} = mvR = (0.2)(8)(0.5) = 0.800\ kg\, m^{2}/s$$

หลังชน

$$I_{f} = I_{d} + mR^{2} = 0.600 + 0.200(0.5)^{2} = 0.650\ kg\, m^{2}$$

$$\omega_{f} = \frac{0.800}{0.650} = 1.23\ rad/s$$

แต่

$$K_{i} = \frac{1}{2}mv^{2} = 6.40\ J,\quad\quad K_{f} = \frac{1}{2}I_{f}\omega_{f}^{2} \approx 0.492\ J$$

จึงไม่ conserve kinetic energy เพราะการชนติดเป็น inelastic interaction

Source cross-check: Young & Freedman, 15e, §10.6 มี bullet–door impact example ที่ใช้เหตุผลเดียวกันเกี่ยวกับ hinge axis

11.10 Optional Enrichment — Central Force และพื้นที่ที่กวาด

ถ้าแรงเป็น central force

$$\mathbf{F} = f(r)\widehat{\mathbf{r}}$$

ดังนั้น

$$\mathbf{\tau}_{O} = \mathbf{r} \times \mathbf{F} = \mathbf{0}$$

จึงได้

$$\mathbf{L}_{O} = \text{constant}$$

ในเวลา $dt$, vector $\mathbf{r}$ กวาดพื้นที่เล็ก ๆ

$$dA = \frac{1}{2}\left| \mathbf{r} \times d\mathbf{r} \right| = \frac{1}{2}\left| \mathbf{r} \times \mathbf{v} \right|dt$$

เพราะ $L = m\left| \mathbf{r} \times \mathbf{v} \right|$

$$\boxed{\frac{dA}{dt} = \frac{L}{2m}}$$

Equation reference: Serway & Jewett, 10e, Ch.13, derivation of Kepler’s second law, Eq.13.10.

จุดประสงค์ของกล่องนี้คือแสดงพลังของ angular momentum conservation ไม่ใช่เริ่มบท orbital mechanics

11.11 Strategy Map — เลือกกฎอย่างไร

Common Traps — จุดพลาดที่ต้องหยุดให้ทัน

1. เห็นคำว่า “หมุน” แล้วรีบใช้ $L = I\omega$ — ถ้าเป็น particle ให้เริ่มจาก $\mathbf{L} = \mathbf{r} \times \mathbf{p}$ ก่อน

2. ลืมบอก reference point — $\mathbf{L}_{O}$ และ $\mathbf{\tau}_{O}$ เปลี่ยนได้เมื่อเปลี่ยน $O$

3. ใช้ torque กับ L คนละจุด — ในบทนี้ต้องวัดเกี่ยวกับ fixed inertial point/axis เดียวกัน

4. พูดว่า internal torque หายเสมอ — ต้องอยู่ภายใต้ particle-force assumptions ที่ทำให้ internal torque sum เป็นศูนย์

5. เขียน $\mathbf{L} = I\mathbf{\omega}$ กับวัตถุอะไรก็ได้ — vector alignment ต้องมี symmetry/principal-axis condition เพิ่ม

6. zero torque = zero force — ผิด; central force เป็น counterexample สำคัญ

7. $L$ conserved = $K$ conserved — ผิด; changing-$I$ system อาจมี internal work

8. เห็น collision แล้วเขียน conservation ทันที — ต้องตรวจ external angular impulse รอบแกนที่เลือกก่อน

30-second decision algorithm เลือก system → เลือก $O$/axis → audit external torque/angular impulse → เลือก definition/theorem/conservation → ค่อยใช้ energy เป็นกฎร่วมถ้าเงื่อนไขอนุญาต → ตรวจทิศและหน่วย

11.12 Main Exercises — 30 Original Problems

ไม่มีข้อใดออกแบบเป็นการแทนสูตรตรง ๆ เพียงขั้นเดียว ให้ระบุ reference point/axis และ system boundary ก่อนเริ่มทุกข้อที่เกี่ยวข้อง

Concept / Reference Point / Law Choice

11.1 อนุภาคเคลื่อนด้วยความเร็วคงที่บนเส้นตรงที่ไม่ผ่านจุด $O$. นักเรียนสองคนโต้แย้งกัน: A บอกว่า “ไม่หมุนเป็นวงกลม จึงไม่มี angular momentum” ส่วน B บอกว่า “มี angular momentum คงที่เกี่ยวกับ $O$” วิเคราะห์ว่าใครถูก พร้อมพิสูจน์ด้วย geometry และ torque theorem

