การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย

8.1 จาก potential well ไปสู่คำถามใหม่: วัตถุ “แกว่งตามเวลา” อย่างไร?

สมมติระบบมวล–สปริงอุดมคติ บนพื้นไร้แรงเสียดทาน และกำหนดตำแหน่งสมดุลเป็น $x_{eq}$. เราจะใช้ displacement จากสมดุล

$$\xi = x - x_{eq}.$$

การเขียนด้วย $\xi$ สำคัญ เพราะ simple harmonic motion (SHM) ไม่ได้บังคับว่าจุดสมดุลต้องอยู่ที่ origin ของพิกัด. สิ่งสำคัญคือ motion แกว่งรอบ equilibrium ที่แท้จริง.

แหล่งอ้างอิงแนวคิดที่เปิดตรวจ: Young & Freedman, 15th ed. SI, Ch.14 §14.1, p.457 onward; Knight, 4th ed., Ch.15 §15.1, p.391 onward.

8.2 นิยามเชิงฟิสิกส์ของ SHM: อย่าเริ่มจากการจำ cosine

ระบบหนึ่งเป็น SHM เมื่อ acceleration เทียบกับ displacement จาก equilibrium มีรูป

$$\frac{d^{2}\xi}{dt^{2}} = - \omega^{2}\xi,$$

หรือเท่ากันใน particle model

$$F_{net} = - m\omega^{2}\xi.$$

เครื่องหมายลบหมายถึง acceleration ชี้ กลับเข้าหา equilibrium เสมอ ส่วน $\omega^{2}$ บอกว่า acceleration เพิ่มเร็วเพียงใดเมื่อ displacement เพิ่ม.

เงื่อนไขและขอบเขต ความสัมพันธ์นี้ต้องอ้างถึง displacement จาก equilibrium และเป็น linear restoring law. Motion ที่ periodic ไม่จำเป็นต้องเป็น SHM; nonlinear restoring force อาจให้ periodic motion ที่รูปคลื่นและ period ขึ้นกับ amplitude.

แหล่งอ้างอิงสมการ/แนวคิดที่เปิดตรวจ: Young & Freedman, 15th ed. SI, Ch.14 §14.2, p.459 onward; Serway & Jewett, 10th ed., Ch.15 §§15.1–15.2, pp.387–388 onward; Tipler & Mosca, 6th ed., Ch.14 §14-1, p.458 onward.

8.3 Mass–spring oscillator: Newton ทำให้ ODE โผล่ออกมาเอง

สำหรับ ideal spring,

$$F_{s} = - k\xi.$$

Newton’s second law ให้

$$m\frac{d^{2}\xi}{dt^{2}} = - k\xi,$$

จึงได้ equation of motion

$$\boxed{\frac{d^{2}\xi}{dt^{2}} + \frac{k}{m}\xi = 0}.$$

เปรียบเทียบกับนิยาม SHM เราได้

$$\boxed{\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}}.$$

ตรวจหน่วย: $k/m$ มีหน่วย $(N/m)/kg = s^{- 2}$ ดังนั้น $\omega$ มีมิติ $s^{- 1}$ และนิยมเขียนหน่วย rad/s.

แหล่งอ้างอิงสมการที่เปิดตรวจ: Young & Freedman, 15th ed. SI, Ch.14 §14.2; Knight, 4th ed., Ch.15 §15.4, pp.399–401; Serway & Jewett, 10th ed., Ch.15 §15.2, pp.388–393.

8.4 จาก ODE ไปสู่ sinusoidal motion

แทนที่จะสอนทฤษฎี ODE เชิงนามธรรมเต็มรูป เราใช้วิธีที่ตรวจสอบได้โดยตรง: ลองฟังก์ชัน

$$\xi(t) = A\cos(\omega t + \phi).$$

หาอนุพันธ์

$$\frac{d\xi}{dt} = - A\omega\sin(\omega t + \phi),$$

และ

$$\frac{d^{2}\xi}{dt^{2}} = - A\omega^{2}\cos(\omega t + \phi) = - \omega^{2}\xi.$$

จึง satisfy ODE ทุกเวลา. รูปเทียบเท่าที่มีประโยชน์ต่อ initial conditions คือ

$$\xi(t) = C\cos\omega t + D\sin\omega t.$$

ในบทนี้ใช้ amplitude–phase form เป็นภาษาหลัก และใช้ $C,D$ เมื่อทำให้ initial-value algebra สั้นลง.

