กรอบอ้างอิงเฉื่อยและการเคลื่อนที่สัมพัทธ์

4.1 Galilean transformation

$r = R_{0} + U t + r'$

$v = U + v'$

$a = a'$ (เมื่อ $U$ คงที่)

เวกเตอร์ตำแหน่งต่อหัว–หาง: R จาก O ไป O′ แล้ว r′ จาก O′ ไป P รวมเป็น r จาก O ไป P; แกนทั้งสองกรอบขนานและไม่หมุน — **อ่านภาพ:** เวกเตอร์ตำแหน่งต่อหัว–หาง: $R$ จาก $O$ ไป $O'$ แล้ว $r'$ จาก $O'$ ไป $P$ รวมเป็น $r$ จาก $O$ ไป $P$ ; แกนทั้งสองกรอบขนานและไม่หมุน
**ลองสังเกต:** เหตุใด $r'$ ต้องเริ่มที่ $O'$ ไม่ใช่ที่ $O$ ?

4.2 ความเร็วสัมพัทธ์

$v_{A / B} = v_{A} - v_{B}$

สัญลักษณ์ $A/B$ อ่านว่า “ $A$ เมื่อมองจาก $B$ ”. การเขียนลำดับให้ชัดช่วยลดความผิดพลาดเรื่องเครื่องหมาย โดยเฉพาะโจทย์เรือ-กระแสน้ำ รถสองคัน และการเล็งเป้าหมายเคลื่อนที่.

ตัวอย่างเรือเทียบน้ำ (−2,3) m/s บวกกระแสน้ำ (2,0) ได้ความเร็วเทียบฝั่ง (0,3) m/s; heading กับเส้นทางเทียบฝั่งคนละทิศ — **อ่านภาพ:** ตัวอย่างเรือเทียบน้ำ $\frac{\left(- 2 , 3\right) \mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ บวกกระแสน้ำ (2,0) ได้ความเร็วเทียบฝั่ง $\frac{\left(0 , 3\right) \mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ ; heading กับเส้นทางเทียบฝั่งคนละทิศ
**ลองสังเกต:** ถ้าหันหัวตรงข้ามฝั่งโดยไม่ชดเชย น้ำจะพาไปทางใด?

4.3 กรอบที่เลื่อนแบบมีความเร่งแต่ไม่หมุน

$r = R \left(t\right) + r'$

$v = \frac{\mathrm{d}R}{\mathrm{d}t} + v'$

$a = \frac{\mathrm{d}^{2}R}{\mathrm{d}t^{2}} + a'$

ถ้ากรอบ $S'$ มีความเร่ง $A = \frac{\mathrm{d}^{2}R}{\mathrm{d}t^{2}}$ แล้ว $a' = a - A$ . ในบทนี้เรายังไม่เพิ่มแรงเสมือนเป็นแกนหลัก; จุดสำคัญคือเห็นว่าความเร่งไม่ invariant เมื่อกรอบเองเร่ง.

วัตถุอิสระ x=3t กับ origin กรอบ R=t²: กรอบใหม่วัด x′=3t−t² และ a′=−2 m/s² แม้กรอบพื้นวัด a=0 — **อ่านภาพ:** วัตถุอิสระ $x = 3 t$ กับ origin กรอบ $R = t^{2}$ : กรอบใหม่วัด $x' = 3 t - t^{2}$ และ $a' = - \frac{2 \mathrm{m}}{\mathrm{s}^{2}}$ แม้กรอบพื้นวัด $a = 0$
**ลองสังเกต:** จุดยอดของกราฟ $x' \mathbin{-} t$ แปลว่าแรงจริงเปลี่ยน หรือกรอบกำลังแซงวัตถุ?

