พื้นฐานจลศาสตร์และการวิเคราะห์ด้วยกราฟ

1.1 จากตำแหน่งไปสู่ความเร็วและความเร่ง

$v \left(t\right) = \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}$

$a \left(t\right) = \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}^{2}x}{\mathrm{d}t^{2}}$

สำหรับช่วงเวลาจำกัด $\Delta t$ ความเร็วเฉลี่ยคือ $\frac{\Delta x}{\Delta t}$ และความเร่งเฉลี่ยคือ $\frac{\Delta v}{\Delta t}$ . เมื่อทำช่วงเวลาให้เล็กลงจนเข้าใกล้ศูนย์ เราได้ instantaneous velocity และ instantaneous acceleration.

สัญลักษณ์	ความหมาย / หน่วย / หมายเหตุ
$x \left(t\right)$	ตำแหน่ง ณ เวลา $t$ , หน่วย $m$
$v \left(t\right)$	ความเร็วเชิงเส้น ณ เวลา $t$ , หน่วย $\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$
$a \left(t\right)$	ความเร่ง ณ เวลา $t$ , หน่วย $\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^{2}}$
$\frac{d}{\mathrm{d}t}$	อนุพันธ์ตามเวลา: บอกอัตราการเปลี่ยน ณ ขณะหนึ่ง

สามกราฟใช้ฟังก์ชันเดียวกัน: x=t³/3−2t²+3t, v=t²−4t+3, a=2t−4 ในหน่วย SI เส้นประตรงกันตามเวลา แต่แกนตั้งต่างหน่วย — **อ่านภาพ:** สามกราฟใช้ฟังก์ชันเดียวกัน: $x = \frac{t^{3}}{3} - 2 t^{2} + 3 t , v = t^{2} - 4 t + 3 , a = 2 t - 4$ ในหน่วย SI เส้นประตรงกันตามเวลา แต่แกนตั้งต่างหน่วย
**ลองสังเกต:** ที่ $v = 0$ ตำแหน่งเปลี่ยนจากเพิ่มเป็นลด หรือจากลดเป็นเพิ่มอย่างไร?

1.2 อ่านย้อนกลับด้วยอินทิกรัล

$v \left(t\right) = v_{0} + \int _{t_{0}}^{t} a \left(\tau \right) \mathrm{d}\tau$

$x \left(t\right) = x_{0} + \int _{t_{0}}^{t} v \left(\tau \right) \mathrm{d}\tau$

อินทิกรัลสะสมการเปลี่ยนแปลง: พื้นที่มีเครื่องหมายใต้กราฟ $a \mathbin{-} t$ ให้ $\Delta v$ และพื้นที่มีเครื่องหมายใต้กราฟ $v \mathbin{-} t$ ให้ $\Delta x$ . ถ้ากราฟอยู่ใต้แกน พื้นที่นั้นต้องนับเป็นลบ.

ตัวอย่าง v=4−t m/s: พื้นที่เหนือแกนเป็นบวก ใต้แกนเป็นลบ การกระจัดใช้ผลรวมมีเครื่องหมาย ส่วนระยะทางรวมขนาดพื้นที่ — **อ่านภาพ:** ตัวอย่าง $v = 4 - \frac{t \mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ : พื้นที่เหนือแกนเป็นบวก ใต้แกนเป็นลบ การกระจัดใช้ผลรวมมีเครื่องหมาย ส่วนระยะทางรวมขนาดพื้นที่
**ลองสังเกต:** ช่วงที่ $v < 0$ กราฟตำแหน่งควรเพิ่มหรือลด?

1.3 ความเร่งคงที่ใน 1 มิติ

$v = v_{0} +$ at

$x = x_{0} + v_{0} t + \frac{1}{2}$ at $^{2}$

$v^{2} = v_{0}^{2} + 2 a \left(x - x_{0}\right)$

สามสมการนี้เป็นผลจากการอินทิเกรตเมื่อ $a$ คงที่ ไม่ใช่สูตรที่ใช้ได้กับทุกการเคลื่อนที่. ก่อนใช้ต้องตรวจว่าความเร่งคงที่จริงในช่วงที่สนใจ.

