กลศาสตร์นิวตันพื้นฐาน

5.1 กฎของนิวตัน — สมการเวกเตอร์หนึ่งสมการ

$\sum F = m a$

สมการหลักคือเวกเตอร์. หลังจากเลือกแกนจึงแตกเป็นองค์ประกอบ $\sum F_{x} = m a_{x} , \sum F_{y} = m a_{y} , \sum F_{z} = m a_{z}$ . การเริ่มจากเวกเตอร์ช่วยป้องกันการลืมแรงหรือผูกทิศของแรงติดกับแกนโดยไม่จำเป็น.

5.2 ขั้นตอนสร้าง Free-Body Diagram (FBD)

เลือก “วัตถุที่กำลังวิเคราะห์” เพียงชิ้นเดียวก่อน
วาดเฉพาะแรงที่สิ่งแวดล้อมกระทำต่อวัตถุนั้น
เลือกแกนให้เหมาะกับรูปทรง/ข้อจำกัดของการเคลื่อนที่
แตกแรงเป็นองค์ประกอบหลังเลือกแกน ไม่ควรแตกแรงหลายรอบโดยไม่จำเป็น
เขียน $\sum F = m a$ แยกตามแกน แล้วจึงแก้สมการ

สองสถานะบนพื้นเอียงเดียวกัน: ไถลลงมีแรงเสียดทานขึ้นลาด; ไถลขึ้นมีแรงเสียดทานลงลาด N ตั้งฉากกับพื้นและ mg ชี้ลงเสมอ ลูกศรแรงเป็นภาพทิศ ไม่ใช่สเกลขนาด — **อ่านภาพ:** สองสถานะบนพื้นเอียงเดียวกัน: ไถลลงมีแรงเสียดทานขึ้นลาด; ไถลขึ้นมีแรงเสียดทานลงลาด $N$ ตั้งฉากกับพื้นและ $m g$ ชี้ลงเสมอ ลูกศรแรงเป็นภาพทิศ ไม่ใช่สเกลขนาด
**ลองสังเกต:** ทิศเสียดทานต้านความเร็วสัมพัทธ์ของผิว หรือจำเป็นต้องต้านความเร่ง?

5.3 แรงพื้นฐานที่ใช้บ่อย

สัญลักษณ์	ความหมาย / หน่วย / หมายเหตุ
$W = m g$	น้ำหนัก ชี้ลงในสนามโน้มถ่วงสม่ำเสมอ
$N$	แรงปฏิกิริยาปกติ ตั้งฉากกับผิวสัมผัส
$T$	แรงตึงเชือก ตามแนวเชือกในแบบจำลองเชือกเบา
$f_{s}$	แรงเสียดทานสถิต: $\left\|f_{s}\right\| \le \mu _{s} N$ และปรับค่าเท่าที่จำเป็น
$f_{k}$	แรงเสียดทานจลน์: $f_{k} = \mu _{k} N$ ทิศต้านการเลื่อนสัมพัทธ์

แรงเสียดทานสถิตไม่จำเป็นต้องเท่ากับ $\mu _{s} N$ เสมอ. ค่า $\mu _{s} N$ คือค่าสูงสุดก่อนเริ่มไถล. ต้องแก้สมการเพื่อหาค่าที่ต้องการก่อน แล้วตรวจว่าไม่เกินขีดจำกัด.

ก่อนลื่น f=−F ปรับได้ถึง −μₛmg เมื่อเริ่มลื่นไป +x จะเป็น −μₖmg; ตัวอย่าง m=1 kg, g=10, μₛ=0.5, μₖ=0.3 — **อ่านภาพ:** ก่อนลื่น $f = - F$ ปรับได้ถึง $- \mu _{s} m g$ เมื่อเริ่มลื่นไป $+ x$ จะเป็น $- \mu _{k} m g$ ; ตัวอย่าง $m = 1 \mathrm{kg} , g = 10 , \mu _{s} = 0.5 , \mu _{k} = 0.3$
**ลองสังเกต:** เหตุใดแรงมีเครื่องหมายกระโดดขึ้น แต่ขนาดแรงเสียดทานลดลง?

