คณิตศาสตร์สำหรับกลศาสตร์ 1

แผนที่คณิตศาสตร์ของเล่ม 1

บทนี้เรียบเรียงเสริมจากเครื่องมือที่ใช้ในตำรากลศาสตร์ 1 ฉบับปรับปรุง พ.ศ. 2569 เพื่อเตรียมอ่านบทที่ 1–5 ให้ต่อเนื่องกัน เริ่มจากฟังก์ชันของเวลา ต่อด้วยเวกเตอร์ แล้วนำไปสร้างสมการการเคลื่อนที่

1. หน่วย มิติ และการจัดสมการ

บวกหรือลบได้เฉพาะปริมาณที่มีมิติเดียวกัน เลขชี้กำลังและอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันอย่าง $\sin$, $\cos$, $\exp$ ต้องไม่มีมิติ ถ้า $e^{-t/\tau}$ บรรยายการเปลี่ยนตามเวลา ทั้ง $t$ และ $\tau$ ต้องมีหน่วยเวลาเหมือนกัน

$$[x]=L,\qquad [v]=LT^{-1},\qquad [a]=LT^{-2},\qquad [F]=MLT^{-2}.$$

ตัวอย่างการจัดสมการ: จาก $v=v_0+at$ ได้ $t=(v-v_0)/a$ เมื่อ $a\ne0$ ต้องตรวจเงื่อนไขก่อนหารเสมอ ถ้า $a=0$ สมการเดิมบอกเพียง $v=v_0$ และไม่ได้กำหนดเวลา

2. ฟังก์ชัน ความชัน และกราฟ

ฟังก์ชัน $x(t)$ ระบุตำแหน่งสำหรับแต่ละเวลา ความชันระหว่างสองจุดคืออัตราการเปลี่ยนเฉลี่ย ส่วนความชันของเส้นสัมผัสคืออัตราการเปลี่ยน ณ ขณะหนึ่ง

$$v_{\mathrm{avg}}=\frac{x(t_2)-x(t_1)}{t_2-t_1},\qquad v(t)=\lim_{\Delta t\to0}\frac{x(t+\Delta t)-x(t)}{\Delta t}.$$

กราฟ $x$–$t$ มีความชันเป็น $v$; กราฟ $v$–$t$ มีความชันเป็น $a$ จุดที่กราฟตัดแกนกับจุดที่ความชันเป็นศูนย์ตอบคนละคำถาม: $x=0$ ไม่ได้แปลว่า $v=0$

3. อนุพันธ์ที่ใช้บ่อย

$$\frac{d}{dt}t^n=nt^{n-1},\quad \frac{d}{dt}e^{kt}=ke^{kt},\quad \frac{d}{dt}\sin(\omega t)=\omega\cos(\omega t),\quad \frac{d}{dt}\cos(\omega t)=-\omega\sin(\omega t).$$

หาอนุพันธ์ของผลบวกทีละพจน์ และดึงค่าคงที่ออกได้ สำหรับ $x(t)=t^3-3t^2+2t$ จะได้ $v(t)=3t^2-6t+2$ และ $a(t)=6t-6$ การหาอนุพันธ์สองครั้งจึงเชื่อมตำแหน่งกับความเร่งโดยตรง

4. อินทิกรัลและเงื่อนไขเริ่มต้น

$$\int t^n\,dt=\frac{t^{n+1}}{n+1}+C\quad(n\ne-1),\qquad \int\frac{dt}{t}=\ln|t|+C.$$

$$v(t)=v_0+\int_{t_0}^{t}a(\tau)\,d\tau,\qquad x(t)=x_0+\int_{t_0}^{t}v(\tau)\,d\tau.$$

ตัวแปร $\tau$ ในเครื่องหมายอินทิกรัลเป็นตัวแปรที่ใช้สะสม ส่วน $t$ เป็นปลายช่วง อย่าสลับสองบทบาทนี้ ถ้า $a(t)=2t$, $v(0)=3$ และ $x(0)=1$ จะได้ $v(t)=3+t^2$ และ $x(t)=1+3t+t^3/3$

5. พื้นที่มีเครื่องหมายและการแบ่งช่วง

$$\Delta x=\int_{t_1}^{t_2}v(t)\,dt,\qquad s=\int_{t_1}^{t_2}|v(t)|\,dt.$$

การกระจัดนับส่วนใต้แกนเป็นลบ ระยะทางนับทุกส่วนเป็นบวก ต้องหารากของ $v(t)$ ภายในช่วงก่อนคำนวณระยะทาง หากความเร่งกำหนดเป็นช่วง ให้ส่งค่าความเร็วและตำแหน่งที่ปลายช่วงก่อนหน้าเป็นเงื่อนไขเริ่มต้นของช่วงถัดไป

6. ตรีโกณมิติและการแตกเวกเตอร์

$$\mathbf A=A_x\hat{\mathbf i}+A_y\hat{\mathbf j}+A_z\hat{\mathbf k},\qquad |\mathbf A|=\sqrt{A_x^2+A_y^2+A_z^2}.$$