ตัวอย่าง x₀=0, v₀=1 m/s, a=2 m/s²: กราฟ v–t เป็นเส้นตรง และพื้นที่ใต้กราฟให้การกระจัด — **อ่านภาพ:** ตัวอย่าง $x_{0} = 0 , v_{0} = \frac{1 \mathrm{m}}{\mathrm{s}} , a = \frac{2 \mathrm{m}}{\mathrm{s}^{2}}$ : กราฟ $v \mathbin{-} t$ เป็นเส้นตรง และพื้นที่ใต้กราฟให้การกระจัด
**ลองสังเกต:** ทำไมพื้นที่สี่เหลี่ยมกับสามเหลี่ยมจึงให้พจน์ $v_{0} t$ และ ½at $^{2}$ ?

Example 1 — การเคลื่อนที่แบบพหุนามและหาจุดสำคัญ

1.4 ขยายจาก 1D ไปสู่เวกเตอร์

$r \left(t\right) = x \left(t\right) i + y \left(t\right) j + z \left(t\right) k$

$v \left(t\right) = \frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t} = v_{x} i + v_{y} j + v_{z} k$

$a \left(t\right) = \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} = a_{x} i + a_{y} j + a_{z} k$

เมื่อฐาน $i , j , k$ คงที่ การหา derivative ของเวกเตอร์ทำได้โดยหา derivative ของแต่ละองค์ประกอบ. เงื่อนไข “ฐานคงที่” จะกลับมาสำคัญอีกครั้งในบทกรอบอ้างอิงและใน Part 2 เมื่อศึกษาแกนที่หมุน.

สัญลักษณ์	ความหมาย / หน่วย / หมายเหตุ
$i , j , k$	เวกเตอร์หนึ่งหน่วยตามแกน $x , y , z$
$r \left(t\right)$	เวกเตอร์ตำแหน่ง
$v \left(t\right)$	เวกเตอร์ความเร็ว สัมผัสกับเส้นทาง
$a \left(t\right)$	เวกเตอร์ความเร่ง ไม่จำเป็นต้องขนานกับ $v$

เวกเตอร์ A=(4,3) มีองค์ประกอบตั้งฉาก (4,0) และ (0,3) ความยาวลูกศรใช้สเกลเดียวกับแกน — **อ่านภาพ:** เวกเตอร์ $A = \left(4 , 3\right)$ มีองค์ประกอบตั้งฉาก (4,0) และ (0,3) ความยาวลูกศรใช้สเกลเดียวกับแกน
**ลองสังเกต:** ขนาดเวกเตอร์เท่ากับผลบวก 4+3 หรือความยาวด้านเอียง?

1.5 Dot product — วัดความสอดคล้องเชิงทิศ

$A \cdot B = A B \cos \theta = A_{x} B_{x} + A_{y} B_{y} + A_{z} B_{z}$

ฉาย B ลงบนทิศ A ที่เป็นแนว +x: ส่วนขนานมีขนาด B cosθ และส่วนตั้งฉากชี้จากปลายเงาไปยังปลาย B — **อ่านภาพ:** ฉาย $B$ ลงบนทิศ $A$ ที่เป็นแนว $+ x$ : ส่วนขนานมีขนาด $B \cos \theta$ และส่วนตั้งฉากชี้จากปลายเงาไปยังปลาย $B$
**ลองสังเกต:** เมื่อมุมเกิน 90° เงามีเครื่องหมายอย่างไร?

1.6 Cross product — เวกเตอร์ตั้งฉากกับระนาบ

$\left|A \times B\right| = A B \sin \theta$

$i \times j = k , j \times k = i , k \times i = j$

ทิศของ $A \times B$ หาได้ด้วยกฎมือขวา และสลับลำดับแล้วเครื่องหมายเปลี่ยน: $B \times A = - \left(A \times B\right)$ . ใน Part 1 เราเรียนเพียงภาษาและสมบัติพื้นฐาน; การประยุกต์กับ $v = \omega \times r$ , torque และ angular momentum จะอยู่ใน Part 2.

