การเคลื่อนที่สองและสามมิติ: คาร์ทีเซียนและโพรเจกไทล์

3.1 ความเร่งคงที่ในรูปเวกเตอร์

$v \left(t\right) = v_{0} + a t$

$r \left(t\right) = r_{0} + v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}$

สมการเวกเตอร์สองบรรทัดนี้เทียบเท่ากับสมการองค์ประกอบ $x , y , z$ ทั้งหมดเมื่อ $a$ คงที่. เลือกแกนให้เหมาะกับปัญหาแล้วค่อยแตกองค์ประกอบ.

3.2 Projectile motion บนพื้นระดับ

$a = - g j$

$v_{x} = v_{0} \cos \theta , v_{y} = v_{0} \sin \theta - g t$

$x = v_{0} \cos \theta \cdot t , y = v_{0} \sin \theta \cdot t - \frac{1}{2} g t^{2}$

$y \left(x\right) = x \tan \theta - \frac{g x^{2}}{2 v_{0}^{2} \cos ^{2} \theta }$

สมการเส้นทางได้จากการกำจัดเวลา. มันตอบว่า “เมื่ออยู่ที่ $x$ นี้ วัตถุสูงเท่าไร” โดยไม่ต้องรู้ $t$ ก่อน.

ตัวอย่าง v₀=(8,10) m/s, g=10 m/s²: v สัมผัสเส้นทางและมี vₓคงที่; a ชี้ลงทุกจุด รวมที่จุดสูงสุด ลูกศรใช้สเกล v×0.18 s และ a×0.1 s² — **อ่านภาพ:** ตัวอย่าง $v_{0} = \frac{\left(8 , 10\right) \mathrm{m}}{\mathrm{s}} , g = \frac{10 \mathrm{m}}{\mathrm{s}^{2}} : v$ สัมผัสเส้นทางและมี $v_{x}$ คงที่; $a$ ชี้ลงทุกจุด รวมที่จุดสูงสุด ลูกศรใช้สเกล $v \times 0.18 \mathrm{s}$ และ $a \times 0.1 \mathrm{s}^{2}$
**ลองสังเกต:** ที่จุดสูงสุด อะไรเป็นศูนย์ระหว่าง $v_{y} , v_{x}$ และ $a$ ?

3.3 สูตรที่ใช้ได้เมื่อระดับต้นและปลายเท่ากัน

$T = \frac{2 v_{0} \sin \theta }{g}$

$R = \frac{v_{0}^{2} \sin 2 \theta }{g}$

$H = \frac{v_{0}^{2} \sin ^{2} \theta }{2 g}$

สองมุม 30° และ 60° ใช้อัตราเร็วต้น 12 m/s และ g=10 m/s² กลับพื้นระดับเดียวกัน พิสัยเท่ากันแต่ความสูงและเวลาบินต่างกัน — **อ่านภาพ:** สองมุม 30° และ 60° ใช้อัตราเร็วต้น $\frac{12 \mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ และ $g = \frac{10 \mathrm{m}}{\mathrm{s}^{2}}$ กลับพื้นระดับเดียวกัน พิสัยเท่ากันแต่ความสูงและเวลาบินต่างกัน
**ลองสังเกต:** มุมสูงกว่าชดเชยความเร็วแนวราบที่น้อยกว่าด้วยอะไร?

3.4 Projectile บนพื้นเอียง

ถ้าพื้นมีสมการ $y = x \tan \phi$ ให้หาจุดตัดของเส้นทาง projectile กับพื้น โดยแก้ $y_{}$ projectile $\left(x\right) = x \tan \phi$ . การเลือกแกนตามแนวพื้นก็ทำได้ แต่ต้องรักษาความสอดคล้องขององค์ประกอบ $g$ .

$t_{\mathrm{hit}} = \frac{2 v_{0} \sin \left(\theta - \phi \right)}{g \cos \phi }$

สูตรนี้ใช้เมื่อ projectile เริ่มจากจุดบนพื้นเอียงและกำหนด $\theta$ จากแนวนอน. ต้องมี $\sin \left(\theta - \phi \right) > 0$ เพื่อให้วัตถุออกเหนือพื้นในช่วงแรก.

