การเคลื่อนที่แบบหมุนและทอร์ก

9.1 จากการเคลื่อนที่เชิงเส้นสู่การหมุน: ทำไม $x(t)$ ไม่พอ?

สำหรับวัตถุจุด การบอกตำแหน่ง $x(t)$ หรือ $\mathbf{r}(t)$ เพียงพอที่จะอธิบาย configuration ของระบบได้มากพอสมควร แต่สำหรับ rigid body ที่หมุนรอบแกนคงที่ จุดต่าง ๆ บนวัตถุมีตำแหน่งเชิงเส้นต่างกันตลอดเวลา แม้วัตถุทั้งชิ้นจะมี “สถานะการหมุน” ร่วมกันเพียงหนึ่งค่า

เราจึงเลือกเส้นอ้างอิงที่ติดกับวัตถุและกำหนด ตำแหน่งเชิงมุม

$$\theta = \theta(t).$$

ใน fixed-axis treatment เราประกาศทิศบวก เช่น ทวนเข็มนาฬิกาเป็นบวก แล้วให้ $\theta$ เป็น signed scalar.

Continuity warning จาก Chapter 8
ใน Chapter 8 สัญลักษณ์ $\omega$ หมายถึง oscillation angular frequency ซึ่งเป็น parameter บวกของ SHM. ใน Chapter 9 เราจะใช้ $\omega = d\theta/dt$ เป็น angular velocity ของการหมุน ซึ่งใน fixed-axis treatment อาจเป็นบวกหรือลบได้. สัญลักษณ์เหมือนกัน แต่ physical quantity ไม่ใช่สิ่งเดียวกัน

แหล่งอ้างอิงที่เปิดตรวจ: Young & Freedman, 15e SI, Ch.9 §9.1, pp.300–304; Serway & Jewett, 10e, Ch.10 §10.1, pp.250–251; Knight, 4e, Ch.12 §12.1, p.295 onward.

9.2 Radian ไม่ใช่เพียงหน่วยอีกแบบหนึ่ง

ให้จุด $P$ อยู่ห่างแกนหมุนเป็นระยะตั้งฉาก $r_{\bot}$ และเคลื่อนตาม arc length $s$. ถ้ามุมวัดเป็น radian

$$\Delta s = r_{\bot}\Delta\theta.$$

หรือเมื่อเลือก zero ของ arc และ angle สอดคล้องกัน

$$s = r_{\bot}\theta.$$

นี่คือเหตุผลเชิงคณิตศาสตร์ว่าทำไม rotational calculus ใช้ radian: ความสัมพันธ์เชิงเส้นนี้ไม่มี conversion factor แทรกอยู่

ถ้าใช้ degree แล้วเขียน $s = r\theta$ ตรง ๆ จะผิด เพราะต้องมี factor $\pi/180$.

Math box — radian คือ ratio
$\theta = s/r$ เป็นอัตราส่วนของความยาวสองปริมาณ จึงไม่มีมิติพื้นฐาน แม้ในการสื่อความหมายทางฟิสิกส์เรายังคงเขียน “rad” เพื่อบอกชนิดของ angle

แหล่งอ้างอิง: Young §9.1; Serway §10.1 ซึ่งเตือนโดยตรงให้ใช้ radian ใน rotational equations.

9.3 Angular velocity และ angular acceleration

Average angular velocity:

$$\omega_{avg} = \frac{\Delta\theta}{\Delta t}.$$

Instantaneous angular velocity:

$$\boxed{\omega = \frac{d\theta}{dt}}$$

และ angular acceleration

$$\boxed{\alpha = \frac{d\omega}{dt} = \frac{d^{2}\theta}{dt^{2}}}.$$

ดังนั้น interpretation จาก Part 1 ย้ายมาได้ตรงตัว:

• slope ของกราฟ $\theta$–$t$ คือ $\omega$,

• slope ของกราฟ $\omega$–$t$ คือ $\alpha$,

• signed area ใต้กราฟ $\omega$–$t$ คือ $\Delta\theta$,

• signed area ใต้กราฟ $\alpha$–$t$ คือ $\Delta\omega$.

$$\Delta\theta = \int_{t_{1}}^{t_{2}}\omega(t)\, dt,\quad\quad\Delta\omega = \int_{t_{1}}^{t_{2}}\alpha(t)\, dt.$$