A และ B อยู่ในระนาบ xy โดย A×B ชี้ +z ออกจากหน้า ส่วน B×A ชี้เข้า หน่วยและลำดับเวกเตอร์ถูกแยกจากสเกลลูกศร — **อ่านภาพ:** $A$ และ $B$ อยู่ในระนาบ $x y$ โดย $A \times B$ ชี้ $+ z$ ออกจากหน้า ส่วน $B \times A$ ชี้เข้า หน่วยและลำดับเวกเตอร์ถูกแยกจากสเกลลูกศร
**ลองสังเกต:** ถ้าสลับลำดับ ขนาดเปลี่ยนหรือเปลี่ยนเฉพาะทิศ?

1.7 Cheat Sheet — บทที่ 1

$v = \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} , a = \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}$ ; อินทิกรัลย้อนกลับให้ $\Delta v$ และ $\Delta x$
ความเร่งคงที่: $v = v_{0} +$ at, $x = x_{0} + v_{0} t + \frac{1}{2}$ at $^{2} , v^{2} = v_{0}^{2} + 2 a \Delta x$
หลายมิติ: $r = x i + y j + z k$ และหา derivative แยกองค์ประกอบ
$A \cdot B = A B \cos \theta$ เป็นสเกลาร์; $A \times B$ มีขนาด $A B \sin \theta$ และตั้งฉากกับระนาบ $A \mathbin{-} B$

แบบฝึกหัดท้ายบทที่ 1 — Main Exercise 30 ข้อ

นโยบายแบบฝึกหัด

โจทย์ทั้ง 30 ข้อในบทนี้เขียนขึ้นใหม่สำหรับฉบับปรับปรุง พ.ศ. 2569 โดยตั้งใจให้โจทย์หลักไม่เป็นการแทนค่าสูตรตรง ๆ เป็นส่วนใหญ่ แต่ให้ใช้การอ่านกราฟ แคลคูลัส เหตุผลเชิงเวกเตอร์ การเลือกแบบจำลอง และการสังเคราะห์แนวคิดตามความเหมาะสมของบท. คำตอบสั้นทุกข้อแยกอยู่ใน Detailed Solution Manual.

Concept & Graph Reasoning

ข้อ 1.1

อนุภาคมีกราฟ $v \mathbin{-} t$ เป็นเส้นตรงจาก $v = \frac{6 \mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ ที่ $t = 0$ ไปถึง $v = - \frac{2 \mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ ที่ $t = 8 \mathrm{s}$ . จงหา (ก) ความเร่ง (ข) เวลาที่กลับทิศ (ค) การกระจัด และ (ง) ระยะทางใน $0 \mathbin{-} 8 \mathrm{s}$ .

[ $a = - \frac{1.0 \mathrm{m}}{\mathrm{s}^{2}}$ , กลับทิศที่ $t = 6.0 \mathrm{s}$ , การกระจัด $= 16 \mathrm{m}$ , ระยะทาง $= 20 \mathrm{m} .$ ]

ดูคำตอบ ข้อ 1.1 →

ข้อ 1.2

กราฟ $a \mathbin{-} t$ มี $a = \frac{4 \mathrm{m}}{\mathrm{s}^{2}}$ ใน $0 \le t < 2 \mathrm{s} , a = - \frac{2 \mathrm{m}}{\mathrm{s}^{2}}$ ใน $2 \le t < 5 \mathrm{s}$ และ $a = 0$ หลังจากนั้น. ถ้า $v \left(0\right) = \frac{1 \mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ จงหา $v \left(5 \mathrm{s}\right)$ และสเก็ตช์ลักษณะกราฟ $v \mathbin{-} t$ โดยระบุช่วงเพิ่ม/ลด/คงที่.

[ $v \left(5\right) = \frac{3 \mathrm{m}}{\mathrm{s}} ; v$ เพิ่มใน $0 \mathbin{-} 2 \mathrm{s}$ , ลดใน $2 \mathbin{-} 5 \mathrm{s}$ และคงที่หลัง $5 \mathrm{s} .$ ]

ดูคำตอบ ข้อ 1.2 →

ข้อ 1.3

นักเรียนกล่าวว่า “เมื่อ $a = 0$ วัตถุต้องหยุดนิ่ง” จงวิจารณ์ด้วยสมการและยกตัวอย่างการเคลื่อนที่ที่ $a = 0$ แต่ $v \ne 0$ .