แหล่งอ้างอิงที่เปิดตรวจ: Young & Freedman, 15th ed. SI, Ch.14 §14.2; Knight, 4th ed., Ch.15 §15.4, pp.399–401; Serway & Jewett, 10th ed., Ch.15 §15.2.

8.5 ความหมายของ A, ω, φ, T และ f

จาก

$$\xi = A\cos(\omega t + \phi),$$

• $A \geq 0$ คือ amplitude: displacement magnitude มากที่สุดจาก equilibrium

• $\omega$ คือ angular frequency ของ phase progression

• $\phi$ คือ phase constant ซึ่งกำหนด state ณ $t = 0$

• $T$ คือเวลาหนึ่งรอบ

• $f$ คือจำนวนรอบต่อวินาที

เพราะ cosine กลับค่าเดิมเมื่อ phase เพิ่ม $2\pi$,

$$\omega T = 2\pi,\quad\quad\boxed{T = \frac{2\pi}{\omega}},\quad\quad\boxed{f = \frac{1}{T} = \frac{\omega}{2\pi}}.$$

สำหรับ mass–spring,

$$\boxed{T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}}.$$

ข้อควรระวัง: $\omega$ ในบทนี้คือ oscillation angular frequency; แม้ใช้สัญลักษณ์เดียวกับ angular velocity ใน rotation แต่ความหมายทางกายภาพต่างกัน.

8.6 Initial conditions: state หนึ่งจุดกำหนด solution ทั้งเส้น

ให้

$$\xi(0) = \xi_{0},\quad\quad v(0) = v_{0}.$$

จาก solution,

$$\xi_{0} = A\cos\phi,\quad\quad v_{0} = - A\omega\sin\phi.$$

ยกกำลังสองและบวกกันได้

$$\boxed{A = \sqrt{\xi_{0}^{2} + \left( \frac{v_{0}}{\omega} \right)^{2}}}.$$

สำหรับ phase ต้องใช้ข้อมูลทั้ง sine และ cosine เพื่อเลือก quadrant. สูตร $\tan\phi = - v_{0}/\left( \omega\xi_{0} \right)$ อย่างเดียวไม่พอเมื่อเราต้องตัดสิน quadrant.

แหล่งอ้างอิงที่เปิดตรวจ: Young & Freedman, 15th ed. SI, Ch.14 §14.2, including its phase/amplitude relations; Serway & Jewett, 10th ed., Ch.15 §15.2.

8.7 อ่าน x, v, a พร้อมกัน: derivative คือ physics

จาก solution,

$$v = - A\omega\sin(\omega t + \phi),$$

$$a = - A\omega^{2}\cos(\omega t + \phi) = - \omega^{2}\xi.$$

จึงมี

$$\boxed{v_{\max} = A\omega},\quad\quad\boxed{a_{\max} = A\omega^{2}}.$$

อ่านกราฟให้เป็น:

• ที่ turning point $|\xi| = A$: $v = 0$ แต่ $|a|$ มากที่สุด

• ที่ equilibrium $\xi = 0$: $a = 0$ แต่ $|v|$ มากที่สุด

• $a$ ตรงข้ามกับ $\xi$ ทุกขณะ

• $v$ ต้องดูจาก slope ของกราฟ $\xi(t)$ ไม่ใช่ดูเครื่องหมายของ $\xi$

8.8 Energy in SHM: motion เดียวกัน แต่มองโดยไม่ต้องรู้เวลา

Chapter 7 ให้

$$E = K + U.$$

สำหรับ ideal mass–spring,

$$\boxed{E = \frac{1}{2}mv^{2} + \frac{1}{2}k\xi^{2} = \text{constant}}.$$

ที่ turning point $|\xi| = A$ และ $v = 0$,

$$\boxed{E = \frac{1}{2}kA^{2}}.$$

ดังนั้น

$$\frac{1}{2}mv^{2} + \frac{1}{2}k\xi^{2} = \frac{1}{2}kA^{2},$$

และใช้ $k = m\omega^{2}$ ได้

$$\boxed{v^{2} = \omega^{2}\left( A^{2} - \xi^{2} \right)}.$$

แหล่งอ้างอิงที่เปิดตรวจ: Young & Freedman, 15th ed. SI, Ch.14 §14.3, p.466 onward; Serway & Jewett, 10th ed., Ch.15 §15.3, p.394 onward; Tipler & Mosca, 6th ed., Ch.14 §14-2, p.465 onward.

