การเคลื่อนที่หลายมิติแบบไม่คงเร่ง

2.1 Vector kinematics

$r \left(t\right) = x \left(t\right) i + y \left(t\right) j + z \left(t\right) k$

$v \left(t\right) = \frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t} , a \left(t\right) = \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}$

$v \left(t\right) = v_{0} + \int _{t_{0}}^{t} a \left(\tau \right) \mathrm{d}\tau , r \left(t\right) = r_{0} + \int _{t_{0}}^{t} v \left(\tau \right) \mathrm{d}\tau$

เส้นทางตัวอย่าง r=(t,t²/4): ความเร็ว (1,t/2) สัมผัสเส้นทาง ส่วนความเร่ง (0,1/2) ชี้ขึ้นและไม่ขนานกับความเร็วทั่วไป — **อ่านภาพ:** เส้นทางตัวอย่าง $r = \left(t , \frac{t^{2}}{4}\right)$ : ความเร็ว $\left(1 , \frac{t}{2}\right)$ สัมผัสเส้นทาง ส่วนความเร่ง (0,1/2) ชี้ขึ้นและไม่ขนานกับความเร็วทั่วไป
**ลองสังเกต:** ตำแหน่ง ความเร็ว และความเร่งต้องชี้ทิศเดียวกันหรือไม่?

2.2 Differential displacement: $d r = v \mathrm{d}t$

$d r = v \mathrm{d}t$

$d r$ คือเวกเตอร์การกระจัดเล็กมากที่สัมผัสกับเส้นทางจริง ณ จุดนั้น. มันมีทิศเดียวกับ $v$ เมื่อ $\mathrm{d}t > 0$ และเป็นวัตถุดิบสำคัญของการรวมปริมาณตามเส้นทางใน Part 2.

ส่วนโค้งจริงกับเส้นสัมผัสเริ่มต้น: Δr คือเส้นเชื่อมสองตำแหน่ง ส่วน v(t)Δt เป็นการประมาณตามเส้นสัมผัส — **อ่านภาพ:** ส่วนโค้งจริงกับเส้นสัมผัสเริ่มต้น: $\Delta r$ คือเส้นเชื่อมสองตำแหน่ง ส่วน $v \left(t\right) \Delta t$ เป็นการประมาณตามเส้นสัมผัส
**ลองสังเกต:** เมื่อลด $\Delta t$ ครึ่งหนึ่ง ช่องว่างจากความโค้งเปลี่ยนอย่างไร?

2.3 กรณี $a = a \left(t\right)$

$v \left(t\right) = v_{0} + \int a \left(t\right) \mathrm{d}t$

$r \left(t\right) = r_{0} + \int v \left(t\right) \mathrm{d}t$

นี่เป็นเส้นทางที่ตรงที่สุดเมื่อโจทย์ให้ความเร่งเป็นฟังก์ชันของเวลา. ในหลายมิติให้ทำเป็นองค์ประกอบ $a_{x} \left(t\right) , a_{y} \left(t\right) , a_{z} \left(t\right)$ .

ตัวอย่าง aₓ=2t และ aᵧ=2, v₀=(1,−1): อินทิเกรตแต่ละแกนได้ vₓ=1+t² และ vᵧ=−1+2t — **อ่านภาพ:** ตัวอย่าง $a_{x} = 2 t$ และ $a_{y} = 2 , v_{0} = \left(1 , - 1\right)$ : อินทิเกรตแต่ละแกนได้ $v_{x} = 1 + t^{2}$ และ $v_{y} = - 1 + 2 t$
**ลองสังเกต:** ค่าเริ่มต้นของแต่ละองค์ประกอบอยู่ตรงไหนบนกราฟ?

2.4 กรณี $a = a \left(x\right)$ — เฉพาะการเคลื่อนที่ 1 มิติ

$a = \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} = \left(\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}\right) \left(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\right) = \frac{v \mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}$

$v \mathrm{d}v = a \left(x\right) \mathrm{d}x$

$\frac{1}{2} \left(v^{2} - v_{0}^{2}\right) = \int _{x_{0}}^{x} a \left(\xi \right) \mathrm{d}\xi$

สมการนี้เป็นผลจาก chain rule และเป็นรากฐานเชิงคณิตศาสตร์ที่ภายหลังเชื่อมได้กับงาน-พลังงานใน 1D.