[ข้อความเดิมผิด: $a = 0 \Rightarrow v$ คงที่ ไม่จำเป็นต้อง $v = 0 .$ ]

ดูคำตอบ ข้อ 1.3 →

ข้อ 1.4

ให้ตำแหน่ง $x \left(t\right) = t^{3} - 6 t^{2} + 9 t \left(m\right) , 0 \le t \le 5 \mathrm{s}$ . จงหาเวลาที่วัตถุหยุดชั่วขณะทั้งหมด แล้วคำนวณทั้งการกระจัดและระยะทางตลอดช่วง.

Calculus Core

[หยุดชั่วขณะที่ $t = 1 \mathrm{s}$ และ $3 \mathrm{s}$ ; การกระจัด $20 \mathrm{m}$ ; ระยะทาง $28 \mathrm{m} .$ ]

ดูคำตอบ ข้อ 1.4 →

ข้อ 1.5

อนุภาคมี $a \left(t\right) = 12 - 3 t \left(\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^{2}}\right) , v \left(0\right) = - \frac{4 \mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ . จงหาเวลาที่ $v$ มากที่สุดและค่าความเร็วสูงสุดในช่วง $0 \le t \le 6 \mathrm{s}$ .

[ $v$ มากที่สุดที่ $t = 4.0 \mathrm{s}$ และ $v_{\mathrm{max}} = \frac{20 \mathrm{m}}{\mathrm{s}} .$ ]

ดูคำตอบ ข้อ 1.5 →

ข้อ 1.6

ให้ $v \left(t\right) = 2 + 6 t - 3 t^{2} \left(\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\right) , x \left(0\right) = 5 \mathrm{m}$ . หา $x \left(t\right)$ , เวลาที่ตำแหน่งมากสุดใน $0 \le t \le 3 \mathrm{s}$ และค่าตำแหน่งนั้น.

[ $x \left(t\right) = 5 + 2 t + 3 t^{2} - t^{3} m$ ; ตำแหน่งมากสุดที่ $t = 1 + \frac{\sqrt{15}}{3} \approx 2.291 \mathrm{s}$ และ $x_{\mathrm{max}} \approx 13.303 \mathrm{m} .$ ]

ดูคำตอบ ข้อ 1.6 →

ข้อ 1.7

อนุภาคเริ่มจากหยุดนิ่งและมี $a \left(t\right) = a_{0} e^{- t / \tau }$ . จงหา $v \left(t\right) , \Delta x \left(t\right)$ และลิมิต $v \left(t\right)$ เมื่อ $t \to \infty$ .

[ $v = a_{0} \tau \left(1 - e^{- t / \tau }\right) , \Delta x = a_{0} \tau \left[t - \tau \left(1 - e^{- t / \tau }\right)\right]$ , และ $v \left(\infty \right) = a_{0} \tau .$ ]

ดูคำตอบ ข้อ 1.7 →

ข้อ 1.8

ความเร่งเป็น $a \left(t\right) = A - B t$ และ $v \left(0\right) = v_{0}$ โดย $A , B > 0$ . ถ้าทราบว่า $v$ มีค่าสูงสุด $V$ ที่เวลา $T$ จงหา $A$ และ $B$ ในรูปของ $v_{0} , V , T$ .

$\left[A = \frac{2 \left(V - v_{0}\right)}{T} , B = \frac{2 \left(V - v_{0}\right)}{T^{2}} .\right]$

ดูคำตอบ ข้อ 1.8 →

ข้อ 1.9

อนุภาคมี $a \left(t\right) = \alpha t$ และเริ่มด้วย $x \left(0\right) = x_{0} , v \left(0\right) = v_{0}$ . จงพิสูจน์ว่า $x - x_{0} - v_{0} t = \left(\frac{\alpha }{6}\right) t^{3}$ และอธิบายว่าทำไม term ใหม่จึงเป็นกำลังสามของเวลา.

[พิสูจน์ได้ว่า $x - x_{0} - v_{0} t = \left(\frac{\alpha }{6}\right) t^{3}$ ; กำลังสามเกิดจากการอินทิเกรต $a \propto t$ สองครั้ง.]

ดูคำตอบ ข้อ 1.9 →

ข้อ 1.10

ให้ $v \left(t\right) = V \sin \left(\omega t\right) , 0 \le t \le \frac{2 \pi }{\omega }$ และ $x \left(0\right) = 0$ . จงหา (ก) $x$ ( $t$ ) (ข) การกระจัดหนึ่งคาบ และ (ค) ระยะทางหนึ่งคาบ.

