โมเมนต์ความเฉื่อยและการหมุนรอบแกนคงที่

เป้าหมายของบท
ทำความเข้าใจว่า “มวลรวม” เพียงอย่างเดียวไม่พอสำหรับ rotational dynamics เพราะการกระจายมวลเทียบกับแกนมีผลโดยตรง จากนั้นสร้าง $I$ จากอนุภาคและอินทิกรัล พิสูจน์ axis theorems และเชื่อม torque ไปสู่ angular acceleration, rotational kinetic energy, work และ power โดยยังไม่ใช้ angular momentum ซึ่งเป็น Chapter 11

10.1 คำถามที่ Chapter 9 ยังตอบไม่ได้

Chapter 9 ทำให้เรารู้ว่า force ที่กระทำ “ผิดตำแหน่ง” หรือ “ผิดทิศ” ให้ torque ต่างกัน แต่ยังมีคำถามที่ลึกกว่า:

ถ้าเราให้ net torque เท่ากัน กับวัตถุสองชิ้นที่มีมวลเท่ากัน เหตุใด angular acceleration จึงอาจไม่เท่ากัน?

ลองนึกถึงวัตถุสองชิ้นที่มีมวลรวม $M$ เท่ากัน วัตถุแรกวางมวลไว้ใกล้แกน ส่วนวัตถุที่สองวางมวลส่วนใหญ่ไว้ไกลแกน แม้ total mass เท่ากัน แต่ชิ้นที่สอง “เปลี่ยนสภาพการหมุน” ได้ยากกว่า

ดังนั้น rotational analogue ของ mass ต้องบอกทั้ง

• มีมวลเท่าไร และ

• มวลแต่ละส่วนอยู่ห่างแกนเท่าไร

ปริมาณนั้นคือ moment of inertia หรือ โมเมนต์ความเฉื่อย

คำเตือนเรื่องภาษา
ในบทนี้ $I$ ไม่ใช่ค่าคงที่ประจำวัตถุแบบไม่ขึ้นกับบริบท ต้องถามเสมอว่า moment of inertia about which axis?

แหล่งอ้างอิงที่เปิดตรวจ: Young & Freedman, 15e SI, Ch.9 §9.4; Serway & Jewett, 10e, Ch.10 §§10.6–10.7.

10.2 เริ่มจากอนุภาค: ทำไมต้องมี $r_{\bot}^{2}$?

ให้ rigid body ถูกแทนด้วยอนุภาค $m_{i}$ ที่มีระยะตั้งฉากจากแกนเป็น $r_{\bot,i}$. นิยาม moment of inertia about that axis คือ

$$\boxed{I = \sum_{i}^{}m_{i}r_{\bot,i}^{2}}.$$

ทำไมเป็นกำลังสอง?

สมการนี้จะเกิดขึ้นอีกครั้งจากฟิสิกส์สองทางที่เป็นอิสระกัน:

1. จาก dynamics เพราะ torque ของอนุภาคมี factor $r_{\bot}$ และ tangential acceleration มีอีก factor $r_{\bot}$;

2. จาก energy เพราะ $v = r_{\bot}\omega$ แล้ว kinetic energy มี $v^{2}$.

ดังนั้น $r_{\bot}^{2}$ ไม่ใช่การตั้งนิยามเพื่อให้ analogy สวย แต่เป็น geometry ที่หลีกเลี่ยงไม่ได้ของการหมุน

Units

$$\lbrack I\rbrack = kg\, m^{2}.$$

Scaling check

ถ้ารูปร่างเหมือนเดิม มวลรวม $M$ คงเดิม แต่ทุกระยะจากแกนถูกขยายด้วย factor $c$,

$$I \rightarrow c^{2}I.$$

ถ้า density คงเดิมและขยายวัตถุสามมิติทุกด้านด้วย $c$, mass โตเป็น $c^{3}$ และ $I$ โตเป็น

$$I \sim ML^{2} \rightarrow c^{5}I.$$

Math box — second moment of mass
$I$ เป็น second moment ของ mass distribution รอบแกน เช่นเดียวกับที่ค่าเฉลี่ย $\langle x^{2}\rangle$ ให้น้ำหนักจุดที่ไกล origin มากขึ้น การมี $r^{2}$ ทำให้ mass ที่อยู่ไกลแกนมีผลต่อ $I$ อย่างแรง

10.3 จากผลรวมสู่อินทิกรัล

เมื่อวัตถุเป็น continuous body เราแบ่งเป็นมวลเล็ก $dm$ แล้วส่งขนาดชิ้นส่วนไปสู่ศูนย์:

$$\boxed{I = \int r_{\bot}^{2}\, dm}.$$

Young §9.6 ระบุชัดว่าต้องเขียน $r_{\bot}$ และ $dm$ ด้วย integration variable เดียวกันก่อนจึงคำนวณได้