แยก FBD มวล m₁ และ m₂ คนละภาพ: มี T ขึ้นและน้ำหนักลง เชือกอุดมคติให้แรงตึงเดียวกันแต่ทิศบวกของแต่ละก้อนเลือกตามการเร่ง — **อ่านภาพ:** แยก FBD มวล $m_{1}$ และ $m_{2}$ คนละภาพ: มี $T$ ขึ้นและน้ำหนักลง เชือกอุดมคติให้แรงตึงเดียวกันแต่ทิศบวกของแต่ละก้อนเลือกตามการเร่ง
**ลองสังเกต:** ทำไม $T$ จึงไม่เท่ากับน้ำหนักของก้อนใดก้อนหนึ่งเมื่อกำลังเร่ง?

5.4 แรงอาจขึ้นกับเวลา ตำแหน่ง หรือความเร็ว

$F = F \left(r , v , t\right)$

$\frac{m \mathrm{d}^{2}r}{\mathrm{d}t^{2}} = F \left(r , \frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t} , t\right)$

นี่คือรูปทั่วไปของสมการการเคลื่อนที่แบบนิวตัน. ตัวอย่าง: แรงภายนอกตามเวลา $F \left(t\right)$ , แรงสปริงที่ขึ้นกับตำแหน่ง $F \left(r\right)$ , และแรงต้านอากาศที่ขึ้นกับ $v$ .

ตัวอย่างแรงสุทธิ F=6(1−t/3) N บนมวล 2 kg: พื้นที่ 9 N·s หารมวลให้ Δv=4.5 m/s — **อ่านภาพ:** ตัวอย่างแรงสุทธิ $F = 6 \left(1 - \frac{t}{3}\right) N$ บนมวล $2 \mathrm{kg}$ : พื้นที่ $9 \mathrm{N} \cdot s$ หารมวลให้ $\Delta v = \frac{4.5 \mathrm{m}}{\mathrm{s}}$
**ลองสังเกต:** กราฟแรงลดลงแต่ยังบวก หมายถึงความเร็วกําลังลดลงหรือเพิ่มขึ้น?

5.5 Drag แบบเชิงเส้นและกำลังสอง

$F_{}$ drag $= - b v$

$F_{}$ drag $= - c \left|v\right| v$

เครื่องหมายลบสื่อว่าแรงต้านทิศตรงข้ามกับ $v$ . รูปเชิงเส้นเหมาะกับบาง regime ของการไหลช้า ส่วนรูปกำลังสองใช้ได้ดีในหลายสถานการณ์ที่แรงต้านเพิ่มเร็วกับ speed. ในโจทย์ต้องยึดแบบจำลองที่กำหนด.

เปรียบเทียบการตกด้วยแรงต้านเชิงเส้นและกำลังสองบนแกนไร้มิติ z=gt/vₜ: เริ่มจากหยุดและเข้าใกล้ vₜ แต่รูปการเข้าใกล้ต่างกัน — **อ่านภาพ:** เปรียบเทียบการตกด้วยแรงต้านเชิงเส้นและกำลังสองบนแกนไร้มิติ $z = \frac{g t}{v_{t}}$ : เริ่มจากหยุดและเข้าใกล้ $v_{t}$ แต่รูปการเข้าใกล้ต่างกัน
**ลองสังเกต:** ที่ terminal ยังมีน้ำหนักและแรงต้านอยู่หรือไม่?

Example 5 — กล่องบนพื้นเอียงมีแรงเสียดทาน

Example 6 — แรงตามเวลา

5.6 แรงเป็น vector field

$F = F \left(r\right)$

เมื่อแรงขึ้นกับตำแหน่ง เราสามารถมองว่าทุกจุดในอวกาศมีเวกเตอร์แรงกำกับอยู่. นี่คือ force field. ใน Part 1 เราใช้แนวคิดนี้เพื่อเขียนสมการการเคลื่อนที่; ใน Part 2 จะศึกษาว่างานของสนามแรงขึ้นกับเส้นทางหรือไม่ และเชื่อมกับ potential energy.

สนามดึงเข้าศูนย์ F=−kr เทียบกับสนามวน F=a(−y,x): ลูกศรคำนวณจากสมการและตั้งต้นที่ตำแหน่งบนกริด พิกัดใช้หน่วยอ้างอิง — **อ่านภาพ:** สนามดึงเข้าศูนย์ $F = - k r$ เทียบกับสนามวน $F = a \left(- y , x\right)$ : ลูกศรคำนวณจากสมการและตั้งต้นที่ตำแหน่งบนกริด พิกัดใช้หน่วยอ้างอิง
**ลองสังเกต:** สนามใดขนานกับรัศมี และสนามใดตั้งฉากกับรัศมีที่ไม่เป็นศูนย์?