ตัวอย่าง a=4−x, v(0)=0 ให้ v²=8x−x²: เดินจาก 0 ถึง 8 m และอัตราเร็วสูงสุดที่ 4 m — **อ่านภาพ:** ตัวอย่าง $a = 4 - x , v \left(0\right) = 0$ ให้ $v^{2} = 8 x - x^{2}$ : เดินจาก 0 ถึง $8 \mathrm{m}$ และอัตราเร็วสูงสุดที่ $4 \mathrm{m}$
**ลองสังเกต:** เหตุใด $v^{2}$ ติดลบทางขวาของจุดวกกลับจึงไม่ใช่การเคลื่อนที่ที่เข้าถึงได้?

2.5 กรณี $a = a \left(v\right)$ — 1D

$\mathrm{d}t = \frac{\mathrm{d}v}{a} \left(v\right)$

ถ้าโจทย์ถามเวลาในการเปลี่ยนความเร็วจาก $v_{0}$ ไป $v_{1}$ และความเร่งขึ้นกับ $v$ โดยตรง สามารถแยกตัวแปรแล้วอินทิเกรตได้. ต้องระวังจุดที่ $a \left(v\right) = 0$ เพราะอาจทำให้อินทิกรัลไม่ลู่เข้า.

ความเร็วลดแบบ exponential: v/v₀=e^(−t/τ), การกระจัดสะสมเข้าใกล้ v₀τ แม้ความเร็วไม่เป็นศูนย์ที่เวลาจำกัด — **อ่านภาพ:** ความเร็วลดแบบ exponential: $\frac{v}{v_{0}} = e^{- t / \tau }$ , การกระจัดสะสมเข้าใกล้ $v_{0} \tau$ แม้ความเร็วไม่เป็นศูนย์ที่เวลาจำกัด
**ลองสังเกต:** ความเร็วเข้าใกล้ศูนย์หมายถึงระยะทางทั้งหมดเป็นอนันต์เสมอหรือไม่?

2.6 Parametric motion ใน 2D/3D

$r \left(t\right) = x \left(t\right) i + y \left(t\right) j + z \left(t\right) k$

เส้นทางจริงอาจอธิบายด้วยพารามิเตอร์ $t$ โดยไม่ต้องกำจัด $t$ ออกเสมอ. สำหรับการหา $v$ และ $a$ การคงรูปพาราเมตริกมักสะดวกกว่า.

วงรี x=3 cos t, y=2 sin t: ลูกศรความเร็วจากอนุพันธ์ยาวกว่าที่ปลายแกนสั้น ความเร็วแสดงด้วยสเกล 0.3 s — **อ่านภาพ:** วงรี $x = 3 \cos t , y = 2 \mathrm{s} i n t$ : ลูกศรความเร็วจากอนุพันธ์ยาวกว่าที่ปลายแกนสั้น ความเร็วแสดงด้วยสเกล $0.3 \mathrm{s}$
**ลองสังเกต:** ทำไมความเร็วมากสุดไม่อยู่ที่ตำแหน่งไกล origin ที่สุด?

Example 2 — Delivery drone ใน 3D

2.7 Scalar field และ Vector field — รู้จักภาษาไว้ก่อน

scalar field: $\phi = \phi \left(x , y , z\right)$

vector field: $F = F \left(x , y , z\right)$

ฟังก์ชันในบทก่อนส่วนใหญ่ขึ้นกับเวลา. แต่ในฟิสิกส์ปริมาณอาจขึ้นกับ “ตำแหน่งในอวกาศ” ด้วย เช่น อุณหภูมิ $T \left(r\right)$ เป็น scalar field และสนามแรง $F \left(r\right)$ เป็น vector field.

ซ้ายเป็นสนามสเกลาร์ φ=x²+y² มีเส้นระดับและค่าสี ขวาเป็นสนามเวกเตอร์ F=(−y,x) พร้อมลูกศรที่สี่แกนหลัก; พิกัดแสดงในหน่วยอ้างอิง — **อ่านภาพ:** ซ้ายเป็นสนามสเกลาร์ $\phi = x^{2} + y^{2}$ มีเส้นระดับและค่าสี ขวาเป็นสนามเวกเตอร์ $F = \left(- y , x\right)$ พร้อมลูกศรที่สี่แกนหลัก; พิกัดแสดงในหน่วยอ้างอิง
**ลองสังเกต:** สนามสเกลาร์คืนค่าอะไร ต่างจากลูกศรของสนามเวกเตอร์อย่างไร?