Density dictionary

สำหรับเส้น:

$$dm = \lambda\, ds,$$

สำหรับแผ่น:

$$dm = \sigma\, dA,$$

สำหรับวัตถุสามมิติ:

$$dm = \rho\, dV.$$

ถ้า uniform:

$$\lambda = \frac{M}{L},\quad\quad\sigma = \frac{M}{A},\quad\quad\rho = \frac{M}{V}.$$

Workflow ที่ควรบังคับใช้ทุกครั้ง

1. ระบุแกนก่อน

2. หา $r_{\bot}$ ของ mass element

3. เลือก coordinate ที่ใช้ symmetry

4. เขียน $dm$ จาก density และ geometry

5. ตั้ง bounds

6. integrate

7. ตรวจ dimension และ scaling

ถ้าข้ามข้อ 1 หรือ 2 ต่อให้ integrate ถูกก็อาจหา $I$ ของ “แกนผิด” ได้

10.4 Derivation pattern I — hoop และ disk

Thin hoop

ทุก mass element ของ hoop รัศมี $R$ อยู่ห่าง central symmetry axis เท่ากันหมด:

$$I = \int R^{2}\, dm = R^{2}\int dm.$$

จึง

$$\boxed{I_{hoop} = MR^{2}}.$$

นี่คือกรณีที่ integration แทบไม่ต้องทำ เพราะ symmetry ทำให้ $r_{\bot}$ คงที่

Uniform disk / solid cylinder

แยก disk เป็น concentric rings รัศมี $r$ หนา $dr$.

ถ้า surface density

$$\sigma = \frac{M}{\pi R^{2}},$$

พื้นที่วงแหวน

$$dA = 2\pi r\, dr$$

จึง

$$dm = 2\pi\sigma r\, dr.$$

ดังนั้น

$$I = \int_{0}^{R}r^{2}(2\pi\sigma r\, dr) = 2\pi\sigma\int_{0}^{R}r^{3}\, dr.$$

$$I = 2\pi\sigma\frac{R^{4}}{4} = \frac{1}{2}\pi\sigma R^{4}.$$

ใช้ $M = \pi\sigma R^{2}$:

$$\boxed{I_{disk} = \frac{1}{2}MR^{2}}.$$

Interpretation
Disk มี $I$ น้อยกว่า hoop ที่มี $M,R$ เท่ากัน เพราะ disk มีมวลจำนวนมากอยู่ที่ $r < R$ ขณะที่ hoop บังคับมวลทั้งหมดไปอยู่ที่ $R$.

Cross-check: Young Ch.9; Serway §10.6; Tipler §9-3.

10.5 Derivation pattern II — uniform rod

ให้ rod ยาว $L$ มวล $M$ มีแกนตั้งฉากกับ rod ผ่านจุดกึ่งกลาง ใช้ coordinate $x \in \lbrack - L/2,L/2\rbrack$.

$$\lambda = \frac{M}{L},\quad\quad dm = \lambda\, dx.$$

ระยะจากแกนคือ $|x|$ ดังนั้น

$$I_{CM} = \int_{- L/2}^{L/2}x^{2}\frac{M}{L}\, dx.$$

เพราะ integrand เป็น even function,

$$I_{CM} = 2\frac{M}{L}\int_{0}^{L/2}x^{2}\, dx = 2\frac{M}{L}\frac{(L/2)^{3}}{3}.$$

จึง

$$\boxed{I_{rod,CM} = \frac{1}{12}ML^{2}}.$$

เราจะหา rod about end ภายหลังด้วย parallel-axis theorem เพื่อให้เห็นว่าทฤษฎีช่วยลด integration ซ้ำได้

10.6 Derivation pattern III — solid sphere

สำหรับ uniform solid sphere รัศมี $R$ เลือกแกนหมุนผ่านศูนย์กลางเป็นแกน $x$. แบ่ง sphere เป็น thin disks ตั้งฉากกับแกน ที่ตำแหน่ง $x$.

รัศมี disk slice:

$$a(x) = \sqrt{R^{2} - x^{2}}.$$

ถ้า volume density $\rho$,

$$dm = \rho\pi a^{2}\, dx.$$

moment of inertia ของ disk slice เกี่ยวกับแกนของมันคือ

$$dI = \frac{1}{2}a^{2}\, dm = \frac{1}{2}\rho\pi\left( R^{2} - x^{2} \right)^{2}\, dx.$$

ดังนั้น

$$I = \frac{1}{2}\rho\pi\int_{- R}^{R}\left( R^{2} - x^{2} \right)^{2}\, dx.$$

ใช้ symmetry และ integrate:

$$I = \rho\pi\int_{0}^{R}\left( R^{4} - 2R^{2}x^{2} + x^{4} \right)\, dx = \frac{8\pi\rho R^{5}}{15}.$$

แต่

$$M = \frac{4}{3}\pi\rho R^{3},$$

ดังนั้น

$$\boxed{I_{sphere} = \frac{2}{5}MR^{2}}.$$

Young Example 9.11 ใช้ slicing strategy แบบนี้ และเน้นว่าการเลือก element ตาม symmetry เป็นหัวใจของ integration

Reference only
thin spherical shell about a diameter มี

$$I = \frac{2}{3}MR^{2},$$

ซึ่งเปิดตรวจจากมาตรฐานอ้างอิงแล้ว แต่ไม่จำเป็นต้อง derive ใน live core ของค่าย

10.7 Parallel-axis theorem: ย้ายแกนโดยไม่ integrate ใหม่

สมมติรู้ $I_{CM}$ เกี่ยวกับแกน $z$ ผ่าน center of mass และต้องการ $I'$ เกี่ยวกับแกน $z'$ ที่ขนานกันและห่าง $d$.