9.4 Constant angular acceleration: สูตรต้องเกิดจาก calculus

ถ้า $\alpha$ คงที่

$$\frac{d\omega}{dt} = \alpha$$

integrate จาก $0$ ถึง $t$:

$$\boxed{\omega = \omega_{0} + \alpha t}.$$

แล้ว integrate $\omega = d\theta/dt$:

$$\boxed{\theta = \theta_{0} + \omega_{0}t + \frac{1}{2}\alpha t^{2}}.$$

อีกวิธีใช้ chain rule

$$\alpha = \frac{d\omega}{dt} = \frac{d\omega}{d\theta}\frac{d\theta}{dt} = \omega\frac{d\omega}{d\theta}.$$

ดังนั้น

$$\omega\, d\omega = \alpha\, d\theta$$

และเมื่อ $\alpha$ คงที่

$$\boxed{\omega^{2} = \omega_{0}^{2} + 2\alpha\left( \theta - \theta_{0} \right)}.$$

ความหมายทางคณิตศาสตร์
สมการ constant-$\alpha$ ไม่ใช่ชุดสูตรใหม่ที่ต้องจำแยกจาก kinematics เชิงเส้น แต่เป็นผลจาก differential definitions ชุดเดียวกัน เพียงเปลี่ยน coordinate จาก $x$ เป็น $\theta$.

9.5 วัตถุแข็งชิ้นเดียว: same $\omega$, different $v$

สำหรับ rigid body หมุนรอบแกนคงที่ จุดทุกจุดบนวัตถุมี $\theta,\omega,\alpha$ เดียวกัน แต่ linear motion ขึ้นกับระยะจากแกน

จาก $s = r_{\bot}\theta$ เมื่อ $r_{\bot}$ คงที่

$$\boxed{v_{t} = r_{\bot}\omega}$$

และ

$$\boxed{a_{t} = r_{\bot}\alpha}.$$

ส่วน radial acceleration magnitude คือ

$$\boxed{a_{r} = r_{\bot}\omega^{2} = \frac{v_{t}^{2}}{r_{\bot}}},$$

ชี้เข้าหาแกนหมุน

แหล่งอ้างอิงสมการ: Young §9.3, pp.307–309.

9.6 Angular velocity เป็น vector อย่างไร?

สำหรับ fixed-axis rotation ให้เวกเตอร์ $\mathbf{\omega}$ ชี้ตามแกนหมุนด้วย right-hand rule:

• งอนิ้วตามทิศการหมุน

• นิ้วหัวแม่มือชี้ทิศ $\mathbf{\omega}$.

Magnitude คือ angular speed $|\omega|$.

Knight แยกประเด็นนี้ไว้อย่างมีประโยชน์: fixed-axis rotation ใช้ signed scalar ได้เหมือน 1D kinematics แต่เมื่อพูดถึงทิศของแกนใน 3D ต้องใช้ vector.

Scope caveat
เราจะไม่ใช้ finite angular displacement ใน arbitrary 3D เป็น “ordinary vector” แบบไม่ระวัง. บทนี้เน้น fixed-axis rotation; fully general 3D rigid-body kinematics อยู่นอกขอบเขต

แหล่งอ้างอิง: Young §9.1 angular-velocity vector; Knight §12.10, pp.317–319.

9.7 Cross product: เริ่มจากความหมาย ไม่ใช่ determinant

ให้ $\mathbf{A}$ และ $\mathbf{B}$ ทำมุม $\phi$ เมื่อวาง tail-to-tail.

Magnitude ของ cross product คือ

$$\boxed{\left| \mathbf{A} \times \mathbf{B} \right| = AB\sin\phi}.$$

ทิศตั้งฉากกับระนาบของ $\mathbf{A},\mathbf{B}$ ตาม right-hand rule.

สิ่งสำคัญ:

$$\mathbf{A} \times \mathbf{B} = - \left( \mathbf{B} \times \mathbf{A} \right).$$

ดังนั้น order matters.

อีก interpretation หนึ่งคือ

$$AB\sin\phi = A\left( B_{\bot} \right) = B\left( A_{\bot} \right),$$

จึงมอง cross product เป็นการวัด “perpendicular effectiveness” ได้ ซึ่งเป็นเหตุผลว่าทำไมมันเหมาะกับ torque.

สำหรับ components:

$$\mathbf{A} \times \mathbf{B} = \left( A_{y}B_{z} - A_{z}B_{y} \right)\widehat{\mathbf{i}} + \left( A_{z}B_{x} - A_{x}B_{z} \right)\widehat{\mathbf{j}} + \left( A_{x}B_{y} - A_{y}B_{x} \right)\widehat{\mathbf{k}}.$$

แต่ determinant เป็นเพียง เครื่องมือคำนวณ ไม่ใช่นิยามทางฟิสิกส์

แหล่งอ้างอิง: Young §1.10 Vector Product; Serway §11.1; Knight §12.10.