11.2 อนุภาคมี momentum คงที่ $\mathbf{p}$ เปรียบเทียบ angular momentum เกี่ยวกับจุด $O$ สองจุดที่อยู่คนละด้านของเส้นการเคลื่อนที่แต่มีระยะตั้งฉากเท่ากัน จงเปรียบเทียบ magnitude และ direction

11.3 ยกตัวอย่างระบบที่ $\mathbf{F}_{net} \neq 0$ แต่ torque เกี่ยวกับจุด $O$ เป็นศูนย์ แล้วอธิบายว่า linear momentum กับ angular momentum เปลี่ยนหรือไม่

11.4 ระบบหนึ่งมี zero external torque แต่มี internal motor ทำงาน จงตัดสินว่าปริมาณต่อไปนี้ต้องคงที่หรือไม่: total angular momentum, rotational kinetic energy, total energy ของระบบที่รวม battery และ motor, angular velocity

Particle Angular Momentum / Vector / Calculus

11.5 อนุภาคมวล $0.20\, kg$ เคลื่อนตาม $+ x$ ด้วย $5.0\, m/s$ บนเส้น $y = 0.80\, m$. หา $L_{z}$ เกี่ยวกับ origin และหาว่าต้องย้าย origin ไปจุดใดบนแกน $y$ จึงจะได้ $L_{z} = 0$ โดยไม่เปลี่ยนการเคลื่อนที่

11.6 $m = 0.50\, kg$, $\mathbf{r} = \left( 3\widehat{i} - 2\widehat{j} \right)\, m$, $\mathbf{v} = \left( - \widehat{i} + 4\widehat{j} \right)\, m/s$. หา $\mathbf{L}$ และอธิบาย direction ด้วย right-hand rule

11.7 อนุภาคมวล $1.50\, kg$ มี $\mathbf{r}(t) = 2t\widehat{i} + \left( 1 + t^{2} \right)\widehat{j}$ เมตร จงหา $L_{z}(t)$, $dL_{z}/dt$ และตรวจคำตอบอิสระจาก torque ที่ได้จาก $m\mathbf{a}$

11.8 อนุภาคมวล $m$ เคลื่อนบนเส้น $y = b > 0$ ตาม $+ x$ โดย $v(t) = v_{0} + at$. หา $L_{z}(t)$ และ torque เกี่ยวกับ origin สองวิธี แล้วพิสูจน์ว่า $dL_{z}/dt = \tau_{z}$

11.9 ให้ $\mathbf{r} = \left( \widehat{i} + 2\widehat{j} - \widehat{k} \right)\, m$ และ $\mathbf{p} = \left( 3\widehat{i} - \widehat{j} + 2\widehat{k} \right)\, kg\, m/s$. หา $\mathbf{L}$ และตรวจว่า $\mathbf{L} \cdot \mathbf{r} = \mathbf{L} \cdot \mathbf{p} = 0$

11.10 อนุภาคมวล $0.30\, kg$ เคลื่อนเส้นตรงด้วย speed $10\, m/s$. จุด $O$ อยู่ห่างจากเส้นทาง $2.0\, m$. โดยไม่ใช้พิกัด จงหา magnitude ของ angular momentum และอธิบายว่าทำไมไม่ขึ้นกับตำแหน่งตามแนวเส้นทาง

11.11 อนุภาคอยู่ที่ $\mathbf{r} = a\widehat{i}$ และถูกแรง $\mathbf{F}(t) = F_{0}e^{- t/T}\widehat{j}$ ตั้งแต่ $t = 0$ ถึงเวลานานมาก ถ้า $L_{z}(0) = 0$ จงหา $L_{z}(\infty)$ ด้วย angular impulse และตรวจ dimension ของคำตอบ

11.12 torque รอบแกน $z$ เพิ่มเชิงเส้นจาก $0$ ถึง $6\, N\, m$ ใน $1\, s$, คงที่ $6\, N\, m$ อีก $2\, s$, แล้วลดเชิงเส้นเป็นศูนย์ใน $1\, s$. ถ้า $L_{z}(0) = - 3\, kg\, m^{2}/s$ จงหา $L_{z}(4\, s)$ และระบุเวลาที่ $L_{z}$ เปลี่ยนเครื่องหมาย

System / Angular Impulse / Conservation

11.13 แท่นมี $I_{0}$ และมวลจุดสองก้อน $m$ อยู่รัศมี $r_{i}$ หมุนด้วย $\omega_{i}$. มวลเลื่อนพร้อมกันไป $r_{f}$ โดย external torque เป็นศูนย์ จง derive $\omega_{f}/\omega_{i}$ และหาขีดจำกัดเมื่อ $I_{0} \gg 2mr^{2}$ กับเมื่อ $I_{0} \rightarrow 0$