5.7 Cheat Sheet — บทที่ 5

เริ่มจาก $\sum F = m a$ ในรูปเวกเตอร์ แล้วค่อยแตกองค์ประกอบ
FBD แสดง “แรงจริงที่กระทำต่อวัตถุ” ไม่ใส่ $m a$
static friction: $\left|f_{s}\right| \le \mu _{s} N$ ; kinetic friction: $f_{k} = \mu _{k} N$
แรงทั่วไปเขียน $F \left(r , v , t\right)$ ได้
Newton’ $s$ law คือ vector ODE: $\frac{m \mathrm{d}^{2}r}{\mathrm{d}t^{2}} = F \left(r , \frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t} , t\right)$
force field $F \left(r\right)$ เป็นฐานสำหรับงาน/พลังงานใน Part 2

แบบฝึกหัดท้ายบทที่ 5 — Main Exercise 30 ข้อ

นโยบายแบบฝึกหัด

โจทย์ทั้ง 30 ข้อในบทนี้เขียนขึ้นใหม่สำหรับฉบับปรับปรุง พ.ศ. 2569 โดยตั้งใจให้โจทย์หลักไม่เป็นการแทนค่าสูตรตรง ๆ เป็นส่วนใหญ่ แต่ให้ใช้การอ่านกราฟ แคลคูลัส เหตุผลเชิงเวกเตอร์ การเลือกแบบจำลอง และการสังเคราะห์แนวคิดตามความเหมาะสมของบท. คำตอบสั้นทุกข้อแยกอยู่ใน Detailed Solution Manual.

Newton / FBD Core

ข้อ 5.1

บล็อกมวล $5.0 \mathrm{kg}$ บนพื้นราบถูกดึงด้วยแรง $20 \mathrm{N}$ ทำมุม 25° เหนือแนวนอน. สัมประสิทธิ์เสียดทานจลน์ $\mu _{k} = 0.15$ . ใช้ $g = \frac{9.8 \mathrm{m}}{\mathrm{s}^{2}}$ หา acceleration และตรวจว่าเหตุใด $N$ ไม่เท่ากับ $m g$ .

[ $N \approx 40.55 \mathrm{N} , f_{k} \approx 6.08 \mathrm{N} , a \approx \frac{2.41 \mathrm{m}}{\mathrm{s}^{2}}$ ไปตามแรงดึงแนวนอน.]

ดูคำตอบ ข้อ 5.1 →

ข้อ 5.2

บล็อกมวล $m$ บนพื้นเอียงมุม $\theta$ ไถลลง โดย $\mu _{k}$ . derive acceleration ตามพื้นและหา condition ที่ acceleration ลงเป็นบวก.

[ $a = g \left(\sin \theta - \mu _{k} \cos \theta \right)$ ลงตามพื้น; ต้อง $\tan \theta > \mu _{k}$ เพื่อให้ $a$ ลงเป็นบวก.]

ดูคำตอบ ข้อ 5.2 →

ข้อ 5.3

บล็อกมวล $m$ บนพื้นราบถูกแรงแนวนอน $F$ ไปทาง $+ x$ และเพิ่มช้า ๆ จากศูนย์. มี $\mu _{s} , \mu _{k}$ โดย $\mu _{s} > \mu _{k}$ . จงวาดกราฟแรงเสียดทาน $f$ ต่อ $F$ โดยถือทิศ $+ x$ เป็นบวก และอธิบายการเปลี่ยนแบบไม่ต่อเนื่องเมื่อเริ่มไถล.

[ $f \left(F\right) = - F$ สำหรับ $0 \le F \le \mu _{s} m g$ ; หลังเริ่มไถล $f = - \mu _{k} m g$ โดยเกิด jump เพราะ $\mu _{k} < \mu _{s} .$ ]

ดูคำตอบ ข้อ 5.3 →

ข้อ 5.4

วัตถุเคลื่อนเป็นวงกลมรัศมี $R$ บนพื้นราบโดย static friction เป็นแรงแนวรัศมีเพียงแรงเดียว. derive speed สูงสุดก่อนลื่นในรูป $\mu _{s} , g , R$ .