8.9 Phase-space ellipse: geometry ของ state

จัดรูป speed–position relation:

$$\boxed{\frac{\xi^{2}}{A^{2}} + \frac{v^{2}}{\omega^{2}A^{2}} = 1}.$$

นี่คือ ellipse ในระนาบ $(\xi,v)$.

สมการนี้ derive ในบทนี้ จาก energy equation; ไม่อ้างว่าเป็นเลขสมการจาก textbook. จุดหนึ่งบน ellipse คือ state หนึ่งขณะ. เมื่อเวลาผ่านไป state เคลื่อนรอบ curve เดิมเพราะ $E$ คงที่.

8.10 หา period จาก energy integral โดยไม่ใช้ cosine

จาก

$$|v| = \omega\sqrt{A^{2} - \xi^{2}},$$

ใน quarter-cycle ที่ $\xi$ เพิ่มจาก $0$ ไป $A$ อย่าง monotonic,

$$dt = \frac{d\xi}{\omega\sqrt{A^{2} - \xi^{2}}}.$$

ดังนั้น

$$\frac{T}{4} = \frac{1}{\omega}\int_{0}^{A}\frac{d\xi}{\sqrt{A^{2} - \xi^{2}}}.$$

ใช้ substitution $\xi = A\sin u$ จะได้ integral เท่ากับ $\pi/2$ จึง

$$T = \frac{2\pi}{\omega}.$$

นี่เป็น original derivation จาก verified base relations: energy จาก Chapter 7 + speed–position relation + definite integral ที่นักเรียนมีแล้ว.

8.11 Constant force เปลี่ยน equilibrium แต่ไม่เปลี่ยน stiffness

พิจารณา

$$F(x) = - kx + F_{0}.$$

equilibrium satisfy $F = 0$:

$$x_{eq} = \frac{F_{0}}{k}.$$

ให้ $\xi = x - x_{eq}$:

$$F = - k\xi.$$

ดังนั้น equation of motion รอบ equilibrium ใหม่ยังเป็น

$$m\xi'' + k\xi = 0,$$

และ

$$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}.$$

Vertical spring เป็นตัวอย่างสำคัญ: gravity ทำให้ spring ยืดจน equilibrium ใหม่ แต่ถ้า spring ยัง linear และเราเขียน displacement จาก equilibrium ใหม่นั้น คาบยังเป็น $2\pi\sqrt{m/k}$.

แหล่งอ้างอิงที่เปิดตรวจ: Young & Freedman, 15th ed. SI, Ch.14 §14.4, hanging-spring discussion immediately before §14.5; Knight, 4th ed., Ch.15 §15.5, pp.402–403.

8.12 Small oscillations: ทำไม minimum จำนวนมาก “ดูเป็น spring” เมื่อซูมเข้าไปใกล้พอ

ให้ $x_{eq}$ เป็น equilibrium ดังนั้น

$$F\left( x_{eq} \right) = 0.$$

สำหรับ $\xi = x - x_{eq}$ เล็ก Taylor expansion ให้

$$F\left( x_{eq} + \xi \right) \approx F'\left( x_{eq} \right)\xi.$$

ถ้า equilibrium เสถียรแบบ nondegenerate,

$$F'\left( x_{eq} \right) < 0.$$

นิยาม

$$k_{eff} = - F'\left( x_{eq} \right) > 0,$$

แล้ว

$$m\xi'' + k_{eff}\xi \approx 0,$$

จึง

$$\boxed{\omega \approx \sqrt{\frac{k_{eff}}{m}}}.$$

จาก Chapter 7, $F = - dU/dx$. ดังนั้นใกล้ minimum,

$$U\left( x_{eq} + \xi \right) \approx U\left( x_{eq} \right) + \frac{1}{2}U''\left( x_{eq} \right)\xi^{2},$$

และ

$$\boxed{\omega \approx \sqrt{\frac{U''\left( x_{eq} \right)}{m}}}.$$

Source support ที่เปิดตรวจ: Young & Freedman §14.2 ระบุว่า real restoring force มักประมาณ linear ได้เมื่อ displacement เล็ก และ §14.4 แสดงตัวอย่าง interaction ที่ไม่เป็น Hooke law แต่กลายเป็น linear force / quadratic potential สำหรับ small oscillations. General derivative formula ด้านบน derive ในบทนี้ จาก Taylor expansion + Chapter 7 relation $F = - U'$.

8.13 Simple pendulum: exact equation ก่อน approximation

simple pendulum idealization: bob เป็น point mass, string เบาและยืดไม่ได้, pivot คงที่, motion ในระนาบ, uniform $g$, ไม่มี drag.