2.8 Cheat Sheet — บทที่ 2

หลายมิติ: $v = \frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t}$ และ $a = \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}$
$d r = v \mathrm{d}t$ เป็นเวกเตอร์การกระจัดเล็กตามเส้นทาง
$a = a \left(t\right)$ : อินทิเกรตตามเวลา
$a = a \left(x\right) : a = \frac{v \mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}$ ใช้เฉพาะ 1D
$a = a \left(v\right) : \mathrm{d}t = \frac{\mathrm{d}v}{a} \left(v\right)$ ใน 1D
field คือปริมาณที่กำหนดค่าให้ทุกตำแหน่งในบริเวณหนึ่ง

แบบฝึกหัดท้ายบทที่ 2 — Main Exercise 30 ข้อ

นโยบายแบบฝึกหัด

โจทย์ทั้ง 30 ข้อในบทนี้เขียนขึ้นใหม่สำหรับฉบับปรับปรุง พ.ศ. 2569 โดยตั้งใจให้โจทย์หลักไม่เป็นการแทนค่าสูตรตรง ๆ เป็นส่วนใหญ่ แต่ให้ใช้การอ่านกราฟ แคลคูลัส เหตุผลเชิงเวกเตอร์ การเลือกแบบจำลอง และการสังเคราะห์แนวคิดตามความเหมาะสมของบท. คำตอบสั้นทุกข้อแยกอยู่ใน Detailed Solution Manual.

Vector Kinematics

ข้อ 2.1

ให้ $a \left(t\right) = 2 t i + 6 j \left(\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^{2}}\right) , v \left(0\right) = i - \frac{2 j \mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ และ $r \left(0\right) = 3 i + j m$ . จงหา $v \left(t\right) , r \left(t\right)$ และตำแหน่งที่ $t = 2 \mathrm{s}$ .

$\left[v = \left(1 + t^{2}\right) i + \frac{\left(- 2 + 6 t\right) j \mathrm{m}}{\mathrm{s}} ; r = \left(3 + t + \frac{t^{3}}{3}\right) i + \left(1 - 2 t + 3 t^{2}\right) j m ; r \left(2\right) = \left(\frac{23}{3}\right) i + 9 j m .\right]$

ดูคำตอบ ข้อ 2.1 →

ข้อ 2.2

อนุภาคมี $r \left(t\right) = 3 \cos t i + 3 \sin t j + 4 t k \left(m\right)$ . จงหา $v , a$ , speed และ $v \cdot a$ . อธิบายว่าเหตุใด speed คงที่แม้ $a \ne 0$ .

[ $v = \left(- 3 \sin t , 3 \cos t , 4\right) , a = \left(- 3 \cos t , - 3 \sin t , 0\right)$ , speed $= \frac{5 \mathrm{m}}{\mathrm{s}} , v \cdot a = 0 .$ ]

ดูคำตอบ ข้อ 2.2 →

ข้อ 2.3

ให้ $v \left(t\right) = t i + t^{2} j + t^{3} k$ . จงหา displacement จาก $t = 0$ ถึง $2 \mathrm{s}$ และ average velocity ในช่วงเดียวกัน.

$\left[\Delta r = 2 i + \left(\frac{8}{3}\right) j + 4 k m ; v_{\mathrm{avg}} = i + \left(\frac{4}{3}\right) j + \frac{2 k \mathrm{m}}{\mathrm{s}} .\right]$

ดูคำตอบ ข้อ 2.3 →

ข้อ 2.4

อนุภาคมี $v = \left(2 t\right) i + \left(3 - t\right) j$ . จงหาเวลาที่ speed stationary และตัดสินว่าเป็น minimum หรือ maximum.