9.8 Vector kinematics compact form

ถ้า $\mathbf{r}$ วัดจากจุดบน fixed axis ไปยังจุดหนึ่งบน rigid body

$$\boxed{\mathbf{v} = \mathbf{\omega} \times \mathbf{r}}.$$

ทำไมสมการนี้ถูก?

• magnitude: $\left| \mathbf{\omega} \times \mathbf{r} \right| = \omega r\sin\phi = \omega r_{\bot}$ ซึ่งตรงกับ $v_{t} = r_{\bot}\omega$,

• direction: cross product ให้ tangent direction โดยอัตโนมัติ.

สมการนี้เป็น derived synthesis จาก relations ที่เปิดตรวจแล้ว ไม่อ้างเป็น textbook equation number ใหม่

Advanced Vector Box — acceleration

Differentiate

$$\mathbf{v} = \mathbf{\omega} \times \mathbf{r}$$

ได้

$$\mathbf{a} = \mathbf{\alpha} \times \mathbf{r} + \mathbf{\omega} \times \mathbf{v}.$$

แทน $\mathbf{v} = \mathbf{\omega} \times \mathbf{r}$:

$$\boxed{\mathbf{a} = \mathbf{\alpha} \times \mathbf{r} + \mathbf{\omega} \times \left( \mathbf{\omega} \times \mathbf{r} \right)}.$$

พจน์แรกเป็น tangential contribution และพจน์ที่สองให้ radial/inward contribution

Teacher note
นี่เป็น advanced synthesis box ไม่ใช่สมการที่ต้องบังคับจำใน 80-minute core. จุดประสงค์คือให้เด็กที่พร้อมเห็นว่า scalar relations หลายบรรทัดรวมเป็น vector equation เดียวได้อย่างไร

9.9 Torque: “แรงเท่าไร” ยังไม่พอ

ลองผลักประตูด้วยแรงเท่ากัน:

• ใกล้บานพับ → เปิดยาก

• ไกลบานพับ → เปิดง่าย

• ผลักตามแนวที่ line of action ผ่านบานพับ → ไม่หมุนเลย

ดังนั้น rotational effectiveness ของแรงต้องขึ้นกับ

1. force $\mathbf{F}$,

2. ตำแหน่งที่แรงกระทำเทียบกับ reference point,

3. orientation ของ force.

กำหนด torque ของแรงเกี่ยวกับจุด $O$:

$$\boxed{\mathbf{\tau}_{O} = \mathbf{r}_{O} \times \mathbf{F}}.$$

$\mathbf{r}_{O}$ คือเวกเตอร์จาก $O$ ไปยังจุดที่แรงกระทำ

Magnitude:

$$\tau_{O} = r_{O}F\sin\phi.$$

แหล่งอ้างอิง: Young Ch.10 §10.1, pp.330–332; Serway §11.1.

9.10 สามภาพของ torque ที่ต้องเชื่อมให้เป็นเรื่องเดียว

จาก geometry

$$\ell = r_{O}\sin\phi$$

โดย $\ell$ คือ moment arm / lever arm: ระยะตั้งฉากจาก $O$ ไปยัง line of action.

ดังนั้น

$$\boxed{\tau = F\ell = rF\sin\phi = rF_{\bot}}.$$

ทั้งสามรูปคือ physics เดียวกัน:

• $rF\sin\phi$ เหมาะเมื่อรู้ angle,

• $rF_{\bot}$ เหมาะเมื่อแยก force components ง่าย,

• $F\ell$ เหมาะเมื่อเห็น line of action ชัด.

ถ้า line of action ผ่าน $O$:

$$\ell = 0\quad \Rightarrow \quad\tau_{O} = 0$$

แม้ $F \neq 0$.

Non-negotiable wording
อย่าพูดว่า “แรงนี้มี torque เท่าไร” โดยไม่ระบุ point/axis หากบริบทไม่ชัด. Torque ไม่ใช่ property ของ force เพียงอย่างเดียว

แหล่งอ้างอิง: Young §10.1; Serway §10.4; Knight §12.5; Tipler §9-4.

