คำตอบสั้น · การเคลื่อนที่หลายมิติแบบไม่คงเร่ง

$\left[v = \left(1 + t^{2}\right) i + \frac{\left(- 2 + 6 t\right) j \mathrm{m}}{\mathrm{s}} ; r = \left(3 + t + \frac{t^{3}}{3}\right) i + \left(1 - 2 t + 3 t^{2}\right) j m ; r \left(2\right) = \left(\frac{23}{3}\right) i + 9 j m .\right]$

[$v = \left(- 3 \sin t , 3 \cos t , 4\right) , a = \left(- 3 \cos t , - 3 \sin t , 0\right)$, speed$= \frac{5 \mathrm{m}}{\mathrm{s}} , v \cdot a = 0 .$]

$\left[\Delta r = 2 i + \left(\frac{8}{3}\right) j + 4 k m ; v_{\mathrm{avg}} = i + \left(\frac{4}{3}\right) j + \frac{2 k \mathrm{m}}{\mathrm{s}} .\right]$

[speed stationary ที่ $t = 0.600 \mathrm{s}$ และเป็น minimum; $\mathrm{speed}_{\mathrm{min}} = \frac{6}{\sqrt{5}} \approx \frac{2.683 \mathrm{m}}{\mathrm{s}} .$]

[เมื่อ $\omega \ne 0 : v = \left(\frac{a_{0}}{\omega }\right) \sin \omega t i + \left(\frac{a_{0}}{\omega }\right) \left(1 - \cos \omega t\right) j$; velocity-space มีศูนย์กลาง $\left(0 , \frac{a_{0}}{\omega }\right)$ และรัศมี $\left|\frac{a_{0}}{\omega }\right|$ (เสื่อมเป็นจุดเมื่อ $a_{0} = 0$).]

[speed ที่ $x = 2 \mathrm{m}$ คือ $2 \sqrt{5} \approx \frac{4.47 \mathrm{m}}{\mathrm{s}} .$]

[$v^{2} \left(x\right) = v_{0}^{2} - k x^{2}$; turning point แรกทาง $+ x$ คือ $x = \frac{v_{0}}{\sqrt{k}} .$]

[$v \left(x\right) = \pm \sqrt{v_{1}^{2} + 2 A \ln \left(\frac{x}{x_{1}}\right)}$; speed $= \sqrt{v_{1}^{2} + 2 A \ln \left(\frac{x}{x_{1}}\right)}$ ในบริเวณที่วงเล็บไม่ลบ.]

[speed สูงสุดที่ $x = L ; v_{\mathrm{max}}^{2} = a_{0} L$; จุดหยุดถัดไป $x = 2 L .$]

[$a_{x} = \frac{v_{x} \mathrm{d}v_{x}}{\mathrm{d}x}$ ใช้กับความเร็วมีเครื่องหมายตามแกนตรง $x$ บนช่วงที่เขียน $v_{x} \left(x\right)$ ได้; ถ้าใช้ระยะตามเส้นโค้ง $s$ สูตร $\frac{v \mathrm{d}v}{\mathrm{d}s}$ ให้เฉพาะความเร่งสัมผัส ไม่ใช่เวกเตอร์ความเร่งทั้งหมด.]

$\left[v \left(t\right) = v_{0} e^{- k t} ; x - x_{0} = \left(\frac{v_{0}}{k}\right) \left(1 - e^{- k t}\right) .\right]$

$\left[v = \frac{v_{0}}{1 + c v_{0} t} ; t_{1 / 2} = \frac{1}{c v_{0}} .\right]$

[$v \left(t\right) = \left(\frac{g}{\beta }\right) \left(1 - e^{- \beta t}\right)$; terminal speed $= \frac{g}{\beta } .$]

[$v = V + \left(v_{i} - V\right) e^{- a_{0} t / V}$; ถ้า $v_{i} > V$ จะลดลงแบบ exponential เข้าหา $V .$]

[$t = \frac{\ln 10}{k}$ เมื่อ $k > 0$ และ $v_{0} \ne v_{c}$; ถ้า $v_{0} = v_{c}$ ส่วนต่างเป็นศูนย์ตลอด จึงไม่มีเวลาลดเหลือ 10% ที่เฉพาะเจาะจง.]