[speed stationary ที่ $t = 0.600 \mathrm{s}$ และเป็น minimum; $\mathrm{speed}_{\mathrm{min}} = \frac{6}{\sqrt{5}} \approx \frac{2.683 \mathrm{m}}{\mathrm{s}} .$ ]

ดูคำตอบ ข้อ 2.4 →

ข้อ 2.5

ให้ $a \left(t\right) = a_{0} \cos \left(\omega t\right) i + a_{0} \sin \left(\omega t\right) j$ และ $v \left(0\right) = 0$ . จงหา $v \left(t\right)$ และแสดงว่า trajectory ของ velocity-space เป็นวงกลมที่เลื่อนศูนย์.

1D Chain Rule: $a = a \left(x\right)$

[เมื่อ $\omega \ne 0 : v = \left(\frac{a_{0}}{\omega }\right) \sin \omega t i + \left(\frac{a_{0}}{\omega }\right) \left(1 - \cos \omega t\right) j$ ; velocity-space มีศูนย์กลาง $\left(0 , \frac{a_{0}}{\omega }\right)$ และรัศมี $\left|\frac{a_{0}}{\omega }\right|$ (เสื่อมเป็นจุดเมื่อ $a_{0} = 0$ ).]

ดูคำตอบ ข้อ 2.5 →

ข้อ 2.6

การเคลื่อนที่ 1D มี $a$ ( $x$ ) $= 6 - 2 x$ ( $\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^{2}}$ เมื่อ $x$ เป็น $m$ ), $v = \frac{2 \mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ ที่ $x = 0$ . หา speed ที่ $x = 2 \mathrm{m}$ .

[speed ที่ $x = 2 \mathrm{m}$ คือ $2 \sqrt{5} \approx \frac{4.47 \mathrm{m}}{\mathrm{s}} .$ ]

ดูคำตอบ ข้อ 2.6 →

ข้อ 2.7

วัตถุ 1D เริ่มที่ $x = 0$ ด้วย speed $v_{0}$ และมี $a \left(x\right) = - k x$ โดย $k > 0$ (หน่วย $s^{-2}$ ). จงหา $v^{2} \left(x\right)$ และ turning point แรกทาง $+ x$ .

[ $v^{2} \left(x\right) = v_{0}^{2} - k x^{2}$ ; turning point แรกทาง $+ x$ คือ $x = \frac{v_{0}}{\sqrt{k}} .$ ]

ดูคำตอบ ข้อ 2.7 →

ข้อ 2.8

ให้ $a \left(x\right) = \frac{A}{x}$ สำหรับ $x > 0$ โดย $A$ มีหน่วย $\frac{m^{2}}{s^{2}}$ . ถ้า $v = v_{1}$ ที่ $x = x_{1}$ จงหา $v \left(x\right)$ ในรูป logarithm.

[ $v \left(x\right) = \pm \sqrt{v_{1}^{2} + 2 A \ln \left(\frac{x}{x_{1}}\right)}$ ; speed $= \sqrt{v_{1}^{2} + 2 A \ln \left(\frac{x}{x_{1}}\right)}$ ในบริเวณที่วงเล็บไม่ลบ.]

ดูคำตอบ ข้อ 2.8 →

ข้อ 2.9

ให้ $a \left(x\right) = a_{0} \left(1 - \frac{x}{L}\right)$ , เริ่มจากหยุดนิ่งที่ $x = 0$ . จงหา (ก) ตำแหน่งที่ speed มากสุด (ข) $v_{\mathrm{max}}^{2}$ และ (ค) จุดหยุดถัดไปถ้าสมการใช้ต่อเนื่อง.

[speed สูงสุดที่ $x = L ; v_{\mathrm{max}}^{2} = a_{0} L$ ; จุดหยุดถัดไป $x = 2 L .$ ]

ดูคำตอบ ข้อ 2.9 →

ข้อ 2.10

อธิบายอย่างเป็นเหตุผลว่าทำไมสูตร $a = \frac{v \mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}$ ไม่ใช่สมการเวกเตอร์ทั่วไปใน 2D/3D และระบุเงื่อนไขที่ทำให้ใช้ได้อย่างปลอดภัย.