Vector Foundations

[ $x = \left(\frac{V}{\omega }\right) \left(1 - \cos \omega t\right)$ , การกระจัดหนึ่งคาบ $= 0$ , ระยะทางหนึ่งคาบ $= \frac{4 V}{\omega } .$ ]

ดูคำตอบ ข้อ 1.10 →

ข้อ 1.11

ให้ $A = 3 i - 4 j + 2 k$ และ $B = 2 i + j - 2 k$ . จงหา $A \cdot B$ , มุมระหว่างเวกเตอร์ และบอกว่าเป็นมุมแหลม/ฉาก/ป้าน.

[ $A \cdot B = - 2 ; \theta = \cos ^{-1} \left[- \frac{2}{3 \sqrt{29}}\right] \approx 97.11 {}^\circ$ เป็นมุมป้าน.]

ดูคำตอบ ข้อ 1.11 →

ข้อ 1.12

ให้ $A = 4 i + 2 j$ และ $B = i + 3 j$ . หา vector projection ของ $A$ บน $B$ และองค์ประกอบของ $A$ ที่ตั้งฉากกับ $B$ .

$\left[\operatorname{proj}_{B} A = i + 3 j ; A_{\mathrm{perp}} = 3 i - j .\right]$

ดูคำตอบ ข้อ 1.12 →

ข้อ 1.13

จงหา $\lambda$ ที่ทำให้ $A = \left(2 , \lambda , 1\right)$ ตั้งฉากกับ $B = \left(1 , - 2 , 3\right)$ และจากนั้นหาขนาดของ $A \times B$ .

[ $\lambda = \frac{5}{2}$ และ $\left|A \times B\right| = \frac{3 \sqrt{70}}{2} .$ ]

ดูคำตอบ ข้อ 1.13 →

ข้อ 1.14

ให้ $A = 2 i - j + 3 k$ และ $B = i + 4 j - 2 k$ . จงหา $A \times B$ และตรวจว่าคำตอบตั้งฉากกับทั้ง $A$ และ $B$ .

[ $A \times B = - 10 i + 7 j + 9 k$ และตั้งฉากกับทั้ง $A , B .$ ]

ดูคำตอบ ข้อ 1.14 →

ข้อ 1.15

เวกเตอร์ $A$ และ $B$ มีขนาด 5 และ 8 ตามลำดับ และ $A \cdot B = 20$ . จงหา $\left|A \times B\right|$ โดยไม่หา $\theta$ ก่อน.

$\left[\left|A \times B\right| = 20 \sqrt{3} .\right]$

ดูคำตอบ ข้อ 1.15 →

ข้อ 1.16

ให้ $r \left(t\right) = \left(t^{2} - 1\right) i + \left(2 t^{3}\right) j + \left(4 - t\right) k$ . จงหา $v \left(t\right) , a \left(t\right)$ และ $v \cdot a$ ที่ $t = 1$ พร้อมแปลความหมายของเครื่องหมาย.

[ $v = 2 t i + 6 t^{2} j - k , a = 2 i + 12 t j$ ; ที่ $t = 1$ ได้ $v \cdot a = 76 > 0$ จึง speed กำลังเพิ่ม.]

ดูคำตอบ ข้อ 1.16 →

ข้อ 1.17

อนุภาคมี $v \left(t\right) = \left(t - 2\right) i + \left(t^{2} - 4\right) j$ . หาเวลาทั้งหมดใน $0 \le t \le 3$ ที่ $v \cdot a = 0$ และระบุว่ากรณีใดสามารถตีความว่า $v$ ตั้งฉากกับ $a$ ได้จริง.

[สมการ $v \cdot a = 0$ ให้ $t = 2 \mathrm{s}$ ในช่วงที่กำหนด แต่ที่เวลานี้ $v = 0$ ดังนั้นมุมระหว่าง $v$ กับ $a$ ไม่ได้ถูกนิยาม; เป็นกรณี degeneracy ที่ต้องระบุ.]