ให้ $\theta$ วัดจากแนวดิ่งลง. Tangential component ของ gravity คือ

$$F_{t} = - mg\sin\theta.$$

เนื่องจาก tangential acceleration $a_{t} = L\theta''$,

$$mL\theta'' = - mg\sin\theta,$$

จึงได้ exact nonlinear equation

$$\boxed{\theta'' + \frac{g}{L}\sin\theta = 0}.$$

นี่ ยังไม่ใช่ SHM เพราะ restoring term เป็น $\sin\theta$ ไม่ใช่ $\theta$.

เมื่อ $|\theta|$ เล็กและวัดเป็น radians,

$$\sin\theta \approx \theta,$$

จึงได้

$$\theta'' + \frac{g}{L}\theta \approx 0,$$

และ

$$\boxed{\omega \approx \sqrt{\frac{g}{L}}},\quad\quad\boxed{T \approx 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}}.$$

Knight และ Serway อภิปรายช่วงประมาณ $10^{\circ}$ เป็น practical small-angle range; สิ่งสำคัญกว่าตัวเลข cutoff คือ ต้องระบุ approximation และตรวจว่ามุมอยู่ในช่วงที่ยอมรับได้สำหรับความแม่นยำที่ต้องการ.

แหล่งอ้างอิงที่เปิดตรวจ: Young & Freedman, 15th ed. SI, Ch.14 §14.5, p.474 onward; Knight, 4th ed., Ch.15 §15.6, pp.404–406; Serway & Jewett, 10th ed., Ch.15 §15.5, pp.400–403.

8.14 Strategic method selection

• ต้องการ x(t), phase หรือเวลาที่ผ่านตำแหน่ง → ODE / sinusoidal time-domain. เพราะต้องเก็บข้อมูลเวลาและทิศการเคลื่อนที่.

• ต้องการ speed ที่ตำแหน่งหนึ่งหรือ turning point → Energy. เพราะไม่ต้องแก้ phase ถ้าไม่จำเป็น.

• oscillator มี equilibrium เลื่อน → Shift coordinate ไปที่ x_eq. เพราะ constant force เปลี่ยนศูนย์สมดุล แต่ไม่เปลี่ยน local stiffness.

• force/potential แปลก ๆ แต่ถาม small oscillation → Linearize F หรือ quadratic-expand U. เพื่อหา local stiffness โดยตรง.

• ต้องการตรวจว่า motion เป็น SHM หรือไม่ → ทดสอบ a ∝ −ξ. เพราะ periodic อย่างเดียวไม่พอ.

8.15 Worked Examples

ตัวอย่าง 8.1 — จาก Newton ไปถึง motion law

มวล $m$ ผูกกับ spring constant $k$ บนพื้นไร้แรงเสียดทาน. เริ่มที่ $\xi(0) = A$ และ $v(0) = 0$. หา motion.

1) Model. มีแรงตามแกนเดียวคือ $- k\xi$.

$$m\xi'' = - k\xi.$$

ดังนั้น $\omega = \sqrt{k/m}$.

2) Candidate solution. ใช้ $\xi = A\cos(\omega t + \phi)$.

3) Initial condition. ที่ $t = 0$, $A = A\cos\phi$ และ $0 = - A\omega\sin\phi$. เลือก $\phi = 0$.

$$\boxed{\xi(t) = A\cos\left( \sqrt{\frac{k}{m}}t \right)}.$$

Sanity check. ที่ $t = 0$ อยู่ด้าน $+ A$ และ acceleration ต้องลบ; จาก solution $a(0) = - \omega^{2}A$ ถูกต้อง.

ตัวอย่าง 8.2 — initial state ไม่ได้เริ่มที่ turning point

ให้ $\omega = 4.0\ rad/s$, $\xi_{0} = 0.030\ m$ และ $v_{0} = - 0.160\ m/s$.

Amplitude:

$$A = \sqrt{(0.030)^{2} + \left( \frac{- 0.160}{4.0} \right)^{2}} = 0.050\ m.$$

ดังนั้น $\cos\phi = 0.030/0.050 = 0.60$ และ $\sin\phi = - v_{0}/(A\omega) = 0.80$. ทั้งคู่บวก → $\phi$ อยู่ quadrant I.

$$\phi \approx 0.927\ rad.$$

จึง

$$\boxed{\xi = 0.050\cos(4.0t + 0.927)\ m}.$$

เหตุผลที่ไม่ใช้ arctan อย่างเดียว: ต้องรู้ quadrant จาก signs ของ sine/cosine.