ในสองมิติ ถ้า $\theta$ วัดทวนเข็มจากแกน $+x$ จะได้ $A_x=A\cos\theta$ และ $A_y=A\sin\theta$ การหามุมกลับต้องดูเครื่องหมายของทั้งสององค์ประกอบเพื่อเลือกควอดแรนต์ให้ถูก หากใช้เครื่องคิดเลขให้ตรวจโหมดองศาหรือเรเดียน; สูตรอนุพันธ์ตรีโกณมิติใช้เรเดียน

สำหรับฐาน Cartesian ที่ไม่หมุน หาอนุพันธ์เวกเตอร์ทีละองค์ประกอบได้ เช่น $\mathbf r=t^2\hat{\mathbf i}+3t\hat{\mathbf j}$ ให้ $\mathbf v=2t\hat{\mathbf i}+3\hat{\mathbf j}$ และอัตราเร็ว $|\mathbf v|=\sqrt{4t^2+9}$

7. Dot product และ Cross product

$$\mathbf A\cdot\mathbf B=A_xB_x+A_yB_y+A_zB_z=AB\cos\theta.$$

Dot product ให้สเกลาร์ ถ้าเวกเตอร์ทั้งสองไม่เป็นศูนย์ ผลคูณเป็นศูนย์หมายถึงตั้งฉากกัน เครื่องหมายบวกหรือลบบอกความสอดคล้องของทิศ ใช้หามุมหรือองค์ประกอบตามทิศที่สนใจได้

$$\mathbf A\times\mathbf B=(A_yB_z-A_zB_y)\hat{\mathbf i}+(A_zB_x-A_xB_z)\hat{\mathbf j}+(A_xB_y-A_yB_x)\hat{\mathbf k}.$$

Cross product ให้เวกเตอร์ตั้งฉากกับระนาบของเวกเตอร์เดิม ทิศตามกฎมือขวา และ $\mathbf B\times\mathbf A=-\mathbf A\times\mathbf B$ เล่ม 1 ใช้เพียงพื้นฐานนี้ ก่อนประยุกต์กับทอร์กและโมเมนตัมเชิงมุมในเล่ม 2

8. พาราเมตริกและการกำจัดเวลา

สมการ $x(t),y(t)$ ใช้เวลาเดียวกันเสมอ สำหรับโพรเจกไทล์ที่เริ่มจากจุดกำเนิดในสนามโน้มถ่วงสม่ำเสมอ ไม่มีแรงต้านอากาศ:

$$x=v_0\cos\theta\,t,\qquad y=v_0\sin\theta\,t-\frac12gt^2.$$

เมื่อ $v_0\cos\theta\ne0$ แทน $t=x/(v_0\cos\theta)$ เพื่อได้เส้นทาง

$$y=x\tan\theta-\frac{gx^2}{2v_0^2\cos^2\theta}.$$

ถ้าพื้นเอียงมีสมการ $y=x\tan\phi$ ให้แก้จุดตัดร่วมกับเส้นทาง แล้วเลือกรากที่สอดคล้องกับเวลาบวกและช่วงที่วัตถุยังลอยอยู่

9. กฎลูกโซ่และตัวแปรที่เหมาะสม

$$\frac{df(x(t))}{dt}=\frac{df}{dx}\frac{dx}{dt},\qquad a=\frac{dv}{dt}=v\frac{dv}{dx}\quad\text{(หนึ่งมิติ)}.$$

รูป $a=v\,dv/dx$ ใช้เมื่อเขียนความเร็วเชิงเครื่องหมายเป็นฟังก์ชันของตำแหน่งบนช่วงที่พิจารณาได้ ไม่ใช่สูตรแทนความเร่งเวกเตอร์ในหลายมิติโดยตรง ระวังการหารด้วย $v$ ที่จุดหยุดหรือจุดกลับทิศ

$$\frac{d}{dt}(\mathbf r\cdot\mathbf r)=2\mathbf r\cdot\mathbf v.$$

สูตรหลังช่วยตรวจว่าระยะจากจุดกำเนิดกำลังเพิ่มหรือลด โดยไม่ต้องคำนวณอัตราเร็วทั้งหมด

10. สมการเชิงอนุพันธ์เบื้องต้น

กฎนิวตัน $m\,d\mathbf v/dt=\mathbf F(\mathbf r,\mathbf v,t)$ เป็นสมการที่มีฟังก์ชันและอนุพันธ์ของฟังก์ชันอยู่ด้วยกัน เริ่มจากดูว่าแรงขึ้นกับตัวแปรใด

ตัวอย่างแรงต้านเชิงเส้นเพียงแรงเดียว $m\,dv/dt=-bv$ เมื่อ $m,b>0$ ให้ $v(t)=v_0e^{-bt/m}$ และเวลาลักษณะเฉพาะ $\tau=m/b$ ก่อนแยกตัวแปรด้วยการหาร ต้องตรวจคำตอบสมดุลที่ทำให้ตัวหารเป็นศูนย์ด้วย เช่น $v=0$ เป็นคำตอบที่ใช้ได้