ดูคำตอบ ข้อ 1.17 →

ข้อ 1.18

ให้ $A \left(t\right) = \cos \left(\omega t\right) i + \sin \left(\omega t\right) j$ . จงพิสูจน์ว่า $\left|A\right|$ คงที่แต่ $\frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}t}$ ไม่เป็นศูนย์ และหาความสัมพันธ์ $\frac{A \cdot \mathrm{d}A}{\mathrm{d}t}$ .

[ $\left|A\right| = 1$ คงที่, $\dot{A} \ne 0$ เมื่อ $\omega \ne 0$ และ $A \cdot \dot{A} = 0 .$ ]

ดูคำตอบ ข้อ 1.18 →

ข้อ 1.19

ให้ $r \left(t\right) = R \cos \left(\omega t\right) i + R \sin \left(\omega t\right) j$ . โดยใช้ derivative เท่านั้น จงพิสูจน์ว่า speed คงที่และ $r \cdot v = 0$ .

[speed $= R \left|\omega \right|$ คงที่ และ $r \cdot v = 0$ ทุกเวลา.]

ดูคำตอบ ข้อ 1.19 →

ข้อ 1.20

พิสูจน์เอกลักษณ์ $\frac{d \left(r \cdot r\right)}{\mathrm{d}t} = 2 r \cdot v$ และใช้เพื่อบอกเงื่อนไขของ motion ที่ระยะจาก origin คงที่.

Synthesis & Olympiad Style

[ $\frac{d \left(r \cdot r\right)}{\mathrm{d}t} = 2 r \cdot v$ ; motion ที่ระยะจาก origin คงที่ต้องมี $r \cdot v = 0$ ทุกเวลา และ converse ก็จริงเมื่อเงื่อนไขถือทั้งช่วง.]

ดูคำตอบ ข้อ 1.20 →

ข้อ 1.21

อนุภาคมี $r \left(t\right) = \left(t , t^{2}\right)$ ในระนาบ. จงหาเวลาที่ระยะจาก origin มีค่าน้อยสุดในช่วง $t \ge 1$ และใช้ทั้งวิธี derivative ของ $\left|r\right|^{2}$ กับเงื่อนไข $r \cdot v$ เพื่อ cross-check.

[ระยะน้อยสุดที่ $t = 1$ และ $D_{\mathrm{min}} = \sqrt{2} .$ ]

ดูคำตอบ ข้อ 1.21 →

ข้อ 1.22

ถ้า acceleration vector $a$ คงที่ใน Cartesian frame จงพิสูจน์ว่า $v^{2} = v_{0}^{2} + 2 a \cdot \left(r - r_{0}\right)$ โดยไม่แตกองค์ประกอบทีละแกน.

[ $v^{2} = v_{0}^{2} + 2 a \cdot \left(r - r_{0}\right)$ สำหรับ constant vector acceleration.]

ดูคำตอบ ข้อ 1.22 →

ข้อ 1.23

ให้ velocity ใน 2D เป็น $v \left(t\right) = \left(3 - 2 t\right) i + \left(4 + t\right) j$ . จงหาเวลาที่ speed ต่ำสุดและค่า speed ต่ำสุด โดยใช้เงื่อนไข $v \cdot a = 0$ .

$\left[t_{\mathrm{min}} = 0.400 \mathrm{s} , \mathrm{speed}_{\mathrm{min}} = \sqrt{24.2} \approx \frac{4.92 \mathrm{m}}{\mathrm{s}} .\right]$

ดูคำตอบ ข้อ 1.23 →

ข้อ 1.24

ข้อมูลตำแหน่ง 1D วัดได้ $x \left(0.9\right) = 2.43 \mathrm{m} , x \left(1.0\right) = 3.00 \mathrm{m} , x \left(1.1\right) = 3.63 \mathrm{m}$ . ใช้ central difference ประมาณ $v \left(1.0\right)$ และอธิบายว่าทำไมดีกว่าใช้ $\frac{\left[x \left(1.1\right) - x \left(1.0\right)\right]}{0.1}$ เพียงด้านเดียว.

[ $v \left(1.0\right) \approx \frac{6.0 \mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ ; central difference แม่นกว่าระดับ $O \left(h^{2}\right)$ เทียบกับ one-sided $O \left(h\right) .$ ]

ดูคำตอบ ข้อ 1.24 →

ข้อ 1.25

นักเรียนเขียน “ $v^{2} = v_{0}^{2} + 2 a \left(r - r_{0}\right)$ ” ในโจทย์ 3D. จงชี้ปัญหาเชิงชนิดของปริมาณ (scalar/vector) และแก้สมการให้ถูกต้อง.