Velocity-Dependent Acceleration

[ $a_{x} = \frac{v_{x} \mathrm{d}v_{x}}{\mathrm{d}x}$ ใช้กับความเร็วมีเครื่องหมายตามแกนตรง $x$ บนช่วงที่เขียน $v_{x} \left(x\right)$ ได้; ถ้าใช้ระยะตามเส้นโค้ง $s$ สูตร $\frac{v \mathrm{d}v}{\mathrm{d}s}$ ให้เฉพาะความเร่งสัมผัส ไม่ใช่เวกเตอร์ความเร่งทั้งหมด.]

ดูคำตอบ ข้อ 2.10 →

ข้อ 2.11

ใน 1D ให้ $a \left(v\right) = - k v , k > 0$ และ $v \left(0\right) = v_{0} > 0$ . หา $v \left(t\right)$ และระยะทาง $x \left(t\right) - x_{0}$ .

$\left[v \left(t\right) = v_{0} e^{- k t} ; x - x_{0} = \left(\frac{v_{0}}{k}\right) \left(1 - e^{- k t}\right) .\right]$

ดูคำตอบ ข้อ 2.11 →

ข้อ 2.12

ให้ $a \left(v\right) = - c v^{2} , c > 0 , v \left(0\right) = v_{0} > 0$ . จงหา $v \left(t\right)$ และเวลาที่ speed ลดเหลือ $\frac{v_{0}}{2}$ .

$\left[v = \frac{v_{0}}{1 + c v_{0} t} ; t_{1 / 2} = \frac{1}{c v_{0}} .\right]$

ดูคำตอบ ข้อ 2.12 →

ข้อ 2.13

ให้ $\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} = g - \beta v$ โดย $g , \beta > 0$ และ $v \left(0\right) = 0$ . จงหา $v \left(t\right)$ และ terminal speed.

[ $v \left(t\right) = \left(\frac{g}{\beta }\right) \left(1 - e^{- \beta t}\right)$ ; terminal speed $= \frac{g}{\beta } .$ ]

ดูคำตอบ ข้อ 2.13 →

ข้อ 2.14

ให้ $\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} = a_{0} \left(1 - \frac{v}{V}\right) , v \left(0\right) = v_{i}$ . จงหา $v \left(t\right)$ และบอกว่าคำตอบเปลี่ยนอย่างไรถ้า $v_{i} > V$ .

[ $v = V + \left(v_{i} - V\right) e^{- a_{0} t / V}$ ; ถ้า $v_{i} > V$ จะลดลงแบบ exponential เข้าหา $V .$ ]

ดูคำตอบ ข้อ 2.14 →

ข้อ 2.15

ให้ $a \left(v\right) = - k \left(v - v_{c}\right) , v \left(0\right) = v_{0}$ . หาเวลาที่ $\left|v - v_{c}\right|$ ลดเหลือ 10% ของค่าเริ่มต้น.

Parametric Motion

[ $t = \frac{\ln 10}{k}$ เมื่อ $k > 0$ และ $v_{0} \ne v_{c}$ ; ถ้า $v_{0} = v_{c}$ ส่วนต่างเป็นศูนย์ตลอด จึงไม่มีเวลาลดเหลือ 10% ที่เฉพาะเจาะจง.]

ดูคำตอบ ข้อ 2.15 →

ข้อ 2.16

ให้ $r \left(u\right) = L \left[u^{2} i + u^{3} j\right]$ โดย $L$ เป็นค่าคงที่ที่มีหน่วยความยาว และ $u = \frac{t}{T}$ ไม่มีหน่วย. จงหา $v \left(t\right) , a \left(t\right)$ และอธิบายบทบาทของ parameter $u$ เทียบกับเวลา.

[ $v = L \left[\left(\frac{2 t}{T^{2}}\right) i + \left(\frac{3 t^{2}}{T^{3}}\right) j\right] ; a = L \left[\left(\frac{2}{T^{2}}\right) i + \left(\frac{6 t}{T^{3}}\right) j\right] ; u$ ระบุ geometry, $T$ เป็น time scale และ $L$ เป็น length scale.]

ดูคำตอบ ข้อ 2.16 →

ข้อ 2.17

เส้นทาง ellipse กำหนด $r \left(t\right) = a \cos \omega t i + b \sin \omega t j$ . จงหา speed และเวลาที่ speed มากสุด/น้อยสุดในหนึ่งคาบเมื่อ $a > b > 0$ .