เลือกแกน $x$ ให้ชี้จาก $z$ ไป $z'$. สำหรับ mass element พิกัด $(x,y)$ รอบ CM:

$$r_{\bot,z'}^{2} = (x - d)^{2} + y^{2}.$$

ดังนั้น

$$I' = \int\left\lbrack (x - d)^{2} + y^{2} \right\rbrack dm.$$

ขยาย:

$$I' = \int\left( x^{2} + y^{2} \right)dm - 2d\int x\, dm + d^{2}\int dm.$$

เพราะ origin อยู่ที่ CM,

$$\int x\, dm = 0$$

และ $\int dm = M$ จึง

$$\boxed{I' = I_{CM} + Md^{2}}.$$

เงื่อนไขที่ห้ามลืม

• แกนทั้งสองต้อง parallel

• ค่า reference ต้องเป็นแกนที่ผ่าน center of mass

• $d$ คือ perpendicular separation ของแกน

Rod about end

สำหรับ rod,

$$I_{CM} = \frac{1}{12}ML^{2},\quad\quad d = \frac{L}{2}.$$

ดังนั้น

$$I_{end} = \frac{1}{12}ML^{2} + M\left( \frac{L}{2} \right)^{2} = \boxed{\frac{1}{3}ML^{2}}.$$

แหล่งอ้างอิง: Young §9.5; Serway §10.6; OpenStax University Physics.

10.8 Perpendicular-axis theorem: ทฤษฎีที่ domain สำคัญมาก

สำหรับ planar lamina ที่มวลทั้งหมดอยู่ใน $xy$-plane:

$$I_{z} = \int\left( x^{2} + y^{2} \right)dm.$$

แต่

$$I_{x} = \int y^{2}dm,\quad\quad I_{y} = \int x^{2}dm.$$

จึง

$$\boxed{I_{z} = I_{x} + I_{y}}.$$

Domain warning — สำคัญ
ห้ามใช้ theorem นี้กับ 3D body ทั่วไป เช่น solid sphere แล้วอ้างว่า $I_{z} = I_{x} + I_{y}$. เหตุผลที่ proof ข้างบนใช้ได้เพราะทุก mass element มี $z = 0$ และ distance-to-axis expressions ลดรูปตาม planar geometry.

ถ้า lamina มี rotational symmetry รอบ $z$ ทำให้ $I_{x} = I_{y}$ แล้ว

$$I_{x} = I_{y} = \frac{1}{2}I_{z}.$$

นี่ช่วยหา moment of inertia ของ disk เกี่ยวกับ diameter ใน plane ได้ทันทีจาก $I_{z} = \frac{1}{2}MR^{2}$:

$$I_{diameter} = \frac{1}{4}MR^{2}.$$

10.9 จาก torque ไป angular acceleration

Chapter 9 ให้

$$\tau_{i} = r_{i}F_{t,i}.$$

สำหรับ mass element/particle ที่ rigidly rotates about fixed axis,

$$a_{t,i} = r_{i}\alpha.$$

Newton’s second law ใน tangential direction ให้

$$F_{t,i} = m_{i}r_{i}\alpha.$$

ดังนั้น torque contribution:

$$\tau_{i} = r_{i}F_{t,i} = m_{i}r_{i}^{2}\alpha.$$

รวมทั้ง rigid body และใช้ $\alpha$ เดียวกัน:

$$\sum\tau_{axis} = \left( \sum_{i}^{}m_{i}r_{i}^{2} \right)\alpha.$$

จึงได้

$$\boxed{\sum\tau_{axis} = I_{axis}\alpha}.$$

นี่คือ fixed-axis rotational analogue ของ $F_{net} = ma$.

Assumptions

• rigid body

• fixed rotation axis

• $I$ เกี่ยวกับแกนนั้นคงที่ใน model

• torque และ $\alpha$ ใช้ sign convention เดียวกัน

อย่า generalize เกิน scope
สมการ scalar $\sum\tau = I\alpha$ ไม่ใช่สมการครบถ้วนของ arbitrary 3D rigid-body rotation. Project นี้จงใจหยุดที่ fixed-axis mechanics.

แหล่งอ้างอิง: Young §10.2; Serway §10.5; Tipler §9-4.