$\left[v_{\mathrm{max}} = \sqrt{\mu _{s} g R} .\right]$

ดูคำตอบ ข้อ 5.4 →

ข้อ 5.5

มวล $m$ แขวนด้วยเชือกในลิฟต์ที่เร่งขึ้น $A$ . หา tension. จากนั้นพิจารณา $A = - g$ และแปลความหมาย.

Connected Systems & Constraints

[ $T = m \left(g + A\right)$ ; เมื่อ $A = - g$ ได้ $T = 0 .$ ]

ดูคำตอบ ข้อ 5.5 →

ข้อ 5.6

Atwood machine มวล $m_{2} > m_{1}$ ต่อด้วยเชือกเบาผ่านรอก ideal. derive acceleration magnitude และ tension.

$\left[a = \frac{\left(m_{2} - m_{1}\right) g}{m_{1} + m_{2}} ; T = \frac{2 m_{1} m_{2} g}{m_{1} + m_{2}} .\right]$

ดูคำตอบ ข้อ 5.6 →

ข้อ 5.7

มวล $m_{1}$ บนโต๊ะไร้แรงเสียดทานต่อผ่านรอกกับมวลแขวน $m_{2}$ . derive $a$ และ $T$ .

$\left[a = \frac{m_{2} g}{m_{1} + m_{2}} ; T = \frac{m_{1} m_{2} g}{m_{1} + m_{2}} .\right]$

ดูคำตอบ ข้อ 5.7 →

ข้อ 5.8

ระบบข้อก่อนมี kinetic friction $\mu _{k}$ ระหว่าง $m_{1}$ กับโต๊ะ และ $m_{2}$ เคลื่อนลง. derive $a$ และ condition ที่สมมติ motion direction นี้ให้ $a > 0$ .

[ขณะ $m_{2}$ กำลังเคลื่อนลง: $a = \frac{g \left(m_{2} - \mu _{k} m_{1}\right)}{m_{1} + m_{2}} , T = \frac{m_{1} m_{2} g \left(1 + \mu _{k}\right)}{m_{1} + m_{2}} ; a$ ลงเป็นบวกเมื่อ $m_{2} > \mu _{k} m_{1}$ หาก $a < 0$ ยังอาจเคลื่อนลงแต่ชะลอจนหยุด.]

ดูคำตอบ ข้อ 5.8 →

ข้อ 5.9

มวลสามก้อน $m_{1} , m_{2} , m_{3}$ วางเรียงบนพื้นไร้แรงเสียดทาน เชื่อมด้วยเชือกเบา และถูกดึงที่ $m_{3}$ ด้วยแรง $F$ . หา acceleration ทั้งระบบและ tensions $T_{1}$ ระหว่าง $m_{1} - m_{2} , T_{2}$ ระหว่าง $m_{2} - m_{3}$ .

$\left[a = \frac{F}{M} ; T_{1} = \frac{F m_{1}}{M} ; T_{2} = \frac{F \left(m_{1} + m_{2}\right)}{M} , M = m_{1} + m_{2} + m_{3} .\right]$

ดูคำตอบ ข้อ 5.9 →

ข้อ 5.10

สองมวล $m$ และ $2 m$ แขวนเรียงแนวดิ่งด้วยเชือกสองเส้นจากเพดาน ระบบเร่งขึ้น $A$ ทั้งชุด. หา tension เชือกล่างและเชือกบน.

Constraint Reasoning

$\left[T_{\mathrm{low}} = 2 m \left(g + A\right) , T_{\mathrm{up}} = 3 m \left(g + A\right) .\right]$

ดูคำตอบ ข้อ 5.10 →

ข้อ 5.11

เชือกเส้นเดียวพาดรอก ideal เชื่อมตำแหน่ง $x_{1} , x_{2}$ โดยความยาว $L = x_{1} + x_{2} +$ constant. derive relation ระหว่าง velocities และ accelerations พร้อมอธิบายเครื่องหมาย.

[ $v_{1} + v_{2} = 0$ และ $a_{1} + a_{2} = 0 .$ ]

ดูคำตอบ ข้อ 5.11 →

ข้อ 5.12

ระบบ movable pulley แบบง่ายมี constraint $L = x + 2 y +$ constant โดย $x$ เป็นปลายเชือกอิสระและ $y$ เป็นตำแหน่งรอกเคลื่อนที่. derive velocity/acceleration relation และตีความ factor 2.