[ต้องแก้เป็น $v^{2} = v_{0}^{2} + 2 a \cdot \left(r - r_{0}\right)$ ; จุดสำคัญคือ dot product ทำให้ข้างขวาเป็น scalar.]

ดูคำตอบ ข้อ 1.25 →

ข้อ 1.26

การกระจัดเล็กจริงคือ $\Delta r = \int _{t}^{t + \Delta t} v \left(s\right) \mathrm{d}s$ . ถ้า $v$ เปลี่ยนอย่างเรียบ จงอธิบายว่าทำไม $\Delta r \approx v \left(t\right) \Delta t$ เมื่อ $\Delta t$ เล็ก และข้อผิดพลาดนำมี order ใดโดยใช้ Taylor expansion ของ $v \left(s\right)$ .

[ $\Delta r = v \left(t\right) \Delta t + \left(\frac{1}{2}\right) a \left(t\right) \Delta t^{2} + O \left(\Delta t^{3}\right)$ ; จึง approximation แรกมี error $O \left(\Delta t^{2}\right) .$ ]

ดูคำตอบ ข้อ 1.26 →

ข้อ 1.27

ให้ $r \left(t\right) = A t i + B t^{2} j$ โดย $A , B > 0$ . จงหา curvature-free information ต่อไปนี้โดยไม่ใช้สูตร curvature: (ก) tangent direction ณ $t > 0$ (ข) sign ของ $v \cdot a$ (ค) motion เร็วขึ้นหรือช้าลง.

[tangent direction $= \frac{A , 2 B t}{\sqrt{A^{2} + 4 B^{2} t^{2}}} ; v \cdot a = 4 B^{2} t > 0$ ; motion เร็วขึ้นสำหรับ $t > 0 .$ ]

ดูคำตอบ ข้อ 1.27 →

ข้อ 1.28

เวกเตอร์ $A \left(t\right)$ มี $\left|A\right| = C$ คงที่และ differentiable. พิสูจน์ว่า $A \cdot A_{}$ dot $= 0$ . จากนั้นอธิบายข้อจำกัดของข้อความกลับ “ $A \cdot A_{}$ dot $= 0 \Rightarrow \left|A\right|$ คงที่”.

[ $\left|A\right|$ คงที่ $\Rightarrow A \cdot \dot{A} = 0$ ; converse ต้องให้ $A \cdot \dot{A} = 0$ ตลอดช่วง ไม่ใช่เพียงขณะเดียว.]

ดูคำตอบ ข้อ 1.28 →

ข้อ 1.29

ให้ $v \left(t\right) = v_{0} +$ at สำหรับ $a$ คงที่. จงหาเวลาที่ $v$ ตั้งฉากกับ $v_{0}$ (ถ้ามี) และระบุเงื่อนไขที่ทำให้เวลาเป็นบวก.

[ $t^{\ast} = - \frac{v_{0}^{2}}{a \cdot v_{0}}$ ; มุมฉากจริงที่เวลาบวกต้องมี $v_{0} \ne 0 , a \cdot v_{0} < 0$ และ $a$ ไม่ขนานกับ $v_{0}$ เพื่อให้ $v \left(t \ast \right) \ne 0$ ; หาก $a$ สวนทางและขนานกับ $v_{0}$ เวลานี้เป็นจุดหยุด ไม่ใช่มุมฉาก.]

ดูคำตอบ ข้อ 1.29 →

ข้อ 1.30

อนุภาคมี $r \left(t\right) = R \left[\cos t i + \sin t j\right] + c t k$ . จงหา speed, มุมระหว่าง $v$ กับแกน $z$ และพิสูจน์ว่า acceleration ไม่มีองค์ประกอบตาม $z$ .

[speed $= \sqrt{R^{2} + c^{2}} ; \cos \alpha = \frac{c}{\sqrt{R^{2} + c^{2}}} ; a = - R \left(\cos t i + \sin t j\right)$ และไม่มีองค์ประกอบ $z .$ ]

ดูคำตอบ ข้อ 1.30 →