พื้นเอียง φ=20° และมุมยิง θ=55° ต่างวัดจากแนวนอน จุดชนต้องตรงทั้งเส้นทางและ y=x tanφ; ระยะ s ตามพื้นยาวกว่าพิกัด x — **อ่านภาพ:** พื้นเอียง $\phi = 20 {}^\circ$ และมุมยิง $\theta = 55 {}^\circ$ ต่างวัดจากแนวนอน จุดชนต้องตรงทั้งเส้นทางและ $y = x \tan \phi$ ; ระยะ $s$ ตามพื้นยาวกว่าพิกัด $x$
**ลองสังเกต:** $\theta - \phi$ ในสูตรเวลาบินเป็นมุมระหว่างแนวใด?

3.5 Inverse design — รู้ปลายทางแล้วหา $v_{0}$

$R = v_{0} T + \frac{1}{2} a T^{2} \Rightarrow v_{0} = \frac{R - \frac{1}{2} a T^{2}}{T}$

แนวคิดนี้สำคัญกว่าการจำสูตร projectile: ถ้าต้องการให้ถึงจุด $R$ ในเวลาที่กำหนด $T$ ภายใต้ $a$ คงที่ เราแก้หาเวกเตอร์ความเร็วต้นได้โดยตรง. จากนั้นจึงตรวจขนาดและทิศว่าเป็นไปได้จริงหรือไม่.

ที่อัตราเร็วต้น V=12 m/s คงที่ เส้นวิถีทุกมุมอยู่ใต้เส้นขอบ y=V²/(2g)−gx²/(2V²) ในการบินอิสระ — **อ่านภาพ:** ที่อัตราเร็วต้น $V = \frac{12 \mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ คงที่ เส้นวิถีทุกมุมอยู่ใต้เส้นขอบ $y = \frac{V^{2}}{2 g} - \frac{g x^{2}}{2 V^{2}}$ ในการบินอิสระ
**ลองสังเกต:** เป้าหมายที่อยู่เหนือเส้นขอบเปลี่ยนมุมยิงอย่างเดียวไปถึงได้หรือไม่?

Example 3 — ยิงให้ถึงเป้าหมายในเวลาที่กำหนด

3.6 Cheat Sheet — บทที่ 3

constant vector acceleration: $v = v_{0} +$ at, $r = r_{0} + v_{0} t + \frac{1}{2}$ at $^{2}$
projectile: $a = - g j$ และ $\frac{x}{y}$ ใช้เวลาเดียวกัน
สูตร $R = \frac{v_{0}^{2} \sin 2 \theta }{g}$ ใช้เมื่อระดับต้น-ปลายเท่ากัน
พื้นเอียง: ใช้สมการจุดตัดกับ $y = x \tan \phi$
inverse design: $v_{0} = \frac{R - \frac{1}{2} a T^{2}}{T}$

แบบฝึกหัดท้ายบทที่ 3 — Main Exercise 30 ข้อ

นโยบายแบบฝึกหัด

โจทย์ทั้ง 30 ข้อในบทนี้เขียนขึ้นใหม่สำหรับฉบับปรับปรุง พ.ศ. 2569 โดยตั้งใจให้โจทย์หลักไม่เป็นการแทนค่าสูตรตรง ๆ เป็นส่วนใหญ่ แต่ให้ใช้การอ่านกราฟ แคลคูลัส เหตุผลเชิงเวกเตอร์ การเลือกแบบจำลอง และการสังเคราะห์แนวคิดตามความเหมาะสมของบท. คำตอบสั้นทุกข้อแยกอยู่ใน Detailed Solution Manual.

Projectile Core

ข้อ 3.1

ยิงวัตถุจากพื้นด้วย speed $v_{0}$ ทำมุม $\theta$ เหนือแนวนอน โดยไม่คิดแรงต้านอากาศ. จง derive สมการ trajectory $y \left(x\right)$ จากสมการพาราเมตริก และระบุ assumption ที่ใช้.

[ $y \left(x\right) = x \tan \theta - \frac{g x^{2}}{2 v_{0}^{2} \cos ^{2} \theta }$ , ภายใต้ constant $g$ และ no drag.]