ตัวอย่าง 8.3 — speed จากตำแหน่งโดยไม่แก้เวลา

oscillator มี amplitude $A$ และ angular frequency $\omega$. หา speed ที่ $\xi = A/2$.

จาก energy,

$$v^{2} = \omega^{2}\left( A^{2} - \frac{A^{2}}{4} \right) = \frac{3}{4}\omega^{2}A^{2}.$$

ดังนั้น

$$\boxed{|v| = \frac{\sqrt{3}}{2}\omega A}.$$

Energy method ให้ magnitude; ถ้าต้องการ sign ต้องรู้ว่ากำลังผ่านตำแหน่งนี้ในทิศใด.

ตัวอย่าง 8.4 — vertical spring: gravity หายไปไหน?

กำหนดแกนลงเป็นบวก และให้ $y$ วัดจาก natural length. แรงสุทธิ

$$F = mg - ky.$$

equilibrium:

$$y_{eq} = \frac{mg}{k}.$$

ให้ $\xi = y - y_{eq}$:

$$F = mg - k\left( \xi + y_{eq} \right) = - k\xi.$$

จึง

$$\boxed{\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}}.$$

Gravity ไม่ได้ “หาย” แต่ถูกใช้กำหนด equilibrium shift; local restoring slope ยังเป็น $- k$.

ตัวอย่าง 8.5 — หา small-oscillation frequency จาก potential

ให้

$$U(x) = U_{0} + \alpha x^{2} + \beta x^{4},\quad\quad\alpha > 0,\ \beta > 0.$$

ที่ $x = 0$,

$$U'(0) = 0,\quad\quad U''(0) = 2\alpha.$$

ดังนั้นสำหรับ amplitude เล็ก

$$\boxed{\omega \approx \sqrt{\frac{2\alpha}{m}}}.$$

พจน์ $\beta x^{4}$ ไม่หายจาก physics; เพียงแต่ contribution ต่อ restoring force เป็น higher order และเล็กกว่า linear term ใกล้ origin. เมื่อ amplitude โตขึ้น motion ไม่ใช่ exact SHM และ period อาจเปลี่ยน.

ตัวอย่าง 8.6 — pendulum: ตรวจ approximation ก่อนใช้สูตร

pendulum ยาว $L$ ถูกปล่อยจาก $\theta_{0} = 8^{\circ}$. เราต้องระบุว่า exact equation คือ

$$\theta'' + \frac{g}{L}\sin\theta = 0.$$

เพราะ $8^{\circ} \approx 0.140\ rad$ อยู่ใน practical small-angle range ที่ตำราหลักอภิปราย เราจึงใช้ leading approximation

$$T \approx 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}.$$

Teacher note: ถ้าโจทย์ต้องการ accuracy สูงมาก ต้องไม่ใช้เพียงคำว่า “มุมเล็ก” แบบไม่มี error criterion.

8.16 Main Exercise — 30 ข้อ

โจทย์ 8.1–8.30 เป็น original authoring ของโครงการ. ไม่มีข้อใดอ้างว่าเป็นโจทย์จาก textbook.

Concept / Model Checks

โจทย์ 8.1 — Periodic แต่ไม่จำเป็นต้อง SHM อนุภาคเคลื่อน periodic ใน 1D และวัดได้ว่า period คงที่ในชุดการทดลองหนึ่ง. เพียงข้อมูลนี้พอหรือไม่ที่จะสรุปว่า motion เป็น SHM? เสนอการวัด/กราฟอย่างน้อยหนึ่งแบบที่ตรวจ defining condition ของ SHM ได้โดยตรง และอธิบายผลที่คาดหากเป็น SHM.

โจทย์ 8.2 — จุดกำเนิดไม่ใช่ equilibrium ระบบมีแรง $F = - k(x - b)$ โดย $b \neq 0$. นักเรียนเขียนว่า “ไม่ใช่ SHM เพราะแรงไม่เท่ากับ $- kx$.” จงวิจารณ์และเขียนตัวแปรที่ทำให้ structure ของ SHM ปรากฏชัด.

โจทย์ 8.3 — สัญญาณของ x, v, a ที่ขณะหนึ่ง oscillator มี $\xi > 0$ และ $v < 0$. จงระบุ sign ของ $a$ และบอกว่ากำลังเคลื่อนเข้า/ออกจาก equilibrium. ต่อมาเมื่อผ่าน $\xi = 0$ ทันที sign ของ $v$ และ $a$ เป็นอย่างไร? ให้เหตุผลจาก dynamics ไม่ใช่จากภาพจำ.