11. สัมพัทธ์ จุดสูงสุด และการตรวจคำตอบ

$$\mathbf v_{A/B}=\mathbf v_A-\mathbf v_B,\qquad \mathbf r=\mathbf R_0+\mathbf U t+\mathbf r'.$$

เมื่อ $\mathbf U$ คงที่และฐานไม่หมุน จะได้ $\mathbf v=\mathbf U+\mathbf v'$ และ $\mathbf a=\mathbf a'$ เครื่องหมายและลำดับ $A/B$ จึงสำคัญพอ ๆ กับขนาด

การหาค่าสูงสุดของ $x$ ในช่วงปิด ให้เปรียบเทียบค่าที่ปลายช่วงและจุดภายในที่ $v=0$; การหาค่าสูงสุดของ $v$ ให้ใช้จุดที่ $a=0$ และตรวจปลายช่วงด้วย จุดอนุพันธ์เป็นศูนย์อาจเป็นค่าสูงสุด ค่าต่ำสุด หรือไม่เป็นทั้งคู่ ต้องตรวจพฤติกรรมข้างเคียง

ตรวจคำตอบด้วยหน่วย เงื่อนไขเริ่มต้น เครื่องหมาย และกรณีขีดจำกัด เช่น ให้แรงต้านเข้าใกล้ศูนย์แล้วควรกลับไปสู่การเคลื่อนที่ที่ไม่มีแรงต้าน

12. ฝึกใช้เครื่องมือก่อนเข้าบทเรียน

ข้อ M1.1 · อนุพันธ์

ให้ $x(t)=2t^3-3t^2+4$ โดย $x$ มีหน่วย $m$ และ $t$ มีหน่วย $s$ หา $v(2)$ และ $a(2)$

ข้อ M1.2 · เงื่อนไขเริ่มต้น

ให้ $a(t)=4t\,\mathrm{m/s^2}$ เมื่อค่าตัวเลขของ $t$ ใช้หน่วย $s$, $v(0)=1\,\mathrm{m/s}$, $x(0)=2\,\mathrm m$ หา $v(t)$ และ $x(t)$

ข้อ M1.3 · พื้นที่มีเครื่องหมาย

ให้ $v(t)=2-t$ $\left(\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\right)$ ในช่วง $0\le t\le4$ $s$ หาการกระจัดและระยะทาง

ข้อ M1.4 · องค์ประกอบและขนาด

ให้ $\mathbf A=3\hat{\mathbf i}+4\hat{\mathbf j}$ หา $|\mathbf A|$ และเวกเตอร์หน่วยตามทิศ $\mathbf A$

ข้อ M1.5 · ผลคูณเวกเตอร์

ให้ $\mathbf A=\hat{\mathbf i}+2\hat{\mathbf j}$ และ $\mathbf B=2\hat{\mathbf i}-\hat{\mathbf j}$ หา $\mathbf A\cdot\mathbf B$ และ $\mathbf A\times\mathbf B$

ข้อ M1.6 · พาราเมตริก

ให้ $x=2t$, $y=3t-t^2$ ในหน่วย SI จงเขียน $y$ เป็นฟังก์ชันของ $x$

ข้อ M1.7 · กฎลูกโซ่

ในการเคลื่อนที่หนึ่งมิติ ช่วงที่ $v>0$ ให้ $v(x)=\sqrt{v_0^2+2kx}$ โดย $k$ คงที่ จงหาความเร่ง

ข้อ M1.8 · ความเร็วสัมพัทธ์

ให้ $\mathbf v_A=4\hat{\mathbf i}+\hat{\mathbf j}$ และ $\mathbf v_B=\hat{\mathbf i}-2\hat{\mathbf j}$ ในหน่วย $\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ หา $\mathbf v_{A/B}$

ข้อ M1.9 · สมการเชิงอนุพันธ์

ให้ $dv/dt=-v/\tau$, $v(0)=v_0$ และ $\tau>0$ หา $v(t)$ และค่าที่ $t=\tau$

ข้อ M1.10 · ค่าสูงสุดในช่วงปิด

ให้ $v(t)=6t-t^2$ $\left(\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\right)$ ในช่วง $0\le t\le5$ $s$ หาความเร็วสูงสุดและเวลาที่เกิด

พร้อมต่อยอดสู่กลศาสตร์ 2

เมื่อคล่องกับ $\mathbf r(t)$, $d\mathbf r=\mathbf v\,dt$, dot/cross product และ $\mathbf F(\mathbf r)$ แล้ว ให้เปิด คณิตศาสตร์สำหรับเล่ม 2 เพื่อเรียนเครื่องมือสำหรับงาน พลังงาน การสั่น และการหมุน หรือเริ่ม บทที่ 1 เพื่อใช้พื้นฐานเหล่านี้กับโจทย์จริง