Time-Dependent Force

$\left[v_{x} + 2 v_{y} = 0 ; a_{x} + 2 a_{y} = 0 .\right]$

ดูคำตอบ ข้อ 5.12 →

ข้อ 5.13

อนุภาคมวล $m$ ถูกแรงสุทธิ $F \left(t\right) = F_{0} \left(1 - \frac{t}{T}\right) i$ สำหรับ $0 \le t \le T$ และเริ่มด้วย $v_{0}$ . หา $\Delta v$ และอธิบาย sign/area ของกราฟ $F \mathbin{-} t$ .

$\left[\Delta v = \left(\frac{F_{0} T}{2 m}\right) i .\right]$

ดูคำตอบ ข้อ 5.13 →

ข้อ 5.14

มวล $2 \mathrm{kg}$ ถูกแรงสุทธิ $F \left(t\right) = \left(6 t\right) i + \left(4 - 2 t\right) j N , v \left(0\right) = 0 , r \left(0\right) = 0$ . หา $v \left(t\right) , r \left(t\right)$ และเวลาเมื่อ $a_{y}$ เปลี่ยน sign.

[ $v = \left(1.5 t^{2}\right) i + \left(2 t - 0.5 t^{2}\right) j ; r = 0.5 t^{3} i + \left(t^{2} - \frac{t^{3}}{6}\right) j ; a_{y}$ เปลี่ยน sign ที่ $2 \mathrm{s} .$ ]

ดูคำตอบ ข้อ 5.14 →

ข้อ 5.15

แรงสุทธิบนมวล $m$ คือ $F = F_{0} \cos \omega t i$ . ถ้า $v \left(0\right) = 0$ และ $x \left(0\right) = 0$ จงหา $v \left(t\right) , x \left(t\right)$ และบอกเวลาที่ $x$ กลับมาเท่ากับ $x \left(0\right)$ ครั้งแรกหลัง $t = 0$ .

Velocity-Dependent Force

[ $v = \left(\frac{F_{0}}{m \omega }\right) \sin \omega t ; x = \left(\frac{F_{0}}{m \omega ^{2}}\right) \left(1 - \cos \omega t\right)$ ; return time $= \frac{2 \pi }{\omega } .$ ]

ดูคำตอบ ข้อ 5.15 →

ข้อ 5.16

ใน 1D แรงสุทธิ $F = - b v , b > 0$ . derive $v \left(t\right)$ และ $x \left(t\right)$ จาก $v \left(0\right) = v_{0} > 0 , x \left(0\right) = 0$ . ระบุ time constant.

$\left[v = v_{0} e^{- t / \tau } , x = v_{0} \tau \left(1 - e^{- t / \tau }\right) , \tau = \frac{m}{b} .\right]$

ดูคำตอบ ข้อ 5.16 →

ข้อ 5.17

วัตถุตกแนวดิ่งเลือก $+ y$ ลง ภายใต้ $m g$ และ linear drag $- b v$ . เริ่มจากหยุดนิ่ง. derive terminal speed และ $v \left(t\right)$ .

$\left[v_{t} = \frac{m g}{b} ; v \left(t\right) = \left(\frac{m g}{b}\right) \left(1 - e^{- b t / m}\right) .\right]$

ดูคำตอบ ข้อ 5.17 →

ข้อ 5.18

วัตถุตกเลือก $+ y$ ลง ภายใต้ quadratic drag $F_{}$ drag $= - c v^{2}$ . หา terminal speed และ derive $v \left(t\right)$ สำหรับ $v \left(0\right) = 0$ โดยแยกตัวแปร.

$\left[v_{t} = \sqrt{m g / c} ; v \left(t\right) = v_{t} \tanh \left(\frac{g t}{v_{t}}\right) .\right]$

ดูคำตอบ ข้อ 5.18 →

ข้อ 5.19

รถมวล $1200 \mathrm{kg}$ มีแรงเครื่องยนต์ $2400 \mathrm{N}$ ไปข้างหน้าและแรงต้าน $\left(400 + 20 v\right) N$ ย้อนทิศ. จงตั้ง ODE, หา terminal speed และ time constant ของ approach.