ดูคำตอบ ข้อ 3.1 →

ข้อ 3.2

จาก projectile ที่ยิงและตกที่ระดับเดิม จง derive เวลาเดินทาง $T$ , ความสูงสูงสุด $H$ และพิสัย $R$ โดยไม่ใช้สูตรสำเร็จ.

$\left[T = \frac{2 v_{0} \sin \theta }{g} , H = \frac{v_{0}^{2} \sin ^{2} \theta }{2 g} , R = \frac{v_{0}^{2} \sin 2 \theta }{g} .\right]$

ดูคำตอบ ข้อ 3.2 →

ข้อ 3.3

ยิงด้วย $v_{0} = \frac{20 \mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ ที่ $\theta = 35 {}^\circ$ จากระดับเดียวกับจุดตก ใช้ $g = \frac{9.8 \mathrm{m}}{\mathrm{s}^{2}}$ . หา $T , H , R$ และ speed ที่จุดสูงสุด.

[ $T \approx 2.341 \mathrm{s} , H \approx 6.714 \mathrm{m} , R \approx 38.355 \mathrm{m}$ , speed ที่ apex $\approx \frac{16.383 \mathrm{m}}{\mathrm{s}} .$ ]

ดูคำตอบ ข้อ 3.3 →

ข้อ 3.4

ยิงวัตถุในแนวราบด้วย speed $u$ จากหน้าผาสูง $h$ . จงหาเวลาแตะพื้น, horizontal range และมุมของ velocity กับแนวนอนก่อนแตะพื้น.

[ $t_{f} = \sqrt{2 h / g}$ , range $= u \sqrt{2 h / g} , \alpha = \tan ^{-1} \left[\frac{\sqrt{2 g h}}{u}\right]$ ต่ำกว่าแนวนอน.]

ดูคำตอบ ข้อ 3.4 →

ข้อ 3.5

สำหรับ projectile ที่เริ่มและจบระดับเดียวกัน จงพิสูจน์ว่า speed ก่อนตกมีขนาดเท่ากับ speed ตอนยิง โดยใช้ components เท่านั้น.

[speed ก่อนตกกลับระดับเดิมเท่ากับ $v_{0} .$ ]

ดูคำตอบ ข้อ 3.5 →

ข้อ 3.6

Projectile สองลูกยิงจากจุดเดียวกันด้วย speed เท่ากัน $v_{0}$ ที่มุม $\theta$ และ $90 {}^\circ - \theta$ . พิสูจน์ว่าพิสัยเท่ากัน แต่ความสูงสูงสุดทั่วไปไม่เท่ากัน.

Inclined-Plane Projectile

[พิสัยเท่ากันเสมอ; ความสูงสูงสุดทั่วไปไม่เท่ากัน และเท่ากันเฉพาะ $\theta = 45 {}^\circ .$ ]

ดูคำตอบ ข้อ 3.6 →

ข้อ 3.7

พื้นเอียงทำมุม $\phi$ กับแนวนอนและ projectile ยิงจาก origin ด้วย speed $v_{0}$ ที่มุม $\theta > \phi$ . จง derive เวลา $t_{\mathrm{hit}}$ ที่กลับมาตัดพื้นเอียง $y = x \tan \phi$ .

$\left[t_{\mathrm{hit}} = \frac{2 v_{0} \sin \left(\theta - \phi \right)}{g \cos \phi } .\right]$

ดูคำตอบ ข้อ 3.7 →

ข้อ 3.8

ใช้ผลของข้อก่อน derive ระยะตามพื้นเอียง $s$ ที่ projectile ตก และจัดรูปให้เห็น dependence ต่อ $\theta , \phi$ .

$\left[s = \frac{2 v_{0}^{2} \cos \theta \sin \left(\theta - \phi \right)}{g \cos ^{2} \phi } .\right]$

ดูคำตอบ ข้อ 3.8 →

ข้อ 3.9

จาก $s \left(\theta \right) = \frac{2 v_{0}^{2} \cos \theta \sin \left(\theta - \phi \right)}{g \cos ^{2} \phi }$ จงหา $\theta$ ที่ทำให้ range ตามพื้นเอียงมากสุด เมื่อ $0 \le \phi < 90 {}^\circ$ .