11.14 แท่นมี $I_{0} = 2.0\, kg\, m^{2}$ และมีมวล $0.50\, kg$ สองก้อน จาก $r_{i} = 1.0\, m$ ไป $r_{f} = 0.20\, m$. ถ้า $\omega_{i} = 3.0\, rad/s$ หา $\omega_{f}$ และงานที่กลไกภายในต้องทำเพื่อเปลี่ยน rotational KE

11.15 คนมวล $M$ เดินเข้าหาศูนย์บน turntable จากรัศมี $R$ ไป $R/2$. โมเดลคนเป็น point mass และแท่นมี moment of inertia $I_{T}$. หา ratio $\omega_{f}/\omega_{i}$ และอธิบายว่าทำไมแรงเสียดทานระหว่างคนกับแท่นไม่ทำลาย conservation ของ total angular momentum ของ system

11.16 flywheel มี $I = 4.0\, kg\, m^{2}$ เริ่มด้วย $\omega_{0} = - 1.0\, rad/s$. ได้ torque $\tau(t) = 12(1 - t/3)\, N\, m$ สำหรับ $0 \leq t \leq 3\, s$. หา final angular momentum, final angular velocity และเวลาที่หยุดชั่วขณะ

11.17 ระบบ fixed-axis isolated มี moment of inertia ลดเหลือครึ่งหนึ่ง จงหา factor การเปลี่ยนของ $\omega$ และ $K_{rot}$ โดย derive จาก conservation law ไม่ใช่เดา analogy

11.18 ระบบในข้อ 11.17 เริ่มด้วย $I_{i} = 8.0\, kg\, m^{2}$, $\omega_{i} = 2.0\, rad/s$ และจบที่ $I_{f} = 3.0\, kg\, m^{2}$. หา work ที่ internal actuator ทำต่อ rotational degree of freedom และอธิบาย sign

11.19 rigid system มี $I(t) = I_{0}(1 + \beta t)$ ถูก external torque คงที่ $\tau_{0}$ รอบแกนเดียวกัน และมี $\omega(0) = \omega_{0}$. ใช้ $\tau = dL/dt$ หา $\omega(t)$ แล้วเปรียบเทียบกับคำตอบผิดที่ได้จากการใช้ $\tau = I(t)\alpha$ ตรง ๆ

11.20 จานสองแผ่น moment of inertia $I_{1},I_{2}$ หมุนร่วมแกนด้วย $\omega_{1},\omega_{2}$ แล้วถูกกดให้สัมผัสจนหมุนด้วย $\omega_{f}$ เดียวกัน ไม่มี external torque. Derive $\omega_{f}$ และพิสูจน์ว่า kinetic-energy loss เท่ากับ $\frac{1}{2}\frac{I_{1}I_{2}}{I_{1} + I_{2}}\left( \omega_{1} - \omega_{2} \right)^{2}$

Olympiad-style Synthesis

11.21 (Advanced / after collision) จานมี $I_{d} = 0.80\, kg\, m^{2}$ หมุนด้วย $2.0\, rad/s$. ดินน้ำมัน $0.10\, kg$ วิ่ง tangent ด้วย $12\, m/s$ และติดที่ $R = 0.40\, m$ ในทิศเดียวกับการหมุน หา $\omega_{f}$ และ fraction ของ initial kinetic energy ที่เหลือเป็น rotational KE

11.22 (Advanced / after collision) ประตูสม่ำเสมอมวล $12\, kg$ กว้าง $0.90\, m$ หมุนอิสระรอบบานพับ กระสุน $20\, g$ วิ่งตั้งฉากกับประตูด้วย $300\, m/s$ ฝังที่ระยะ $0.60\, m$ จากบานพับ หา $\omega_{f}$ และตรวจว่าพลังงานจลน์ลดลงเท่าไร

11.23 (Advanced / after collision) แท่งสม่ำเสมอมวล $M$, ยาว $L$, pivot ที่ปลาย เริ่มหยุดนิ่ง อนุภาคมวล $m$ วิ่งตั้งฉากกับแท่งด้วย speed $v$ ชนปลายอิสระและเกาะติด จง derive $\omega_{f}$ และ ratio $K_{f}/K_{i}$

11.24 (Advanced — axis choice) อนุภาคชนวัตถุที่ติด hinge ช่วงเวลาสั้นมาก อธิบายอย่างเป็นสมการว่าทำไมเลือก hinge axis จึงทำให้ unknown hinge impulse ไม่ปรากฏใน angular-impulse equation และระบุ force ใดที่ยังอาจทำให้ approximation ล้มเหลว