4.4 สมมติฐานที่มักถูกซ่อน: basis vectors ไม่หมุน

$\frac{d i'}{\mathrm{d}t} = \frac{d j'}{\mathrm{d}t} = \frac{d k'}{\mathrm{d}t} = 0$ (relative to $S$ )

หน่วยเวกเตอร์ i′ หมุนมุม ωt แต่ยังยาวหนึ่ง อนุพันธ์ di′/dt ชี้ตามทิศ j′ เมื่อ ω>0; ลูกศรอนุพันธ์เป็นการแสดงทิศ — **อ่านภาพ:** หน่วยเวกเตอร์ $i'$ หมุนมุม $\omega t$ แต่ยังยาวหนึ่ง อนุพันธ์ $\frac{\mathrm{d}i'}{\mathrm{d}t}$ ชี้ตามทิศ $j'$ เมื่อ $\omega > 0$ ; ลูกศรอนุพันธ์เป็นการแสดงทิศ
**ลองสังเกต:** พิกัด $x'$ คงที่แล้วเหตุใดตำแหน่งในฐานเดิมยังเปลี่ยนได้?

Example 4 — เรือข้ามแม่น้ำ

4.5 Cheat Sheet — บทที่ 4

Galilean: $r = R_{0} + U t + r' , v = U + v' , a = a'$ เมื่อ $U$ คงที่
relative velocity: $v_{A / B} = v_{A} - v_{B}$
translating accelerated frame: $a = a_{\mathrm{frame}} + a'$
สูตรทั้งหมดในบทนี้สมมติ basis vectors ของ $S'$ ไม่หมุน
rotating basis → ต้องใช้เครื่องมือใหม่ใน Part 2

แบบฝึกหัดท้ายบทที่ 4 — Main Exercise 30 ข้อ

นโยบายแบบฝึกหัด

โจทย์ทั้ง 30 ข้อในบทนี้เขียนขึ้นใหม่สำหรับฉบับปรับปรุง พ.ศ. 2569 โดยตั้งใจให้โจทย์หลักไม่เป็นการแทนค่าสูตรตรง ๆ เป็นส่วนใหญ่ แต่ให้ใช้การอ่านกราฟ แคลคูลัส เหตุผลเชิงเวกเตอร์ การเลือกแบบจำลอง และการสังเคราะห์แนวคิดตามความเหมาะสมของบท. คำตอบสั้นทุกข้อแยกอยู่ใน Detailed Solution Manual.

Relative Velocity Core

ข้อ 4.1

รถ $A$ มี $v_{A} = \frac{18 i \mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ และรถ $B$ มี $v_{B} = \frac{12 j \mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ เทียบพื้น. จงหา velocity ของ $A$ ที่ผู้สังเกตบน $B$ เห็น พร้อมขนาดและทิศ.

[ $v_{A / B} = 18 i - \frac{12 j \mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ , ขนาด $\approx \frac{21.63 \mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ , ทิศ 33.69° ต่ำกว่า $+ x .$ ]

ดูคำตอบ ข้อ 4.1 →

ข้อ 4.2

ฝนตกแนวดิ่งด้วย velocity $- \frac{8 j \mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ เทียบพื้น. คนวิ่งด้วย $\frac{6 i \mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ . จงหา velocity ฝนเทียบคนและมุมที่ดูเหมือนฝนเอียงจากแนวดิ่ง.

[ $v_{\mathrm{rain} / \mathrm{person}} = - 6 i - \frac{8 j \mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ ; speed $\frac{10 \mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ ; เอียง 36.87° จากแนวดิ่งไปทาง $- x .$ ]

ดูคำตอบ ข้อ 4.2 →

ข้อ 4.3

เรือมี speed $\frac{5 \mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ เทียบน้ำ. กระแสน้ำ $\frac{3 i \mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ . ถ้าต้องการให้เส้นทางเทียบฝั่งตรงข้ามแม่น้ำเป็นแนว $+ j$ พอดี จงหา heading ของเรือเทียบน้ำและ speed ข้ามฝั่ง.