$\left[\theta _{\mathrm{opt}} = 45 {}^\circ + \frac{\phi }{2} .\right]$

ดูคำตอบ ข้อ 3.9 →

ข้อ 3.10

Projectile กระทบพื้นเอียง $y = x \tan \phi$ ที่เวลา $t_{\mathrm{hit}}$ . จงหา component ของ velocity ตั้งฉากกับพื้น ณ จุดกระทบในรูป $v_{0} , \theta , \phi$ และ $g$ .

Target / Inverse Design

[signed component ตาม normal ที่ชี้เหนือพื้นคือ $v_{n} = - v_{0} \sin \left(\theta - \phi \right)$ ; magnitude $= v_{0} \sin \left(\theta - \phi \right) .$ ]

ดูคำตอบ ข้อ 3.10 →

ข้อ 3.11

ต้องยิง projectile จาก origin ให้ผ่านจุด $\left(X , Y\right)$ ที่เวลา $T$ ภายใต้ $a = \left(0 , - g\right)$ . จงหา $v_{0}$ vector ที่ต้องใช้ และเขียนเงื่อนไขถ้ากำหนดขนาด speed เริ่ม $V$ ด้วย.

[ $v_{0} = \left(\frac{X}{T}\right) i + \left(\frac{Y}{T} + \frac{g T}{2}\right) j$ และ fixed-speed condition คือ $\left(\frac{X}{T}\right)^{2} + \left(\frac{Y}{T} + \frac{g T}{2}\right)^{2} = V^{2} .$ ]

ดูคำตอบ ข้อ 3.11 →

ข้อ 3.12

Projectile ต้องผ่านจุด $\left(20 , 5\right) m$ ที่ $t = 2 \mathrm{s}$ ใช้ $g = \frac{10 \mathrm{m}}{\mathrm{s}^{2}}$ . หา $v_{0}$ และมุมยิง.

$\left[v_{0} = 10 i + \frac{12.5 j \mathrm{m}}{\mathrm{s}} , V \approx \frac{16.01 \mathrm{m}}{\mathrm{s}} , \theta \approx 51.34 {}^\circ .\right]$

ดูคำตอบ ข้อ 3.12 →

ข้อ 3.13

ยิงจาก origin ด้วย speed คงที่ $V$ ไปยัง target $\left(X , Y\right)$ . จง derive quadratic equation สำหรับ $u = \tan \theta$ และ discriminant condition ที่บอกว่ target reachable หรือไม่.

[ $\left(\frac{g X^{2}}{2 V^{2}}\right) u^{2} - X u + \left[Y + \frac{g X^{2}}{2 V^{2}}\right] = 0$ ; reachable iff $V^{4} - 2 g Y V^{2} - g^{2} X^{2} \ge 0 .$ ]

ดูคำตอบ ข้อ 3.13 →

ข้อ 3.14

ที่จุด target $\left(X , Y\right)$ ต้องการให้ projectile มี velocity แนวนอนพอดี $\left(v_{y} = 0\right)$ . จงหา relation ระหว่าง $V , \theta , X , Y$ และแปลว่าจุดนั้นคือจุดใดของ trajectory.

[target เป็น apex; $X = \frac{V^{2} \sin \theta \cos \theta }{g} , Y = \frac{V^{2} \sin ^{2} \theta }{2 g}$ , และ $\tan \theta = \frac{2 Y}{X} .$ ]

ดูคำตอบ ข้อ 3.14 →

ข้อ 3.15

ต้องให้ projectile จาก origin ผ่านจุดเดียวกัน $\left(X , Y\right)$ ด้วยสองมุม $\theta _{1} , \theta _{2}$ ที่ speed $V$ เท่ากัน. จาก quadratic ใน $\tan \theta$ จงหา $\tan \theta _{1} + \tan \theta _{2}$ และ $\tan \theta _{1} \tan \theta _{2}$ .

$\left[\tan \theta _{1} + \tan \theta _{2} = \frac{2 V^{2}}{g X} ; \tan \theta _{1} \tan \theta _{2} = 1 + \frac{2 V^{2} Y}{g X^{2}} .\right]$

ดูคำตอบ ข้อ 3.15 →

ข้อ 3.16

ยิงจากความสูง $h$ ด้วย speed $V$ . จงหา launch angle ที่ทำให้ horizontal range ถึงพื้น $y = 0$ มากสุด โดยใช้ trajectory equation และ optimization ไม่ใช้ energy.