11.25 (Central-force enrichment) อนุภาคใน central force orbit ผ่านสองตำแหน่งที่รัศมี $r_{1},r_{2}$ ซึ่งความเร็วเป็นแนวตั้งฉากกับรัศมีทั้งสองจุด ถ้า speed ที่ $r_{1}$ คือ $v_{1}$ จงหา $v_{2}$ โดย angular momentum และอธิบายว่าทำไมไม่ต้องรู้รูปของ $F(r)$

11.26 (Central-force enrichment) ใช้ geometry ของพื้นที่กวาด derive $dA/dt = L/(2m)$ เอง จากนั้นแสดงว่าถ้า planet ใช้เวลา $\Delta t$ เท่ากันใกล้ periapsis และ apoapsis พื้นที่ที่กวาดเท่ากันแม้ arc length ไม่เท่ากัน

11.27 แท่นมี $I_{0}$ และมวล $m$ สองก้อนเลื่อนตามรัศมี $r(t) = r_{0} - ct$ ขณะไม่มี external torque. หา $\omega(t)$ และ instantaneous power ที่ internal actuator ส่งเข้าสู่ rotational kinetic energy ในรูปของ $I(t)$, $L$, $m$, $r(t)$ และ $c$

11.28 ระบบ isolated fixed-axis มี angular momentum magnitude $L$ และสามารถปรับ $I$ ระหว่าง $I_{min}$ กับ $I_{max}$. หา minimum/maximum rotational kinetic energy ที่เป็นไปได้ และงานอย่างน้อยที่ actuator ต้องรับ/จ่ายเมื่อเปลี่ยนจาก $I_{max}$ ไป $I_{min}$

11.29 จาน moment of inertia คงที่ $I$ ถูก braking torque $\tau = - k\omega$. ใช้ angular momentum law derive $\omega(t)$, $L(t)$ และ $K(t)$ และเปรียบเทียบ time constant ของสามปริมาณ

11.30 — Grand Synthesis แท่นมี $I_{0} = 3.0\, kg\, m^{2}$ และมวล $0.50\, kg$ สองก้อนที่ $r = 1.0\, m$ เริ่มด้วย $\omega_{0} = 1.0\, rad/s$. (i) motor ภายนอกให้ torque pulse ที่มี angular impulse $+ 4.0\, N\, m\, s$ จากนั้นตัด motor ออก (ii) มวลทั้งสองเลื่อนเข้าที่ $r = 0.25\, m$ โดยไม่มี external torque. หา final $\omega$ และ work ที่ internal mechanism ทำในขั้น (ii). แยกให้ชัดว่าช่วงใดใช้ angular impulse และช่วงใดใช้ conservation

11.13 บทสรุปเชิงโครงสร้าง

Part 2 ปิดด้วยลำดับเหตุผลนี้:

$$W \leftrightarrow \Delta K\quad \rightarrow \quad U\text{ and energy methods}\quad \rightarrow \quad SHM$$

$$\rightarrow \quad\theta,\omega,\alpha,\tau\quad \rightarrow \quad I,\ \tau = I\alpha,\ K_{rot}\quad \rightarrow \quad\boxed{\mathbf{L},\ \mathbf{\tau}_{ext} = d\mathbf{L}/dt,\ \mathbf{L} = const.}$$

ความสำคัญของ Chapter 11 ไม่ใช่การเพิ่มสูตรอีกหนึ่งชุด แต่คือการสอนว่า เลือก system, reference point, axis และ conservation law ให้ถูกต้อง สามารถลดปัญหาที่ดูซับซ้อนให้เหลือโครงสร้างที่สั้นและตรวจสอบได้

Source Verification Notes

• Young, H. D. & Freedman, R. A., University Physics with Modern Physics, 15e SI: Ch.10 §§10.5–10.6, pp.344–350.

• Serway, R. A. & Jewett, J. W., Physics for Scientists and Engineers with Modern Physics, 10e: Ch.11 §§11.1–11.4, pp.285–300; Ch.13 central-force / areal-velocity derivation.

• Knight, R. D., Physics for Scientists and Engineers: A Strategic Approach, 4e: Ch.12 §12.11, pp.320–323.

• Tipler, P. A. & Mosca, G., Physics for Scientists and Engineers with Modern Physics, 6e: Ch.10 §§10-2–10-3, pp.334–349.

All Main Exercises 11.1–11.30 are original authoring for this book; textbook problems were used only as verification context, not copied.