9.11 2D signed torque และ component form

ถ้าระบบอยู่ใน $xy$-plane,

$$\mathbf{r} = (x,y,0),\quad\quad\mathbf{F} = \left( F_{x},F_{y},0 \right).$$

ดังนั้น

$$\mathbf{r} \times \mathbf{F} = \left( 0,0,xF_{y} - yF_{x} \right)$$

จึงได้

$$\boxed{\tau_{z} = xF_{y} - yF_{x}}.$$

ถ้าเลือก $+ \widehat{\mathbf{k}}$ ออกจากหน้าเป็นบวก:

• counterclockwise tendency → $\tau_{z} > 0$,

• clockwise tendency → $\tau_{z} < 0$.

นี่ไม่ใช่กฎจำรูปภาพแยกต่างหาก แต่เป็น consequence ของ cross-product orientation.

9.12 Net torque และ torque about an axis

สำหรับหลายแรงเกี่ยวกับ reference point เดียวกัน $O$:

$$\boxed{\mathbf{\tau}_{net,O} = \sum_{i}^{}\mathbf{r}_{i} \times \mathbf{F}_{i}}.$$

ห้ามใช้ $\mathbf{r}_{i}$ ที่อ้างคนละ origin ใน sum เดียวกัน

ถ้าการหมุนถูก constrain ให้อยู่รอบ axis ที่มี unit vector $\widehat{\mathbf{n}}$ สิ่งที่มีผลต่อการหมุนรอบแกนนั้นคือ component ของ torque ตามแกน

$$\boxed{\tau_{n} = \widehat{\mathbf{n}} \cdot \mathbf{\tau}_{O} = \widehat{\mathbf{n}} \cdot \left( \mathbf{r}_{O} \times \mathbf{F} \right)}.$$

นี่คือ scalar triple product และเป็นการใช้ dot product จาก Chapter 6 ร่วมกับ cross product ของ Chapter 9.

Math interpretation
$\mathbf{r} \times \mathbf{F}$ สร้าง “rotational-effect vector” ก่อน แล้ว dot กับ $\widehat{\mathbf{n}}$ เพื่อถามว่า rotational effect ส่วนนั้นอยู่ตาม allowed axis มากเท่าไร

Young ระบุชัดว่าสำหรับแกนคงที่ที่กำหนดไว้ เฉพาะ torque component ตามแกนนั้นที่เกี่ยวข้อง

9.13 Torque ขึ้นกับจุดอ้างอิงอย่างไร?

ให้ $O'$ อยู่จาก $O$ ด้วยเวกเตอร์ $\mathbf{a}$.

สำหรับแรงที่ $i$,

$$\mathbf{r}_{i}' = \mathbf{r}_{i} - \mathbf{a}.$$

ดังนั้น

$$\mathbf{\tau}_{O'} = \sum_{i}^{}\left( \mathbf{r}_{i} - \mathbf{a} \right) \times \mathbf{F}_{i}$$

$$\sum_{i}^{}\left( \mathbf{r}_{i} - \mathbf{a} \right) \times \mathbf{F}_{i} = \sum_{i}^{}\mathbf{r}_{i} \times \mathbf{F}_{i} - \mathbf{a} \times \sum_{i}^{}\mathbf{F}_{i}.$$

จึงได้

$$\boxed{\mathbf{\tau}_{O'} = \mathbf{\tau}_{O} - \mathbf{a} \times \mathbf{F}_{net}}.$$

ผลนี้อธิบายทันทีว่า

• ถ้า $\mathbf{F}_{net} \neq 0$, torque โดยทั่วไปเปลี่ยนเมื่อเปลี่ยน origin,

• ถ้า $\mathbf{F}_{net} = 0$, net torque ไม่เปลี่ยนภายใต้ origin shift แบบ translation.

สมการนี้เป็น original vector derivation จาก torque definition ไม่อ้างเป็น textbook equation number

9.14 Force couple: zero net force แต่หมุนได้

Force couple คือแรงสองแรงขนาดเท่ากัน ทิศตรงข้าม และกระทำคนละ line of action.

$$\mathbf{F}_{net} = 0$$

แต่ torque รวมอาจไม่เป็นศูนย์

สำหรับแรงขนานกันที่ separated by perpendicular distance $d$:

$$\boxed{\left| \tau_{couple} \right| = Fd}.$$

จาก origin-shift formula เมื่อ $\mathbf{F}_{net} = 0$,

$$\mathbf{\tau}_{O'} = \mathbf{\tau}_{O}.$$

ดังนั้น torque ของ pure couple ไม่ขึ้นกับการเลื่อน reference origin.