[ODE: $\frac{1200 \mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} = 2000 - 20 v ; v_{t} = \frac{100 \mathrm{m}}{\mathrm{s}} ; \tau = 60 \mathrm{s} .$ ]

ดูคำตอบ ข้อ 5.19 →

ข้อ 5.20

ใน 2D ให้ drag $F = - b v$ vector และไม่มีแรงอื่น. พิสูจน์ว่าทิศของ velocity คงที่แม้ขนาดลดลง และหา $v$ vector $\left(t\right)$ .

Position-Dependent Force / Chain Rule

[ $\vec{v} \left(t\right) = \vec{v}_{0} e^{- b t / m}$ ; direction คงที่และ speed ลด exponential.]

ดูคำตอบ ข้อ 5.20 →

ข้อ 5.21

ใน 1D มวล $m$ อยู่ภายใต้ $F \left(x\right) = F_{0} \left(1 - \frac{x}{L}\right)$ , เริ่มหยุดนิ่งที่ $x = 0$ . ใช้ Newton + chain rule หา $v^{2} \left(x\right)$ , ตำแหน่ง speed สูงสุด และ turning point ถัดไป.

[ $v^{2} = \left(\frac{2 F_{0}}{m}\right) \left(x - \frac{x^{2}}{2 L}\right) ; \max$ ที่ $x = L$ โดย $v_{\mathrm{max}}^{2} = \frac{F_{0} L}{m}$ ; turning point $x = 2 L .$ ]

ดูคำตอบ ข้อ 5.21 →

ข้อ 5.22

ใน 1D ให้ $F = - k x^{3}$ และวัตถุผ่าน $x = 0$ ด้วย speed $v_{0}$ . ใช้ Newton+chain rule หา speed ที่ $x$ และ maximum $\left|x\right|$ ที่เข้าถึงได้.

$\left[v^{2} = v_{0}^{2} - \left(\frac{k}{2 m}\right) x^{4} ; \left|x\right|_{\mathrm{max}} = \left(\frac{2 m v_{0}^{2}}{k}\right)^{1 / 4} .\right]$

ดูคำตอบ ข้อ 5.22 →

ข้อ 5.23

แรง 1D $F = \frac{A}{x}$ กระทำบนมวล $m$ สำหรับ $x > 0$ . ถ้า speed $v_{1}$ ที่ $x_{1}$ หา $v \left(x\right)$ และตรวจ dimension ของ $A$ .

Force Fields

$\left[v \left(x\right) = \pm \sqrt{v_{1}^{2} + \left(\frac{2 A}{m}\right) \ln \left(\frac{x}{x_{1}}\right)} ; \left[A\right] = N \cdot m = J .\right]$

ดูคำตอบ ข้อ 5.23 →

ข้อ 5.24

ให้ $F \left(x , y\right) = \left(- a y\right) i + \left(a x\right) j$ โดย $a > 0$ มีหน่วย $\frac{N}{m}$ . วาด/อธิบายทิศที่สี่แกนหลัก และหา $F \cdot r$ ที่จุดทั่วไป. สรุปว่าความสัมพันธ์เชิงทิศกับ radial vector เป็นอย่างไร.

[ $F \cdot r = 0$ ทุกจุด; ที่ $r \ne 0$ แรงตั้งฉากกับรัศมีและชี้สัมผัสวงกลมทวนเข็มเมื่อ $a > 0$ ; ที่ origin แรงเป็นศูนย์และมุมไม่ถูกนิยาม.]

ดูคำตอบ ข้อ 5.24 →

ข้อ 5.25

ให้ $F = - k r$ vector ใน 3D. จงหา acceleration field $a \left(r\right)$ และอธิบายทิศของ acceleration ที่ตำแหน่งใด ๆ. จากนั้นเขียน component ODEs.

[ $a \left(r\right) = - \left(\frac{k}{m}\right) r$ ; ODEs: $x$ ¨ $+ \left(\frac{k}{m}\right) x = 0 , y$ ¨ $+ \left(\frac{k}{m}\right) y = 0 , z$ ¨ $+ \left(\frac{k}{m}\right) z = 0 .$ ]

ดูคำตอบ ข้อ 5.25 →

ข้อ 5.26

ให้ $F \left(x , y\right) = \alpha x i - \beta y j$ . จงหาเส้น/บริเวณที่ $F$ ตั้งฉากกับ $r = \left(x , y\right)$ , และตีความพิเศษเมื่อ $\alpha = \beta$ .