10.10 Rotational kinetic energy: $I$ ปรากฏอีกครั้งโดยไม่ต้องใช้ torque

particle ที่ระยะ $r_{i}$ มี speed

$$v_{i} = r_{i}\omega.$$

kinetic energy ของ rigid body:

$$K = \sum_{i}^{}\frac{1}{2}m_{i}v_{i}^{2} = \sum_{i}^{}\frac{1}{2}m_{i}r_{i}^{2}\omega^{2}.$$

เพราะทุก mass element มี angular speed เดียวกัน,

$$K = \frac{1}{2}\omega^{2}\sum_{i}^{}m_{i}r_{i}^{2}.$$

จึง

$$\boxed{K_{rot} = \frac{1}{2}I\omega^{2}}.$$

นี่เป็นการยืนยันทางฟิสิกส์ครั้งที่สองว่า $I$ คือ quantity ที่ถูกต้อง: มันเกิดทั้งใน dynamics และ energy

Same $\omega$ does not mean same $K$

ถ้า $\omega$ เท่ากัน:

$$K \propto I.$$

Same $K$ does not mean same $\omega$

ถ้า kinetic energy เท่ากัน:

$$\omega \propto \frac{1}{\sqrt{I}}.$$

แหล่งอ้างอิง: Young §9.4; Serway §10.7; Tipler §9-2.

10.11 Work in fixed-axis rotation

ให้ tangential force $F_{t}$ กระทำที่ radius $r$. เมื่อ body หมุนมุมเล็ก $d\theta$ จุดกระทำเคลื่อน

$$ds = r\, d\theta.$$

งานเล็ก:

$$dW = F_{t}\, ds = F_{t}r\, d\theta.$$

แต่ $F_{t}r = \tau_{axis}$ ดังนั้น

$$\boxed{dW = \tau_{axis}\, d\theta}.$$

ถ้า torque แปรกับ angle:

$$\boxed{W_{A \rightarrow B} = \int_{\theta_{A}}^{\theta_{B}}\tau(\theta)\, d\theta}.$$

ดังนั้น area ใต้กราฟ $\tau$–$\theta$ มีความหมายทางฟิสิกส์โดยตรง เช่นเดียวกับ area ใต้ $F$–$x$ graph ใน Chapter 6

Work–kinetic-energy theorem

สำหรับ fixed-axis rigid body ที่ $I$ คงที่:

$$W_{net} = \Delta K_{rot}$$

หรือ

$$\boxed{W_{net} = \frac{1}{2}I\omega_{2}^{2} - \frac{1}{2}I\omega_{1}^{2}}.$$

แหล่งอ้างอิง: Young §10.4; Serway §10.8.

10.12 Rotational power และ conservative torque

จาก

$$dW = \tau\, d\theta$$

หารด้วย $dt$:

$$P = \frac{dW}{dt} = \tau\frac{d\theta}{dt}.$$

ดังนั้น

$$\boxed{P = \tau\omega}.$$

ถ้าใช้ signed quantities:

• $P > 0$: torque เติม rotational kinetic energy

• $P < 0$: torque ดึง rotational kinetic energy ออก

Conservative rotational coordinate

จาก Chapter 7,

$$dU = - dW.$$

และใน fixed-axis coordinate

$$dW = \tau(\theta)d\theta.$$

จึง

$$dU = - \tau(\theta)d\theta$$

หรือ

$$\tau_{axis}(\theta) = - \frac{dU}{d\theta}.$$

สมการนี้เป็น derived synthesis จาก source-verified work relation และ Chapter 7 potential-energy framework ไม่ใช่ textbook equation number ที่เราสร้างขึ้นเอง

10.13 Mixed system: translating masses + massive pulley

ระบบที่มี block เคลื่อนที่เชิงเส้นและ pulley หมุนรอบ fixed axis เป็น synthesis ที่สำคัญมาก เพราะบังคับให้ใช้ mechanics สองภาษาในระบบเดียวกัน

ถ้า string ไม่ลื่น:

$$a = R\alpha,\quad\quad v = R\omega.$$

สำหรับ Atwood machine ที่ pulley มี moment of inertia $I$:

$$m_{2}g - T_{2} = m_{2}a,$$

$$T_{1} - m_{1}g = m_{1}a,$$

และ pulley:

$$\left( T_{2} - T_{1} \right)R = I\alpha = I\frac{a}{R}.$$

แก้พร้อมกัน:

$$\boxed{a = \frac{\left( m_{2} - m_{1} \right)g}{m_{1} + m_{2} + I/R^{2}}}.$$

ตรวจ limit:

• $I \rightarrow 0$ ได้ massless-pulley result

• $I \rightarrow \infty$ ได้ $a \rightarrow 0$

นี่คือ sanity check ที่ควรทำทุกครั้ง

Serway §10.8 ใช้ massive-pulley energy system โดยตรง ซึ่ง cross-check ว่า model นี้อยู่ในระดับที่เหมาะกับบท

10.14 Optional Synthesis — Physical pendulum

ส่วนนี้ไม่ใช่ live-core requirement แต่เป็นการเชื่อม Chapters 8–10 ที่สวยมาก

ให้ rigid body pivoted at $O$, center of mass อยู่ห่าง pivot ระยะ $d$.