[เรือต้องเล็ง 36.87° ไปทาง upstream จากทิศตรงข้ามฝั่ง; ground speed ข้ามฝั่ง $= \frac{4.0 \mathrm{m}}{\mathrm{s}} .$ ]

ดูคำตอบ ข้อ 4.3 →

ข้อ 4.4

เครื่องบินมี airspeed $\frac{200 \mathrm{km}}{\mathrm{h}}$ ต้องบิน due north เทียบพื้น ขณะที่ลมพัด east $\frac{50 \mathrm{km}}{\mathrm{h}}$ . หา heading และ ground speed.

[heading≈14.48° west of north; ground speed $\approx \frac{193.65 \mathrm{km}}{\mathrm{h}} .$ ]

ดูคำตอบ ข้อ 4.4 →

ข้อ 4.5

คนสองคนเคลื่อนที่ด้วย constant velocities $v_{A}$ และ $v_{B}$ . พิสูจน์ว่า relative acceleration เป็นศูนย์และ relative position เปลี่ยนเป็นเส้นตรงในเวลา.

[ $a_{\mathrm{rel}} = 0$ และ $r_{\mathrm{rel}} = r_{\mathrm{rel}} , 0 + v_{\mathrm{rel}} t$ เป็นเส้นตรงในเวลา.]

ดูคำตอบ ข้อ 4.5 →

ข้อ 4.6

อนุภาค $A$ และ $B$ มี $r_{A} \left(0\right) = \left(0 , 0\right) , v_{A} = \frac{\left(4 , 1\right) \mathrm{m}}{\mathrm{s}} ; r_{B} \left(0\right) = \left(10 , - 5\right) , v_{B} = \frac{\left(- 1 , 3\right) \mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ . จงหาเวลาที่ระยะระหว่างกันน้อยสุดและระยะนั้น.

Galilean Transformation

[closest approach ที่ $t = \frac{60}{29} \approx 2.069 \mathrm{s} ; d_{\mathrm{min}} = \frac{5}{\sqrt{29}} \approx 0.928 \mathrm{m} .$ ]

ดูคำตอบ ข้อ 4.6 →

ข้อ 4.7

กรอบ $S'$ เคลื่อนด้วย constant $U = 5 i - \frac{2 j \mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ และ origin ตรงกันที่ $t = 0$ . จุดหนึ่งมี $r' \left(t\right) = t^{2} i + 3 t j$ . จงหา $r , v , a$ ใน $S$ .

$\left[r = \left(t^{2} + 5 t\right) i + t j , v = \left(2 t + 5\right) i + j , a = 2 i .\right]$

ดูคำตอบ ข้อ 4.7 →

ข้อ 4.8

พิสูจน์ว่า relative velocity ระหว่างอนุภาค $A , B$ invariant ภายใต้ Galilean boost ด้วย constant $U$ .

[ $v'_{A / B} = v_{A / B}$ ; relative velocity invariant ภายใต้ constant Galilean boost.]

ดูคำตอบ ข้อ 4.8 →

ข้อ 4.9

ใน $S$ วัตถุเคลื่อน $r = \left(2 t , t^{2}\right)$ . หา $U$ constant ตาม $+ x$ ที่ทำให้ใน $S'$ horizontal velocity ณ $t = 3 \mathrm{s}$ เป็นศูนย์ และหา $v' \left(3\right)$ .

[ $U = \frac{2.0 \mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ ไป $+ x ; v' \left(3\right) = \frac{6 j \mathrm{m}}{\mathrm{s}} .$ ]

ดูคำตอบ ข้อ 4.9 →

ข้อ 4.10

ถ้า projectile equations ใน $S$ ใช้ $a = - g j$ และเปลี่ยนไปกรอบ $S'$ ที่เคลื่อน constant $U$ ตามแนวนอน จงอธิบายว่ารูป trajectory เทียบเวลาเปลี่ยนอย่างไร แต่ acceleration ยังเหมือนเดิม.

[ $x' = \left(v_{0 x} - U\right) t , y' = v_{0 y} t - \left(\frac{1}{2}\right) g t^{2}$ ; trajectory อาจกว้าง/แคบหรือกลายเป็นแนวดิ่ง แต่ $a' = - g j$ เหมือนเดิม.]