Trajectory Analysis

$\left[\tan \theta _{\mathrm{opt}} = \frac{V}{\sqrt{V^{2} + 2 g h}} ; R_{\mathrm{max}} = \left(\frac{V}{g}\right) \sqrt{V^{2} + 2 g h} .\right]$

ดูคำตอบ ข้อ 3.16 →

ข้อ 3.17

จาก $y \left(x\right) = x \tan \theta - \frac{g x^{2}}{2 V^{2} \cos ^{2} \theta }$ จงหา slope $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ และพิสูจน์ว่าเท่ากับ $\frac{v_{y}}{v_{x}}$ ณ จุดเดียวกัน.

$\left[\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \tan \theta - \frac{g x}{V^{2} \cos ^{2} \theta } = \frac{v_{y}}{v_{x}} .\right]$

ดูคำตอบ ข้อ 3.17 →

ข้อ 3.18

Projectile ยิงด้วย $V , \theta$ . จงหาค่า $x$ ที่ tangent ของ trajectory ทำมุม $\phi$ กับแนวนอน โดยสมมติ $\cos \theta \ne 0$ .

$\left[x = \left(\frac{V^{2} \cos ^{2} \theta }{g}\right) \left(\tan \theta - \tan \phi \right) .\right]$

ดูคำตอบ ข้อ 3.18 →

ข้อ 3.19

พิสูจน์ว่า curvature sign ของ projectile trajectory ใน Cartesian graph $y \left(x\right)$ เป็นลบตลอดเมื่อ $g > 0$ และ $\cos \theta \ne 0$ โดยใช้ second derivative เท่านั้น. แปลความหมายโดยไม่ใช้สูตร curvature.

[ $y'' = - \frac{g}{V^{2} \cos ^{2} \theta } < 0$ ; Cartesian trajectory concave downward ตลอด.]

ดูคำตอบ ข้อ 3.19 →

ข้อ 3.20

ยิง projectile ด้วย $V = \frac{25 \mathrm{m}}{\mathrm{s}} , \theta = 50 {}^\circ , g = 9.8$ . ที่ $x = 30 \mathrm{m}$ จงหา $y$ และมุมของ velocity กับแนวนอน.

[ $y \approx 18.675 \mathrm{m}$ ; velocity ทำมุม≈3.05° เหนือแนวนอน.]

ดูคำตอบ ข้อ 3.20 →

ข้อ 3.21

สำหรับ same-level projectile จงแสดงว่า apex อยู่ที่ $x = \frac{R}{2}$ โดยไม่อาศัย symmetry ทางรูปภาพ.

General Constant Acceleration

[ $x_{}$ apex $= \frac{R}{2} .$ ]

ดูคำตอบ ข้อ 3.21 →

ข้อ 3.22

ใน 3D ให้ $r_{0} = 0 , v_{0} = \frac{\left(2 , 1 , 3\right) \mathrm{m}}{\mathrm{s}} , a = \frac{\left(1 , - 2 , 0\right) \mathrm{m}}{\mathrm{s}^{2}}$ . หา $r \left(2\right) , v \left(2\right)$ และตรวจ relation $v^{2} - v_{0}^{2} = 2 a \cdot r$ .

[ $r \left(2\right) = \left(6 , - 2 , 6\right) m , v \left(2\right) = \frac{\left(4 , - 3 , 3\right) \mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ ; relation ให้ $20 = 20 .$ ]

ดูคำตอบ ข้อ 3.22 →

ข้อ 3.23

อนุภาคมี constant acceleration $a$ และต้องจาก $r_{0}$ ไป $R$ ในเวลา $T$ พร้อมกำหนด final velocity $V_{f}$ . จงหาเงื่อนไข compatibility ระหว่าง $R , T , v_{0} , V_{f}$ และ $a$ .

[compatibility: $V_{f} = v_{0} + a T$ และ $R - r_{0} = \left(\frac{T}{2}\right) \left(v_{0} + V_{f}\right)$ [เท่ากับ $v_{0} T +$ (1/2) $a T^{2}$ ].]