Torque ของ gravity:

$$\tau_{O} = - Mgd\sin\theta.$$

Fixed-axis dynamics:

$$I_{O}\ddot{\theta} = - Mgd\sin\theta.$$

จึงได้ exact nonlinear equation

$$\ddot{\theta} + \frac{Mgd}{I_{O}}\sin\theta = 0.$$

ถ้า $|\theta| \ll 1$ rad,

$$\sin\theta \approx \theta$$

จึง

$$\ddot{\theta} + \frac{Mgd}{I_{O}}\theta \approx 0.$$

เทียบกับ SHM:

$$\boxed{\omega_{small} \approx \sqrt{\frac{Mgd}{I_{O}}}}$$

และ

$$\boxed{T \approx 2\pi\sqrt{\frac{I_{O}}{Mgd}}}.$$

สำหรับ uniform rod ยาว $L$ pivoted at end:

$$I_{O} = \frac{1}{3}ML^{2},\quad\quad d = \frac{L}{2},$$

ดังนั้น

$$T \approx 2\pi\sqrt{\frac{2L}{3g}}.$$

Cross-check: OpenStax University Physics §15.4 Pendulums.

10.15 เลือกวิธีทำอย่างมีกลยุทธ์

ใช้ direct integration เมื่อ

• density ไม่ uniform

• shape ไม่อยู่ในตารางมาตรฐาน

• axis geometry ทำให้ theorem ไม่ช่วย

ใช้ parallel-axis theorem เมื่อ

• รู้ $I_{CM}$

• แกนใหม่ parallel กับ CM axis

ใช้ torque dynamics เมื่อ

ต้องหา - acceleration - angular acceleration - tension/force - elapsed time

ใช้ energy เมื่อ

ต้องหา - speed/angular speed หลังเปลี่ยน configuration - turning angle - ผลของ variable torque ที่ integrate กับ $\theta$ ได้ง่าย

Teacher note
โจทย์ดีมักไม่ได้ถามว่า “ใช้สูตรอะไร” แต่ถามว่าควร เลือก representation ไหน เพื่อลด unknowns และหลีกเลี่ยง algebra ที่ไม่จำเป็น

10.16 Worked Examples

ตัวอย่าง 10.1 — Same mass, different distribution

มี point masses รวมมวล $M$. Case A วางทั้งหมดที่ radius $R/2$. Case B วางทั้งหมดที่ radius $R$.

$$I_{A} = M\left( \frac{R}{2} \right)^{2} = \frac{1}{4}MR^{2},$$

$$I_{B} = MR^{2}.$$

ดังนั้น

$$\frac{I_{B}}{I_{A}} = 4.$$

ถ้า net torque เท่ากัน,

$$\alpha = \frac{\tau}{I}$$

จึง $\alpha_{A} = 4\alpha_{B}$.

Takeaway: radial redistribution can change rotational response dramatically even when total mass is unchanged.

ตัวอย่าง 10.2 — Nonuniform rod

rod occupies $0 \leq x \leq L$ with

$$\lambda(x) = \lambda_{0}\left( 1 + \frac{x}{L} \right).$$

Total mass:

$$M = \int_{0}^{L}\lambda(x)dx = \frac{3}{2}\lambda_{0}L$$

จึง

$$\lambda_{0} = \frac{2M}{3L}.$$

Moment of inertia about $x = 0$:

$$I = \int_{0}^{L}x^{2}\lambda(x)dx = \lambda_{0}L^{3}\left( \frac{1}{3} + \frac{1}{4} \right).$$

ดังนั้น

$$\boxed{I = \frac{7}{18}ML^{2}}.$$

ตัวอย่าง 10.3 — Disk with a concentric hole

uniform disk outer radius $R$ มี central hole radius $b$. สำหรับ uniform annulus:

$$I = \int_{b}^{R}r^{2}dm.$$

หลัง eliminate surface density ได้

$$\boxed{I = \frac{1}{2}M\left( R^{2} + b^{2} \right)}$$

โดย $M$ คือ mass ที่เหลือของ annulus.

ตรวจ limits:

• $b \rightarrow 0$: disk $I \rightarrow \frac{1}{2}MR^{2}$

• $b \rightarrow R$: narrow ring $I \rightarrow MR^{2}$

ตัวอย่าง 10.4 — Massive Atwood pulley

ใช้ equations ใน §10.13 จะได้

$$\boxed{a = \frac{\left( m_{2} - m_{1} \right)g}{m_{1} + m_{2} + I/R^{2}}}.$$

ถ้าต้องการ tensions:

$$T_{1} = m_{1}(g + a),$$

$$T_{2} = m_{2}(g - a).$$

และต้องมี $T_{2} \neq T_{1}$ เมื่อ $I \neq 0$, มิฉะนั้น pulley จะไม่มี net torque.

ตัวอย่าง 10.5 — Variable torque และ turning angle

ให้

$$\tau(\theta) = \tau_{0} - k\theta,$$

body เริ่ม rest ที่ $\theta = 0$.