ดูคำตอบ ข้อ 4.10 →

ข้อ 4.11

นักเรียนกล่าวว่า “ถ้า $a = a'$ แล้ว velocity ต้องเท่ากันด้วย” จงหักล้างด้วยตัวอย่าง numerical Galilean boost.

Accelerating Translating Frames

[ตัวอย่าง $v = 10 i , U = 3 i$ ให้ $v' = 7 i$ แต่ $a = a' = 0$ ; ดังนั้นข้อกล่าวผิด.]

ดูคำตอบ ข้อ 4.11 →

ข้อ 4.12

กรอบ $S'$ มี origin $R \left(t\right) = \frac{1}{2} A t^{2} i$ เทียบ $S$ และ basis ไม่หมุน. จง derive relation ระหว่าง $a$ กับ $a'$ .

[ $a = a' + A i$ หรือ $a' = a - A i .$ ]

ดูคำตอบ ข้อ 4.12 →

ข้อ 4.13

กรอบ $S'$ เร่งด้วย $\frac{3 i \mathrm{m}}{\mathrm{s}^{2}}$ . วัตถุใน $S$ มี $a = 1 i + \frac{4 j \mathrm{m}}{\mathrm{s}^{2}}$ . หา $a'$ และอธิบายว่าเหตุใดนี่เป็น kinematic relation ไม่ใช่การเพิ่มแรงสมมติในบทนี้.

[ $a' = - 2 i + \frac{4 j \mathrm{m}}{\mathrm{s}^{2}}$ ; เป็น kinematic transformation ไม่ใช่การเพิ่มแรง.]

ดูคำตอบ ข้อ 4.13 →

ข้อ 4.14

ลิฟต์เร่งขึ้นด้วย $A$ constant. ลูกบอลถูกปล่อยจาก rest relative to lift. ในกรอบพื้นและกรอบลิฟต์ จงเขียน acceleration ของบอลทันทีหลังปล่อย (เลือก $+ y$ ขึ้น) โดยยังไม่อภิปราย apparent weight.

[พื้น: $a = - g j$ ; ลิฟต์: $a' = - \left(g + A\right) j .$ ]

ดูคำตอบ ข้อ 4.14 →

ข้อ 4.15

กรอบ $S'$ มี $U \left(t\right) = U_{0} + A t$ . ถ้าวัตถุมี $v' = b t j$ ใน $S'$ , หา $v \left(t\right) , a \left(t\right)$ ใน $S$ และแยก contribution จาก frame กับ relative motion.

$\left[v = U_{0} + A t + b t j ; a = A + b j .\right]$

ดูคำตอบ ข้อ 4.15 →

ข้อ 4.16

ใน accelerating frame $S'$ พบ trajectory $x' = c t , y' = 0$ . ถ้า origin ของ $S'$ เคลื่อนใน $S$ ตาม $R = \left(\frac{1}{2} A t^{2}\right) i + \left(\frac{1}{2} B t^{2}\right) j$ จงหา trajectory ใน $S$ และบอกชนิด curve $y \left(x\right)$ แบบพาราเมตริก.

Fixed Basis / Rotation Caveat

[ $x = c t + \left(\frac{A}{2}\right) t^{2} , y = \left(\frac{B}{2}\right) t^{2}$ ; สำหรับ $B \ne 0$ และ $c \ne 0$ ได้ $\left[x - \left(\frac{A}{B}\right) y\right]^{2} = \left(\frac{2 c^{2}}{B}\right) y$ เป็นพาราโบลา โดยต้องเลือกสาขาเวลาจริง; ถ้า $c = 0$ หรือ $B = 0$ เส้นทางเสื่อมเป็นเส้น/จุด.]

ดูคำตอบ ข้อ 4.16 →

ข้อ 4.17

อธิบายว่าทำไม derivation $v = U + v'$ จาก $r = R + r'$ ต้องระวังถ้า basis $i' , j'$ ของ $S'$ หมุน แม้ origin จะหยุดนิ่ง.