ดูคำตอบ ข้อ 3.23 →

ข้อ 3.24

พิสูจน์ว่า trajectory ของ motion ภายใต้ constant acceleration อยู่ในระนาบที่ $\operatorname{span}$ โดย $v_{0}$ และ $a$ (ผ่าน $r_{0}$ ) แม้ปัญหาจะเขียนใน 3D.

Parameter Reasoning

[trajectory อยู่ใน affine $\operatorname{span}$ ของ $r_{0} , v_{0}$ และ $a$ ; โดย $r - r_{0} \in \operatorname{span} \left\{v_{0} , a\right\}$ ทุก $t .$ ]

ดูคำตอบ ข้อ 3.24 →

ข้อ 3.25

สำหรับ same-level projectile พิสัย $R \left(\theta \right) = \frac{V^{2} \sin 2 \theta }{g}$ . ถ้ามุมมี uncertainty เล็ก $\delta \theta$ รอบ 45° จงใช้ Taylor expansion แสดงว่า error ของ range ไม่มี term อันดับหนึ่ง.

[ $R \approx R_{\mathrm{max}} \left(1 - 2 \delta \theta ^{2}\right)$ ; first-order error เป็นศูนย์.]

ดูคำตอบ ข้อ 3.25 →

ข้อ 3.26

ถ้า $g$ เพิ่มขึ้น 4% แต่ $V , \theta$ คงเดิม พิสัย same-level projectile เปลี่ยนประมาณกี่เปอร์เซ็นต์? ใช้ differential/logarithmic reasoning.

Synthesis & Olympiad Style

[ประมาณ -4%; ค่า exact สำหรับ +4% คือ range ลด≈3.85%.]

ดูคำตอบ ข้อ 3.26 →

ข้อ 3.27

ยิงจาก origin ด้วย speed $V$ . จงหา envelope ของ family trajectories ทุกมุม $\theta$ และแสดงว่า target เหนือ envelope ยิงไม่ถึงด้วย speed $V$ .

[envelope: $y = \frac{V^{2}}{2 g} - \frac{g x^{2}}{2 V^{2}}$ ; target ที่ $y$ สูงกว่านี้ยิงไม่ถึงด้วย speed $V .$ ]

ดูคำตอบ ข้อ 3.27 →

ข้อ 3.28

Projectile ยิงจาก origin และพบว่าผ่านจุด $\left(X , Y_{1}\right)$ ตอนขาขึ้น และต่อมาผ่านจุด $\left(X , Y_{2}\right)$ ที่ $x$ เดิมได้หรือไม่ ภายใต้ ideal projectile ที่ $v_{x} > 0$ คงที่? อธิบาย rigorously.

[ไม่ได้; $x \left(t\right)$ strictly increasing จึงแต่ละ $X$ สอดคล้องกับเวลาเดียว.]

ดูคำตอบ ข้อ 3.28 →

ข้อ 3.29

จากข้อมูลการทดลอง projectile พบที่เวลาเดียวกันว่า $v = \frac{\left(12 , 5\right) \mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ และ $a = \frac{\left(0 , - 9.8\right) \mathrm{m}}{\mathrm{s}^{2}}$ . อีก $1.5 \mathrm{s}$ ต่อมาจงหา displacement vector และ final velocity โดยไม่ต้องรู้ initial launch state.

$\left[\Delta r = 18 i - 3.525 j m ; v_{f} = 12 i - \frac{9.70 j \mathrm{m}}{\mathrm{s}} .\right]$

ดูคำตอบ ข้อ 3.29 →

ข้อ 3.30

Projectile ยิงจาก origin ด้วย unknown $V , \theta$ . วัดได้ว่า apex อยู่ที่ $\left(12 , 8\right) m$ . ใช้ $g = \frac{9.8 \mathrm{m}}{\mathrm{s}^{2}}$ หา initial velocity components, $V$ และ $\theta$ .

$\left[v_{0 x} \approx \frac{9.391 \mathrm{m}}{\mathrm{s}} , v_{0 y} \approx \frac{12.522 \mathrm{m}}{\mathrm{s}} , V \approx \frac{15.652 \mathrm{m}}{\mathrm{s}} , \theta \approx 53.13 {}^\circ .\right]$

ดูคำตอบ ข้อ 3.30 →