Work ถึง angle $\theta$:

$$W = \int_{0}^{\theta}\left( \tau_{0} - k\theta' \right)d\theta' = \tau_{0}\theta - \frac{1}{2}k\theta^{2}.$$

ดังนั้น

$$\frac{1}{2}I\omega^{2} = \tau_{0}\theta - \frac{1}{2}k\theta^{2}.$$

Maximum speed เกิดเมื่อ torque เปลี่ยน sign:

$$\theta_{\max\omega} = \frac{\tau_{0}}{k}.$$

และ nonzero turning point หาโดย $K = 0$:

$$\boxed{\theta_{turn} = \frac{2\tau_{0}}{k}}.$$

ตัวอย่าง 10.6 — Rod physical pendulum

uniform rod length $L$ pivoted at end:

$$I_{O} = \frac{1}{3}ML^{2},\quad\quad d = \frac{L}{2}.$$

ดังนั้น small-angle period:

$$\boxed{T \approx 2\pi\sqrt{\frac{2L}{3g}}}.$$

Sanity check: mass $M$ cancels ซึ่งสอดคล้องกับ gravitational/inertial mass cancellation ใน ideal pendulum models.

10.17 Main Exercise — 30 ข้อ

โจทย์ 10.1–10.30 เป็น original authoring ของโครงการ และไม่มีข้อใดเป็น direct substitution ล้วน

Concept / Axis / Scaling

โจทย์ 10.1 — Same mass, not same inertia
วัตถุ A มี mass $M$ concentrated at radius $R/2$ และวัตถุ B มี mass $M$ concentrated at radius $R$. เปรียบเทียบ $I$ และ angular acceleration ถ้าได้รับ torque magnitude เท่ากัน. จากนั้นอธิบายว่าทำไม total mass อย่างเดียวไม่พอใน rotational dynamics.

โจทย์ 10.2 — Axis is part of the quantity
uniform rod ยาว $L$ มวล $M$ มี $I_{CM} = ML^{2}/12$. ใช้ parallel-axis theorem หา $I$ รอบแกนตั้งฉากผ่านปลายหนึ่ง และอธิบายว่าประโยค “rod นี้มี moment of inertia $ML^{2}/12$” ขาดข้อมูลอะไร.

โจทย์ 10.3 — Why $r_{\bot}$?
มวลจุด $m$ อยู่ที่ $(a,b,c)$. หา contribution ต่อ moment of inertia เกี่ยวกับแกน $z$ และเปรียบเทียบกับ $m\left( a^{2} + b^{2} + c^{2} \right)$. อธิบายเชิง geometry ว่าทำไม coordinate $c$ ไม่ควรมีผล.

โจทย์ 10.4 — Perpendicular-axis theorem audit
นักเรียนใช้ $I_{z} = I_{x} + I_{y}$ กับ uniform solid sphere แล้วสรุปว่า $I_{z} = 4MR^{2}/5$. วิเคราะห์ข้อผิดพลาดโดยชี้ assumption ที่ละเมิด และเปรียบเทียบกับค่าที่ถูกต้องของ solid sphere.

Moment-of-Inertia Calculus & Geometry

โจทย์ 10.5 — Nonuniform rod I
rod อยู่ใน $0 \leq x \leq L$ มี $\lambda(x) = \lambda_{0}(1 + x/L)$. หา $I$ เกี่ยวกับแกนตั้งฉากที่ $x = 0$ และเขียนคำตอบด้วย $M,L$ เท่านั้น.

โจทย์ 10.6 — Symmetric nonuniform rod
rod อยู่ใน $- L \leq x \leq L$ มี $\lambda(x) = \lambda_{0}\left( 1 + x^{2}/L^{2} \right)$. หา total mass และ moment of inertia เกี่ยวกับแกนตั้งฉากผ่าน $x = 0$. Eliminate $\lambda_{0}$.

โจทย์ 10.7 — Radially graded disk
uniform-thickness disk รัศมี $R$ มี surface density $\sigma(r) = \sigma_{0}(r/R)$. หา $M$ และ $I_{z}$ แล้วเขียน $I_{z} = cMR^{2}$ เพื่อหา $c$.

โจทย์ 10.8 — Uniform annulus
annulus มี inner radius $a$, outer radius $b$, mass $M$. Derive $I_{z}$ ด้วย direct integration และตรวจ limits $a \rightarrow 0$ กับ $a \rightarrow b$.

โจทย์ 10.9 — Rod plus endpoint masses
uniform rod mass $M$, length $L$ มี point masses $m$ ติดที่ปลายทั้งสอง. หา $I$ about perpendicular axis through center และหา fraction ของ total $I$ ที่มาจาก point masses.

โจทย์ 10.10 — Concentric hole
uniform disk เดิม outer radius $R$ ถูกเจาะ central hole radius $b$. ถ้า mass ที่เหลือคือ $M$, derive $I$ about original symmetry axis และอธิบายว่าทำไม coefficient ต่อ $MR^{2}$ เพิ่มขึ้นเมื่อ $b$ เพิ่ม.