[$v = L \left[\left(\frac{2 t}{T^{2}}\right) i + \left(\frac{3 t^{2}}{T^{3}}\right) j\right] ; a = L \left[\left(\frac{2}{T^{2}}\right) i + \left(\frac{6 t}{T^{3}}\right) j\right] ; u$ ระบุ geometry, $T$ เป็น time scale และ $L$ เป็น length scale.]

[speed$= \left|\omega \right| \sqrt{a^{2} \sin ^{2} \omega t + b^{2} \cos ^{2} \omega t} ; \max = a \left|\omega \right|$ ที่ $\omega t = \frac{\pi }{2} , \frac{3 \pi }{2} ; \min = b \left|\omega \right|$ ที่ $\omega t = 0 , \pi .$]

[$\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t} = \sqrt{1 + 4 t^{2} + 9 t^{4}}$; ที่ $t = 1$ เท่ากับ $\sqrt{14}$ (หน่วยความเร็ว).]

$\left[v_{0} = 2 i + 3 j + \frac{k \mathrm{m}}{\mathrm{s}} ; v \left(2\right) = 4 i + j + \frac{k \mathrm{m}}{\mathrm{s}} .\right]$

[สำหรับ $t \ge 0 : y \left(x\right) = 3 \left(\sqrt{1 + 2 x} - 1\right) - x$ และ $x \left(t\right)$ monotonic increasing ตลอด.]

[$T$ และ $p$ เป็น scalar fields; $F$ เป็น vector field; speed $v \left(t\right)$ เป็น trajectory scalar; $r \left(t\right)$ เป็น trajectory vector.]

[ทิศตามลำดับคือ $+ y , - x , - y , + x$; pattern เป็นสนามวนทวนเข็มนาฬิกาและตั้งฉากกับ radial direction.]

$\left[F_{A} = k \left(i + 2 j\right) , F_{B} = - 2 k \left(i + 2 j\right) ; \left|F_{B}\right| = 2 \left|F_{A}\right| .\right]$

[$\left[\alpha \right] = N m^{-2}$ และ $\left[\beta \right] = N m^{-1} .$]

[$a \left(x\right) = - \left(\frac{v_{0}^{2}}{L}\right) \left(1 + \frac{x}{L}\right)^{-3}$; สำหรับ $L > 0$ และ $x > - L$ มี $a < 0 .$]

$\left[a \left(v\right) = \left(\frac{V}{\tau }\right) \left[1 - \left(\frac{v}{V}\right)^{2}\right] .\right]$

[ไม่มี $t > 0$ ที่ $a \perp r$; สำหรับ $t > 0$ acceleration มี radial projection ออกเป็นบวกตลอด.]

[$F \left(r \left(t\right)\right)$ คือค่าสนามแรงตามเส้นทาง ส่วน $\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t}$ คือความเร็วสัมผัสเส้นทาง; เช่น $r = \left(u t , \frac{g t^{2}}{2}\right) , F = m g j$ ให้แรงตั้งฉากกับ $v$ ที่ $t = 0$ เมื่อ $u \ne 0 .$]

[$v = \left(\frac{a_{0}}{\omega }\right) \left(1 - \cos \omega t\right) i + \beta \tau \left(1 - e^{- t / \tau }\right) j + \left(\frac{\gamma }{2}\right) t^{2} k$; near 0 มี $v \approx \beta t j + O \left(t^{2}\right) .$]

[$\frac{d \left(r^{2}\right)}{\mathrm{d}t} = - 2 \lambda R^{2} e^{- 2 \lambda t} < 0$ เมื่อ $\lambda > 0$; อนุภาค spiral เข้าหา origin ตลอด.]