[ต้องระวังเพราะ derivative ของ basis vectors เกิด term $x' \dot{i}' + y' \dot{j}'$ ; สูตร $v = U + v'$ ใช้ตรง ๆ ได้เฉพาะ basis ไม่หมุน.]

ดูคำตอบ ข้อ 4.17 →

ข้อ 4.18

ให้ $i' \left(t\right) = \cos \omega t i + \sin \omega t j$ . จงหา $\frac{\mathrm{d}i'}{\mathrm{d}t}$ และแสดงว่า $\frac{i' \cdot \mathrm{d}i'}{\mathrm{d}t} = 0$ .

[ $\frac{\mathrm{d}i'}{\mathrm{d}t} = \omega \left(- \sin \omega t i + \cos \omega t j\right)$ และ $\frac{i' \cdot \mathrm{d}i'}{\mathrm{d}t} = 0 .$ ]

ดูคำตอบ ข้อ 4.18 →

ข้อ 4.19

ถ้า point มี coordinates $x' = a , y' = 0$ คงที่ใน basis ที่ $i' \left(t\right) = \cos \omega t i + \sin \omega t j$ และ origin คงที่ จงหา $r \left(t\right) , v \left(t\right)$ เพื่อแสดงว่า “coordinates คงที่” ไม่ได้แปลว่า rest ใน $S$ .

Applications & Synthesis

[ $r = a \left(\cos \omega t i + \sin \omega t j\right) , v = a \omega \left(- \sin \omega t i + \cos \omega t j\right) \ne 0$ โดยทั่วไป.]

ดูคำตอบ ข้อ 4.19 →

ข้อ 4.20

คนว่ายน้ำ speed $u$ เทียบน้ำในแม่น้ำกว้าง $W$ มีกระแส $c < u$ . ถ้าต้องการไปถึงจุดตรงข้ามพอดี จงหาเวลาข้าม และเปรียบเทียบกับกรณีว่ายตั้งฉากกับฝั่งโดยไม่ชดเชยกระแส.

[ไปถึงตรงข้ามพอดีใช้ $t = \frac{W}{\sqrt{u^{2} - c^{2}}}$ ; ว่ายตั้งฉากไม่ชดเชยใช้ $\frac{W}{u}$ แต่ drift downstream และเร็วกว่า.]

ดูคำตอบ ข้อ 4.20 →

ข้อ 4.21

เครื่องบินต้องไป-กลับระยะ $L$ ตามแนวเดียวกับลม speed $w$ โดย airspeed $u > w$ . จงหาเวลา round trip และเปรียบเทียบกับ $\frac{2 L}{u}$ .

[ $t_{}$ round $= \frac{2 L u}{u^{2} - w^{2}} > \frac{2 L}{u} .$ ]

ดูคำตอบ ข้อ 4.21 →

ข้อ 4.22

$A$ อยู่ที่ origin เคลื่อนด้วย $v_{A} = \frac{5 i \mathrm{m}}{\mathrm{s}} . B$ อยู่ที่ $\left(20 , 10\right) m$ เคลื่อนด้วย $v_{B} = 3 i - \frac{2 j \mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ . จะชนกันหรือไม่ถ้ายังคง velocities เดิม?

[ไม่ชนกันภายใต้ velocities คงที่.]

ดูคำตอบ ข้อ 4.22 →

ข้อ 4.23

ใช้ข้อมูลข้อก่อนหา closest approach time และ minimum distance.

[ $t_{}$ closest $= 7.5 \mathrm{s} ; d_{\mathrm{min}} = 5 \sqrt{2} \approx 7.07 \mathrm{m} .$ ]

ดูคำตอบ ข้อ 4.23 →

ข้อ 4.24

รถไฟวิ่ง east $\frac{20 \mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ . ผู้โดยสารเดิน north $\frac{2 \mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ เทียบรถ. หา velocity เทียบพื้นและมุมทิศ. จากนั้นหาว่า passenger acceleration เทียบพื้นเป็นเท่าไรถ้าทั้งสอง velocities คงที่.