โจทย์ 8.4 — Approximation audit นักเรียนใช้ $T = 2\pi\sqrt{L/g}$ กับ pendulum ที่ amplitude $35^{\circ}$. ระบุขั้นตอน exact → approximate ที่ถูกละไว้ และอธิบายว่าทำไมการได้หน่วยถูกไม่ได้รับประกันว่า model ถูก.

ODE + Differential Calculus Core

โจทย์ 8.5 — Verify, do not assume ให้ $x(t) = C\cos\omega t + D\sin\omega t$. จงพิสูจน์ด้วย differentiation ว่าฟังก์ชันนี้ satisfy $x'' + \omega^{2}x = 0$ สำหรับทุก $C,D$ และแสดงว่า $C,D$ ถูกกำหนด uniquely จาก $x(0),v(0)$.

โจทย์ 8.6 — Initial state → amplitude and phase oscillator มี $\omega$ ที่ทราบ และ ณ $t = 0$ มี $x_{0} = - A/2$ พร้อม velocity เป็นบวก. จงหาค่า phase ที่เป็นไปได้ในช่วง $0 \leq \phi < 2\pi$ โดย reasoning จาก quadrant แล้วตรวจด้วย signs ของ $x_{0},v_{0}$.

โจทย์ 8.7 — First-passage time oscillator เริ่มที่ $x(0) = 0$ เคลื่อนไปทาง $+ x$ ด้วย speed $v_{0}$. จงสร้าง $x(t)$ และหาเวลาครั้งแรกที่ถึง $x = A/2$ ในรูป $\omega$. ห้ามเริ่มจากสูตรเวลาใดที่จำมา.

โจทย์ 8.8 — Fraction of time in a region สำหรับ SHM amplitude $A$, จงหาสัดส่วนของหนึ่งคาบที่อนุภาคอยู่ในบริเวณ $|x| < A/2$. ต้องอธิบายด้วย phase intervals และ symmetry.

โจทย์ 8.9 — Parameter scaling without substitution สอง oscillator มี $(m,k)$ และ $(\lambda m,\mu k)$. หาอัตราส่วน period และ maximum speed เมื่อทั้งคู่มี amplitude เท่ากัน. อธิบายกรณีที่ period เท่ากันแต่ maximum speedต่างกันได้หรือไม่.

โจทย์ 8.10 — Recover motion from acceleration data ที่ $t = 0$, วัด $a_{0} < 0$, $x_{0} > 0$ และทราบว่า motion เป็น SHM. จงหา $\omega$ จาก $a_{0},x_{0}$ และเขียน amplitude ในรูป $x_{0},v_{0},a_{0}$ โดยไม่ใช้ $k$.

โจทย์ 8.11 — Event timing with two crossings oscillator มี $x = A\cos\omega t$. หาเวลาทั้งหมดในหนึ่งคาบที่ speed เท่ากับครึ่งหนึ่งของ $v_{max}$. อธิบายว่าทำไมมีหลายคำตอบแม้ speed value เดียว.

โจทย์ 8.12 — Average of x² by integration พิสูจน์โดย definite integral over one period ว่า $\langle x^{2}\rangle = A^{2}/2$. จากนั้นหา $\langle a^{2}\rangle$.

Energy / Graph / State-Space

โจทย์ 8.13 — Energy partition หา $|x|/A$ เมื่อ $K = 3U$. จากนั้นหาสัดส่วนของหนึ่งคาบที่ $K > 3U$ โดยใช้ phase reasoning.

โจทย์ 8.14 — State from energy oscillator มี total energy $E$ และ ณ ตำแหน่ง $x = x_{1}$ วัด speed ได้ $v_{1}$. สร้าง expression สำหรับ $k/m$ ที่หาได้จากข้อมูล $\left( E,m,x_{1},v_{1} \right)$ หากข้อมูลเพียงพอ และระบุกรณีที่ข้อมูล degenerate.

โจทย์ 8.15 — Read an a–x graph การทดลองให้กราฟ $a$ vs $x$ เป็นเส้นตรงผ่าน origin slope $- s$. (ก) พิสูจน์ว่า motion compatible with SHM (ข) หา period จาก $s$ (ค) ถ้า graph เริ่มโค้งเมื่อ $|x|$ ใหญ่ขึ้น แปลเชิง model อย่างไร.