[speed $= \left|\omega \right| \sqrt{a^{2} \sin ^{2} \omega t + b^{2} \cos ^{2} \omega t} ; \max = a \left|\omega \right|$ ที่ $\omega t = \frac{\pi }{2} , \frac{3 \pi }{2} ; \min = b \left|\omega \right|$ ที่ $\omega t = 0 , \pi .$ ]

ดูคำตอบ ข้อ 2.17 →

ข้อ 2.18

ให้ $r \left(t\right) = t i + t^{2} j + t^{3} k$ . จงหา arc-length rate $\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}$ และหาค่า ณ $t = 1$ โดยไม่ต้องคำนวณ arc length ทั้งเส้น.

[ $\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t} = \sqrt{1 + 4 t^{2} + 9 t^{4}}$ ; ที่ $t = 1$ เท่ากับ $\sqrt{14}$ (หน่วยความเร็ว).]

ดูคำตอบ ข้อ 2.18 →

ข้อ 2.19

โดรนต้องผ่านจุด $R = \left(6 , 4 , 2\right) m$ ที่เวลา $T = 2 \mathrm{s}$ ภายใต้ acceleration คงที่ $a = \frac{\left(1 , - 1 , 0\right) \mathrm{m}}{\mathrm{s}^{2}}$ และ $r \left(0\right) = 0$ . หา $v_{0}$ และตรวจ $v \left(T\right)$ .

$\left[v_{0} = 2 i + 3 j + \frac{k \mathrm{m}}{\mathrm{s}} ; v \left(2\right) = 4 i + j + \frac{k \mathrm{m}}{\mathrm{s}} .\right]$

ดูคำตอบ ข้อ 2.19 →

ข้อ 2.20

ให้ $v \left(t\right) = \left(1 + t\right) i + \left(2 - t\right) j$ และ $r \left(0\right) = 0$ . หา trajectory $y \left(x\right)$ โดยกำจัด $t$ และระบุช่วงที่ $x \left(t\right)$ monotonic สำหรับ $t \ge 0$ .

Scalar / Vector Fields

[สำหรับ $t \ge 0 : y \left(x\right) = 3 \left(\sqrt{1 + 2 x} - 1\right) - x$ และ $x \left(t\right)$ monotonic increasing ตลอด.]

ดูคำตอบ ข้อ 2.20 →

ข้อ 2.21

จำแนกปริมาณต่อไปนี้เป็น scalar field, vector field หรือ trajectory quantity: $T \left(x , y , z\right) , F \left(x , y , z\right)$ , speed $v \left(t\right) , r \left(t\right)$ , pressure $p \left(x , y\right)$ . อธิบาย input/output ของแต่ละตัว.

[ $T$ และ $p$ เป็น scalar fields; $F$ เป็น vector field; speed $v \left(t\right)$ เป็น trajectory scalar; $r \left(t\right)$ เป็น trajectory vector.]

ดูคำตอบ ข้อ 2.21 →

ข้อ 2.22

ให้ $F \left(x , y\right) = \left(- y\right) i + x j$ . จงหาทิศของ $F$ ที่ (2,0),(0,2),(-2,0),(0,-2) และอธิบาย pattern โดยไม่คำนวณ curl.

[ทิศตามลำดับคือ $+ y , - x , - y , + x$ ; pattern เป็นสนามวนทวนเข็มนาฬิกาและตั้งฉากกับ radial direction.]

ดูคำตอบ ข้อ 2.22 →

ข้อ 2.23

ให้ $F \left(x , y\right) = k \left(x i + y j\right)$ โดย $k$ มีหน่วย $\frac{N}{m}$ . เปรียบเทียบขนาดและทิศของแรงที่จุด $A = \left(1 , 2\right) m$ และ $B = \left(- 2 , - 4\right) m$ .

$\left[F_{A} = k \left(i + 2 j\right) , F_{B} = - 2 k \left(i + 2 j\right) ; \left|F_{B}\right| = 2 \left|F_{A}\right| .\right]$

ดูคำตอบ ข้อ 2.23 →

ข้อ 2.24

แรง field เขียน $F = \left(\alpha x^{2}\right) i + \left(\beta y\right) j$ . ถ้า $x , y$ มีหน่วย $m$ จงหาหน่วยของ $\alpha$ และ $\beta$ เพื่อให้ $F$ มีหน่วย $N$ และอธิบายเหตุผลที่การเขียน coefficient แบบไร้หน่วยอาจทำให้ dimensional analysis พัง.