โจทย์ 10.11 — Parallel-axis theorem proof
เริ่มจาก $I' = \int\left\lbrack (x - d)^{2} + y^{2} \right\rbrack dm$ และพิสูจน์ $I' = I_{CM} + Md^{2}$. ระบุชัดว่าขั้นตอนไหนใช้ definition ของ center of mass.

โจทย์ 10.12 — Perpendicular-axis theorem + square lamina
พิสูจน์ $I_{z} = I_{x} + I_{y}$ สำหรับ planar lamina. จากนั้น uniform square plate side $a$ มี $I_{x} = I_{y} = Ma^{2}/12$ เกี่ยวกับแกนกลางใน plane; หา $I_{z}$.

โจทย์ 10.13 — Scaling law
วัตถุสามมิติรูปร่างเหมือนเดิมและ density คงเดิม ถูกขยายทุก length ด้วย factor $c$. หา scaling ของ $M$ และ $I$. จากนั้นทำใหม่สำหรับกรณี total mass ถูกบังคับให้คงเดิม.

Fixed-Axis Dynamics / Energy / Work-Power

โจทย์ 10.14 — Time-dependent torque
body moment of inertia $I$ เริ่ม rest และมี torque $\tau(t) = \tau_{0}(1 - t/T)$ สำหรับ $0 \leq t \leq T$. หา $\omega(t)$, $\theta(t) - \theta(0)$ และค่าที่ $t = T$. ตรวจ dimension.

โจทย์ 10.15 — Three torques on a disk
uniform disk mass $M$, radius $R$ มี force tangential $F$ ที่ rim ในทิศบวก, force $F/2$ ที่ radius $R/2$ ในทิศลบ และ torque couple magnitude $\tau_{c}$ ในทิศลบ. หา $\alpha$ พร้อม sign และหา condition ที่ disk มี $\alpha = 0$.

โจทย์ 10.16 — Massive Atwood pulley
$m_{2} > m_{1}$ เชื่อมด้วย string ไม่ยืดและไม่ลื่นบน pulley radius $R$, inertia $I$. Derive acceleration และ tensions $T_{1},T_{2}$. ตรวจ limit $I \rightarrow 0$ และ $I \rightarrow \infty$.

โจทย์ 10.17 — Falling mass unwinds a solid cylinder
block mass $m$ แขวนด้วย light string พันรอบ fixed-axis solid cylinder mass $M$, radius $R$. String ไม่ลื่น. หา downward acceleration ของ block และ tension. ใช้ $I_{cyl} = MR^{2}/2$.

โจทย์ 10.18 — Linear torque law and turning angle
rigid body inertia $I$ เริ่ม rest ที่ $\theta = 0$ ภายใต้ $\tau(\theta) = \tau_{0} - k\theta$. หา $\omega(\theta)$, angle ที่ speed สูงสุด และ nonzero turning angle.

โจทย์ 10.19 — Torque-angle graph
torque เพิ่มเชิงเส้นจาก $0$ ที่ $\theta = 0$ ถึง $\tau_{0}$ ที่ $\theta = \Theta$ แล้วลดเชิงเส้นถึง $0$ ที่ $2\Theta$. Body inertia $I$ เริ่ม rest. หา $\omega$ ที่ $\Theta$ และ $2\Theta$ ด้วย area reasoning และเปรียบเทียบ kinetic energies.

โจทย์ 10.20 — Power history
constant torque $\tau_{0}$ กระทำกับ body inertia $I$ ที่มี initial angular velocity $\omega_{0}$. หา $\omega(t)$, instantaneous power $P(t)$ และพิสูจน์โดย integration ว่างานในเวลา $0 \rightarrow t$ เท่ากับ $\Delta K$.

โจทย์ 10.21 — Dynamics vs energy for a massive pulley
สำหรับ Atwood system ในโจทย์ 10.16 เริ่มจาก rest และ $m_{2}$ ลดระดับ $h$. ใช้ energy หา speed $v$ แล้วใช้ constant-acceleration kinematics หา $a$. แสดงว่าได้ผลเหมือน torque-dynamics method.

Olympiad-Style Synthesis

โจทย์ 10.22 — Mass placement under a mean-radius constraint
point masses รวม $M$ ถูกวางบน radial segment $0 \leq r \leq R$ โดยมี fixed mass-weighted mean radius $\bar{r} = (1/M)\sum m_{i}r_{i} = c$. (ก) ใช้ convexity ของ $r^{2}$ อธิบาย configuration ที่ minimize $I$. (ข) แสดงว่า maximum $I$ ได้เมื่อ mass อยู่ที่ endpoints $0,R$ และหา $I_{\max}$ ใน terms of $M,R,c$.

โจทย์ 10.23 — Off-center circular hole
uniform disk เดิม mass $M_{0}$, radius $R$ ถูกเจาะ hole radius $R/2$ ซึ่ง center ของ hole อยู่ห่าง center เดิม $R/2$. หา moment of inertia ของ remaining lamina about original central axis ทั้งใน terms of $M_{0}$ และ remaining mass $M$.

โจทย์ 10.24 — Infer density exponent
thin disk มี $\sigma(r) = \sigma_{0}(r/R)^{n}$, $n > - 2$. Derive $I/\left( MR^{2} \right)$ as a function of $n$. การวัดให้ $I = (2/3)MR^{2}$; หา $n$.