โจทย์ 8.16 — Phase-space direction ให้ ellipse $x^{2}/A^{2} + v^{2}/\left( \omega^{2}A^{2} \right) = 1$. ที่จุด $(x,v) = (0, + \omega A)$ จงหา vector direction $\left( \dot{x},\dot{v} \right)$ ใน phase plane และสรุปว่าการเดินรอบ ellipse เป็น clockwise หรือ counterclockwise ตาม convention แกนมาตรฐาน.

โจทย์ 8.17 — Derive period by energy เริ่มจาก $E = \frac{1}{2}kA^{2}$ และ mechanical-energy conservation. ห้ามใช้ sinusoidal solution. Derive $T = 2\pi\sqrt{m/k}$ ด้วย definite integral และอธิบายว่าทำไมเลือก quarter-cycle.

โจทย์ 8.18 — Average energies ใช้ integration แสดงว่าใน ideal SHM $\langle K\rangle = \langle U\rangle = E/2$. ตรวจผลด้วย symmetry ของ $\sin^{2}$ และ $\cos^{2}$.

โจทย์ 8.19 — Same energy, different oscillator oscillator A และ B มี total energy เท่ากัน แต่ $k_{B} = 4k_{A}$ และมวลเท่ากัน. เปรียบเทียบ amplitudes, angular frequencies และ maximum speeds. อธิบายว่าค่าใดไม่ขึ้นกับ $k$ หลังใช้เงื่อนไข energy เดียวกัน.

โจทย์ 8.20 — Inverse phase-space problem วัด phase-space ellipse ที่มี semi-axis ตาม x เป็น $5.0\ cm$ และ semi-axis ตาม v เป็น $0.80\ m/s$. หา $\omega$, period และตีความว่าเกิดอะไรกับ ellipse ถ้าเพิ่ม amplitude แต่ระบบเดิมยัง linear.

Olympiad-Style Synthesis

โจทย์ 8.21 — Vertical spring with an unknown planet มวล $m$ แขวน spring constant $k$ บนดาวเคราะห์ที่ไม่ทราบ $g$. equilibrium stretch วัดได้ $d$. จากนั้นดึงลงเพิ่ม $a$ แล้วปล่อย. (ก) หา period โดยใช้ $d,g$ แล้วแสดงรูปที่ตัด $g$ ได้หากใช้ $k,m$ (ข) ถ้าย้ายระบบไปดาวอีกดวงโดย $m,k$ ไม่เปลี่ยน อะไรเปลี่ยนและอะไรไม่เปลี่ยน.

โจทย์ 8.22 — Incline + spring มวล $m$ เลื่อนไร้แรงเสียดทานบน incline angle $\alpha$ และผูกกับ spring ตามแนว incline. เลือก coordinate จาก natural length. หา equilibrium, rewrite equation ใน displacement จาก equilibrium และพิสูจน์ว่า period independent of $g\sin\alpha$.

โจทย์ 8.23 — Two springs, derive k_eff มวล $m$ อยู่ระหว่าง spring สองเส้นค่าคงที่ $k_{1},k_{2}$ ที่ยึดผนังซ้าย–ขวา. ที่ equilibrium ทั้งสองอาจมี preload. Displace mass เล็กน้อย $\xi$. สร้าง net incremental force โดยตรงและหา frequency; ห้ามเริ่มจากสูตร “parallel springs”.

โจทย์ 8.24 — Nonlinear force and stability ให้ $F(x) = \alpha x - \beta x^{3}$, $\alpha,\beta > 0$. หา equilibrium ทั้งหมด, จำแนก stability จาก $F'\left( x_{eq} \right)$, และหา small-oscillation frequency รอบ stable equilibria. อธิบายว่าทำไม origin ไม่ให้ real SHM frequency.

โจทย์ 8.25 — Quartic correction in potential $U(x) = \frac{1}{2}kx^{2} + \lambda x^{4}$, $k,\lambda > 0$. (ก) หา small-amplitude frequency (ข) อธิบายเชิง force ว่าเมื่อ amplitude ไม่เล็ก restoring law “แข็งขึ้น” อย่างไร (ค) ห้ามอ้างว่า period ยัง independent of amplitude เมื่อออกนอก linear regime.

โจทย์ 8.26 — Degenerate stable minimum ให้ $U(x) = \alpha x^{4}$, $\alpha > 0$. แสดงว่า $x = 0$ เป็น stable equilibrium แต่ $U''(0) = 0$. อธิบายว่าทำไมสูตร local SHM frequency ให้ข้อมูลไม่พอ และใช้ dimensional/energy reasoning ตั้งคำถามว่าคาบควรขึ้นกับ amplitude หรือไม่.