[ $v = 20 i + \frac{2 j \mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ , speed $\approx \frac{20.10 \mathrm{m}}{\mathrm{s}} , 5.71 {}^\circ$ north of east; $a = 0 .$ ]

ดูคำตอบ ข้อ 4.24 →

ข้อ 4.25

คนเดินบน moving walkway ยาว $L$ . walkway speed $u$ เทียบพื้น, คนเดิน speed $v$ เทียบ walkway. เปรียบเทียบเวลาเดินไปตาม walkway กับเดินสวนกลับระยะ $L$ โดยสมมติ $v > u$ .

[ $t_{+} = \frac{L}{v + u} , t_{-} = \frac{L}{v - u}$ ; สวนกลับใช้เวลามากกว่า.]

ดูคำตอบ ข้อ 4.25 →

ข้อ 4.26

ใน $S$ มีอนุภาค $A , B$ ที่ accelerations เท่ากัน $a_{A} = a_{B} = a \left(t\right)$ แต่ initial velocities ต่างกัน. พิสูจน์ว่า relative velocity คงที่แม้ $a \left(t\right)$ แปรเวลา.

[ $v_{A} - v_{B}$ คงที่ เพราะ derivative ของมันเป็นศูนย์.]

ดูคำตอบ ข้อ 4.26 →

ข้อ 4.27

เรดาร์บนรถ $A$ วัด relative velocity ของ $B$ ได้ constant $v_{\mathrm{rel}}$ และ relative position $r_{0}$ . จง derive criterion ว่า $B$ กำลังเข้าใกล้หรือห่าง ณ $t = 0$ โดยไม่หา distance derivative ที่มี square root.

[เมื่อ $r_{0} \ne 0 : r_{0} \cdot v_{\mathrm{rel}} < 0$ คือเข้าใกล้, $> 0$ คือห่าง; $= 0$ และ $v_{\mathrm{rel}} \ne 0$ คือใกล้สุดสำหรับความเร็วสัมพัทธ์คงที่; ถ้า $v_{\mathrm{rel}} = 0$ ระยะคงที่ และถ้า $r_{0} = 0$ อยู่จุดเดียวกันแล้ว.]

ดูคำตอบ ข้อ 4.27 →

ข้อ 4.28

โดรน $A$ ต้อง intercept โดรน $B . A$ เริ่ม origin มี speed คงที่ $u$ แต่เลือกทิศได้; $B$ เริ่ม $r_{0}$ และเคลื่อน constant $v_{B}$ . จง derive equation สำหรับ intercept time $T$ ก่อนหา heading.

[ $T$ หาได้จาก $\left(v_{B}^{2} - u^{2}\right) T^{2} + 2 \left(r_{0} \cdot v_{B}\right) T + r_{0}^{2} = 0$ ; heading $n = \frac{r_{0} + v_{B} T}{u T} .$ ]

ดูคำตอบ ข้อ 4.28 →

ข้อ 4.29

กรอบ $S'$ เร่งคงที่ $A$ ไป $+ x$ . ใน $S$ วัตถุ free particle มี $v = v_{0}$ constant และ $x \left(0\right) = x_{0}$ . จงหา $x' \left(t\right)$ เมื่อ origins ตรงกันที่ $t = 0$ และ $U \left(0\right) = 0$ แล้วอธิบาย shape ใน $S'$ .

$\left[x' \left(t\right) = x_{0} + v_{0} t - \left(\frac{1}{2}\right) A t^{2} ; v' = v_{0} - A t ; a' = - A .\right]$

ดูคำตอบ ข้อ 4.29 →

ข้อ 4.30

ให้ $S'$ เคลื่อน constant $U$ relative $S$ และ $S''$ เคลื่อน constant $W$ relative $S'$ . จงหา velocity transformation จาก $S''$ ไป $S$ และแสดง associativity ของ Galilean boosts.

[ $v = v'' + W + U$ ; composite boost $= U + W$ และการประกอบเป็น associative.]

ดูคำตอบ ข้อ 4.30 →