โจทย์ 10.25 — Massive Atwood with disk pulley
ใช้ผล general ของโจทย์ 10.16 กับ pulley เป็น uniform disk mass $M_{p}$. Derive $a$. ตรวจ limits $M_{p} \rightarrow 0$ และ $M_{p} \gg m_{1} + m_{2}$ และอธิบาย physical meaning.

โจทย์ 10.26 — One system, two methods
block mass $m$ ตกลงระยะ $h$ ขณะ string คลายจาก fixed-axis hoop mass $M$, radius $R$. เริ่ม rest. หา speed หลังตก $h$ ด้วย (i) force/torque equations และ kinematics, (ii) energy. แสดง algebraic equivalence.

โจทย์ 10.27 — Angle-dependent drive
body inertia $I$ เริ่ม rest ที่ $\theta = 0$ และได้รับ $\tau(\theta) = \tau_{0} - k\theta$ โดย law นี้ใช้ต่อเนื่อง. Derive maximum angular speed และ turning angle; จากนั้นเขียน effective potential $U(\theta)$ โดยเลือก $U(0) = 0$ และตีความ stable equilibrium.

โจทย์ 10.28 — Physical pendulum: uniform rod
uniform rod length $L$ pivoted at one end oscillatesด้วย small angle. Derive period จาก torque + moment of inertia โดยไม่เริ่มจากสูตร physical pendulum สำเร็จ. เปรียบเทียบกับ simple pendulum length $L$.

โจทย์ 10.29 — Same torque through same angle
สอง bodies มี $I_{1},I_{2}$ เริ่ม rest และแต่ละอันถูก constant torque magnitude เดียวกันผ่าน angle $\Theta$. หา ratio ของ final kinetic energies, angular speeds, angular accelerations และ elapsed times. อธิบายว่าปริมาณใด independent of $I$.

โจทย์ 10.30 — Design an annular flywheel
uniform annular flywheel outer radius $R$, mass $M$, inner radius $a$ ต้องการ moment of inertia $I = cMR^{2}$. หา $a/R$ และช่วงของ $c$ ที่สร้างได้จริงสำหรับ $0 \leq a < R$. อธิบาย limits ของ design.

10.18 Cheat Sheet — สูตรพร้อมเงื่อนไข

$$I = \sum m_{i}r_{\bot,i}^{2},\quad\quad I = \int r_{\bot}^{2}dm.$$

ต้องระบุแกน

$$I_{hoop} = MR^{2},\quad\quad I_{disk} = \frac{1}{2}MR^{2}.$$

$$I_{rod,CM} = \frac{1}{12}ML^{2},\quad\quad I_{rod,end} = \frac{1}{3}ML^{2}.$$

$$I_{sphere} = \frac{2}{5}MR^{2}.$$

$$I = I_{CM} + Md^{2}$$

เฉพาะ parallel axes โดย known axis ผ่าน CM

$$I_{z} = I_{x} + I_{y}$$

เฉพาะ planar lamina

$$\sum\tau_{axis} = I\alpha$$

fixed-axis rigid-body dynamics

$$K_{rot} = \frac{1}{2}I\omega^{2}.$$

$$dW = \tau\, d\theta,\quad\quad W = \int\tau(\theta)d\theta.$$

$$W_{net} = \Delta K_{rot},\quad\quad P = \tau\omega.$$

$$\tau(\theta) = - \frac{dU}{d\theta}$$

เมื่อ torque เป็น conservative ใน angular coordinate

10.19 Reference Notes

แหล่งต่อไปนี้ถูกเปิดตรวจสำหรับ Chapter 10:

1. Young, H. D., & Freedman, R. A., University Physics with Modern Physics, 15th ed., SI units: Ch.9 §§9.4–9.6; Ch.10 §§10.2, 10.4.

2. Serway, R. A., & Jewett, J. W., Physics for Scientists and Engineers with Modern Physics, 10th ed.: Ch.10 §§10.5–10.8.

3. Tipler, P. A., & Mosca, G., Physics for Scientists and Engineers with Modern Physics, 6th ed.: Ch.9 §§9-2–9-4.

4. OpenStax, University Physics Volume 1: moment-of-inertia calculations, parallel-axis theorem, fixed-axis rotational dynamics and §15.4 Pendulums.

5. TU Delft university mechanics text / Physics LibreTexts mirror: perpendicular-axis theorem and planar-domain proof.

โจทย์ 10.1–10.30, worked-example statements, figures และการจัดลำดับคำอธิบายในบทนี้เป็น original authoring ของโครงการ เว้นแต่ระบุชัดเจนเป็นอย่างอื่น.

Scope boundary: angular momentum, $L = I\omega$, $\tau = dL/dt$ และ conservation of angular momentum ถูกสงวนไว้ Chapter 11. General 3D rigid-body dynamics, inertia tensor และ Euler equations อยู่นอกขอบเขต Part 2 นี้.