โจทย์ 8.27 — Sudden equilibrium shift mass–spring กำลัง SHM รอบ $x = 0$ ด้วย state $\left( x_{0},v_{0} \right)$ ณ ขณะหนึ่ง. ทันทีนั้นเปิด constant force $F_{0}$ โดยไม่มี impulse. หา equilibrium ใหม่และ amplitude ใหม่ของ subsequent motion จาก continuity ของ $x,v$.

โจทย์ 8.28 — Sudden stiffness change oscillator มี $k_{1}$ และ ณ ขณะ switching มี $\left( x_{s},v_{s} \right)$. spring constant เปลี่ยนทันทีเป็น $k_{2}$ โดยไม่มี impulse. หา new amplitude ในรูป $x_{s},v_{s},k_{2},m$. Mechanical energy ของ oscillator ต้องต่อเนื่องหรือไม่ผ่าน switching? อธิบายว่า external agent อาจทำงานอย่างไร.

โจทย์ 8.29 — Pendulum approximation with an error criterion ใช้ series $\sin\theta = \theta - \theta^{3}/6 + \cdots$ สร้างเกณฑ์คร่าว ๆ ว่า fractional error ของ replacing $\sin\theta$ by $\theta$ น้อยกว่า $1\%$ ต้องมี $|\theta|$ ประมาณไม่เกินเท่าใด. เปรียบเทียบกับ practical rule around $10^{\circ}$ และอธิบายความต่างระหว่าง local-force error กับ period error.

โจทย์ 8.30 — Inverse small oscillation from a measured potential experiment fit potential near a minimum as $U(x) = U_{0} + c_{2}\left( x - x_{0} \right)^{2} + c_{3}\left( x - x_{0} \right)^{3} + c_{4}\left( x - x_{0} \right)^{4} + \cdots$. (ก) หา small-amplitude angular frequency ในรูป $c_{2},m$ (ข) ระบุ units ของ $c_{2},c_{3},c_{4}$ (ค) ถ้า $c_{2} = 0$ แต่ $c_{4} > 0$ วิเคราะห์ว่าข้อสรุปเรื่อง SHM ต้องเปลี่ยนอย่างไร.

8.17 Cheat Sheet — สูตรต้องมาพร้อมเงื่อนไข

$$\xi = x - x_{eq}$$

ใช้เพื่อวัด displacement จาก equilibrium จริง.

$$\xi'' = - \omega^{2}\xi$$

เงื่อนไข: defining relation ของ exact 1D SHM.

$$\xi = A\cos(\omega t + \phi),\quad v = - A\omega\sin(\omega t + \phi),\quad a = - \omega^{2}\xi$$

เงื่อนไข: ideal undamped linear oscillator.

$$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}},\quad\quad T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$$

เงื่อนไข: linear restoring coefficient $k$ about equilibrium.

$$E = \frac{1}{2}mv^{2} + \frac{1}{2}k\xi^{2} = \frac{1}{2}kA^{2}$$

เงื่อนไข: chosen oscillator system has no nonconservative energy transfer in the ideal model.

$$\omega \approx \sqrt{\frac{U''\left( x_{eq} \right)}{m}}$$

เงื่อนไข: nondegenerate stable equilibrium, displacement small enough for quadratic approximation, $U''\left( x_{eq} \right) > 0$.

$$T_{pend} \approx 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$$

เงื่อนไข: simple-pendulum idealization + small angular amplitude in radians.

8.18 Reference Notes

แหล่งต่อไปนี้ถูกเปิดตรวจจริงสำหรับ Chapter 8:

• Young, H. D., & Freedman, R. A., University Physics with Modern Physics, 15th ed., SI units, Ch.14 §§14.1–14.5 (primary anchor; §14.6–14.8 เปิดเพื่อกำหนด scope boundary).

• Knight, R. D., Physics for Scientists and Engineers: A Strategic Approach with Modern Physics, 4th ed., Ch.15 §§15.1–15.6.

• Serway, R. A., & Jewett, J. W., Physics for Scientists and Engineers with Modern Physics, 10th ed., Ch.15 §§15.1–15.5 relevant portions.

• Tipler, P. A., & Mosca, G., Physics for Scientists and Engineers with Modern Physics, 6th ed., Ch.14 §§14-1–14-3 relevant portions.

โจทย์ 8.1–8.30, worked-example statements, graphs และคำอธิบายที่จัดทำขึ้นในบทนี้เป็น original authoring ของโครงการ เว้นแต่มีการระบุเป็นอย่างอื่นอย่างชัดเจน.