Synthesis & Olympiad Style

[สำหรับ $\alpha , \beta > 0$ : มุมฉากเกิดบน $y = \pm \sqrt{\alpha / \beta } x$ โดยตัด origin ออก; เมื่อ $\alpha = \beta > 0$ เป็นเส้น $y = \pm x$ ที่ไม่รวม origin.]

ดูคำตอบ ข้อ 5.26 →

ข้อ 5.27

อนุภาคมวล $m$ มี trajectory ที่กำหนด $r \left(t\right) = R \cos \omega t i + R \sin \omega t j$ . ใช้ Newton หาแรงสุทธิ $F \left(t\right)$ และแสดงว่า $F \cdot v = 0$ โดยไม่ใช้แนวคิดงาน.

$\left[F \left(t\right) = - m R \omega ^{2} \left(\cos \omega t i + \sin \omega t j\right) ; F \cdot v = 0 .\right]$

ดูคำตอบ ข้อ 5.27 →

ข้อ 5.28

มวล $m$ บนพื้นราบถูกแรง $F \left(t\right) = F_{0} e^{- t / \tau }$ ไป $+ x$ และ kinetic friction magnitude $f$ คงที่ต้าน motion. สมมติวัตถุยังเคลื่อนไป $+ x$ จงหา $v \left(t\right)$ จาก $v \left(0\right) = v_{0}$ และหาเวลาที่ acceleration เปลี่ยน sign (ถ้ามี).

[ $v = v_{0} + \left(\frac{F_{0} \tau }{m}\right) \left(1 - e^{- t / \tau }\right) - \left(\frac{f}{m}\right) t$ ; ถ้า $F_{0} > f , a$ เปลี่ยน sign ที่ $t = \tau \ln \left(\frac{F_{0}}{f}\right) .$ ]

ดูคำตอบ ข้อ 5.28 →

ข้อ 5.29

รถมวล $m$ เคลื่อน 1D ภายใต้ engine force $\frac{P}{v}$ (กำลังคงที่ $P$ ) และ drag $b v$ . จงตั้ง ODE และหา terminal speed โดยไม่แก้ $v \left(t\right)$ . ตรวจหน่วยของแต่ละ term.

[ $\frac{m \mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} = \frac{P}{v} - b v$ ; terminal speed $v_{t} = \sqrt{P / b} .$ ]

ดูคำตอบ ข้อ 5.29 →

ข้อ 5.30

ให้ motion ที่สังเกตได้ใน 1D เป็น $v \left(x\right) = V \sqrt{1 - x / L}$ สำหรับ $0 \le x \le L$ และ mass $m$ . จงใช้ inverse dynamics หา $F \left(x\right)$ , จากนั้นตรวจว่าค่าแรง finite หรือไม่ที่ $x = L$ แม้ $\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}$ ดู singular.

[ $F \left(x\right) = - \frac{m V^{2}}{2 L}$ ตลอด $0 \le x \le L$ และยัง finite ที่ $x = L .$ ]

ดูคำตอบ ข้อ 5.30 →

Bridge: จากกลศาสตร์ 1 สู่กลศาสตร์ 2

What you are now ready to use

ใน Part 2 สิ่งเหล่านี้จะเติบโตเป็น

$W = \int _{C} F \cdot d r$

$F = -$ ∇ $U$

∇ $\times F \to$ ตรวจสมบัติของสนามแรง

$v = \omega \times r , \tau = r \times F , L = r \times p$

Checklist ก่อนขึ้น Part 2

หา derivative และ definite integral ของฟังก์ชันพื้นฐานได้
แตกเวกเตอร์ใน $i , j , k$ และรวมองค์ประกอบได้
คำนวณ $A \cdot B$ และเข้าใจ sign จากมุมได้
คำนวณ $A \times B$ เบื้องต้นและใช้กฎมือขวาได้
เข้าใจ $d r = v \mathrm{d}t$ ว่าเป็น displacement เล็กตามเส้นทาง
แยกได้ว่า $a = \frac{v \mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}$ เป็นสูตร 1D
มอง $F \left(r\right)$ เป็น vector field ได้
รู้ว่าสูตร relative motion ใน Part 1 ใช้กับ basis ที่ไม่หมุน