Synthesis & Olympiad Style

[ $\left[\alpha \right] = N m^{-2}$ และ $\left[\beta \right] = N m^{-1} .$ ]

ดูคำตอบ ข้อ 2.24 →

ข้อ 2.25

ใน 1D ให้ $v \left(x\right) = v_{0} \left(1 + \frac{x}{L}\right)^{- 1}$ . จงหา $a \left(x\right)$ โดย chain rule และบอก sign สำหรับ $x > - L$ .

[ $a \left(x\right) = - \left(\frac{v_{0}^{2}}{L}\right) \left(1 + \frac{x}{L}\right)^{-3}$ ; สำหรับ $L > 0$ และ $x > - L$ มี $a < 0 .$ ]

ดูคำตอบ ข้อ 2.25 →

ข้อ 2.26

ให้ $v \left(t\right) = V \tanh \left(\frac{t}{\tau }\right)$ ใน 1D. จงหา $a \left(v\right)$ โดยกำจัด $t$ .

$\left[a \left(v\right) = \left(\frac{V}{\tau }\right) \left[1 - \left(\frac{v}{V}\right)^{2}\right] .\right]$

ดูคำตอบ ข้อ 2.26 →

ข้อ 2.27

อนุภาคมี $r \left(t\right) = \left(t^{2} , t^{3}\right)$ . จงหาเวลาที่ acceleration ตั้งฉากกับ position vector สำหรับ $t > 0$ และแปลความหมายเชิง geometry.

[ไม่มี $t > 0$ ที่ $a \perp r$ ; สำหรับ $t > 0$ acceleration มี radial projection ออกเป็นบวกตลอด.]

ดูคำตอบ ข้อ 2.27 →

ข้อ 2.28

ให้ trajectory $r \left(t\right)$ และ vector field $F \left(r\right)$ . อธิบายความแตกต่างระหว่าง $F \left(r \left(t\right)\right)$ กับ $\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t}$ และยกตัวอย่างว่าทั้งสองอาจชี้คนละทิศได้.

[ $F \left(r \left(t\right)\right)$ คือค่าสนามแรงตามเส้นทาง ส่วน $\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t}$ คือความเร็วสัมผัสเส้นทาง; เช่น $r = \left(u t , \frac{g t^{2}}{2}\right) , F = m g j$ ให้แรงตั้งฉากกับ $v$ ที่ $t = 0$ เมื่อ $u \ne 0 .$ ]

ดูคำตอบ ข้อ 2.28 →

ข้อ 2.29

ให้ acceleration 3D เป็น $a \left(t\right) = a_{0} \sin \omega t i + \beta e^{- t / \tau } j + \gamma t k$ และ $v \left(0\right) = 0$ . จงหา $v \left(t\right)$ พร้อมตรวจ limiting behavior เมื่อ $t \to 0$ .

[ $v = \left(\frac{a_{0}}{\omega }\right) \left(1 - \cos \omega t\right) i + \beta \tau \left(1 - e^{- t / \tau }\right) j + \left(\frac{\gamma }{2}\right) t^{2} k$ ; near 0 มี $v \approx \beta t j + O \left(t^{2}\right) .$ ]

ดูคำตอบ ข้อ 2.29 →

ข้อ 2.30

เส้นทาง $r \left(t\right) = R e^{- \lambda t} \left[\cos \omega t i + \sin \omega t j\right]$ เป็น spiral เข้าหา origin. จงหา $\frac{d \left(r^{2}\right)}{\mathrm{d}t}$ และใช้บอก sign ของ radial motion โดยไม่หา speed เต็มรูป.

[ $\frac{d \left(r^{2}\right)}{\mathrm{d}t} = - 2 \lambda R^{2} e^{- 2 \lambda t} < 0$ เมื่อ $\lambda > 0$ ; อนุภาค spiral เข้าหา origin ตลอด.]

ดูคำตอบ ข้อ 2.30 →