Olympiad insight
“Net force = 0” ไม่ได้แปลว่า “ไม่มี rotational effect”. ในทางกลับกัน “net torque = 0” ก็ไม่ได้แปลว่า full mechanical equilibrium ถ้า net force ยังไม่เป็นศูนย์

9.15 สิ่งที่ Chapter 9 ยังไม่ตอบ — สะพานสู่ Chapter 10

ตอนนี้เรารู้วิธีคำนวณ torque แล้ว แต่ยังมีคำถามสำคัญ:

ถ้า rigid bodies สองชิ้นได้รับ torque เท่ากัน จะมี angular acceleration เท่ากันหรือไม่?

คำตอบคือ ไม่จำเป็น

วัตถุที่มีมวลกระจายไกลแกนกับใกล้แกนตอบสนองต่อ torque ไม่เหมือนกัน แม้มวลรวมเท่ากัน

ปริมาณที่จะวัด “rotational inertia” ของ mass distribution คือ moment of inertia $I$ ซึ่งเป็นแกนหลักของ Chapter 10.

ดังนั้น Chapter 9 จงใจหยุดก่อนสมการ $\sum\tau = I\alpha$.

9.16 Strategic method selection

• มี $\theta(t)$ → differentiate เพื่อหา $\omega,\alpha$.

• มี $\alpha(t)$ → integrate เพื่อหา change in $\omega$ แล้ว integrate ต่อถ้าต้องการ $\theta$.

• rigid body point at radius → ใช้ $s = r\theta$, $v_{t} = r\omega$, $a_{t} = r\alpha$, $a_{r} = r\omega^{2}$.

• torque geometry ชัด → ใช้ moment arm $F\ell$.

• มี vectors/components → ใช้ $\mathbf{r} \times \mathbf{F}$.

• ต้องการ torque about one specified axis → project ด้วย $\widehat{\mathbf{n}} \cdot \mathbf{\tau}$.

• เปลี่ยน reference point → ใช้ origin-shift reasoning; อย่าคิดว่า torque invariant โดยอัตโนมัติ.

• ระบบมี equal-and-opposite separated forces → ตรวจว่าเป็น couple หรือไม่.

9.17 Worked Examples

ตัวอย่าง 9.1 — จาก $\theta(t)$ ไปสู่ $\omega(t)$ และ $\alpha(t)$

ให้

$$\theta(t) = 0.20 + 1.80t - 0.30t^{2} + 0.020t^{3}$$

ใน SI-radian convention.

หา

$$\omega(t) = \frac{d\theta}{dt} = 1.80 - 0.60t + 0.060t^{2}$$

และ

$$\alpha(t) = \frac{d\omega}{dt} = - 0.60 + 0.120t.$$

Interpretation: ที่เวลาซึ่ง $\omega > 0$ แต่ $\alpha < 0$, วัตถุยังหมุนทิศบวกแต่กำลังลด angular speed.

Sanity check: หน่วยของ coefficient ต้องทำให้แต่ละ term ของ $\theta$ dimensionless/radian-consistent.

ตัวอย่าง 9.2 — Integral beats memorization

กำหนด

$$\alpha(t) = \alpha_{0} - \beta t$$

และ $\omega(0) = \omega_{0}$.

Integrate:

$$\omega(t) = \omega_{0} + \int_{0}^{t}\left( \alpha_{0} - \beta t' \right)dt' = \omega_{0} + \alpha_{0}t - \frac{1}{2}\beta t^{2}.$$

แล้ว

$$\theta(t) - \theta_{0} = \omega_{0}t + \frac{1}{2}\alpha_{0}t^{2} - \frac{1}{6}\beta t^{3}.$$

โจทย์นี้ constant-$\alpha$ formulas ใช้ไม่ได้ตรง ๆ เพราะ $\alpha$ เปลี่ยนตามเวลา.

ตัวอย่าง 9.3 — จุดสองจุดบน disk เดียวกัน

Disk มี angular speed $\omega$ และ angular acceleration $\alpha$. จุด $P$ อยู่ที่ $r$ และ $Q$ อยู่ที่ $2r$.

$$\frac{v_{Q}}{v_{P}} = 2,\quad\quad\frac{a_{t,Q}}{a_{t,P}} = 2,\quad\quad\frac{a_{r,Q}}{a_{r,P}} = 2.$$

ทั้งสาม ratio มาจาก radius scaling แม้ $\theta,\omega,\alpha$ ของสองจุดจะเท่ากันทุกขณะ.

ตัวอย่าง 9.4 — Torque ด้วย cross product

ให้

$$\mathbf{r} = \left( 0.30\,\widehat{\mathbf{i}} + 0.20\,\widehat{\mathbf{j}} \right)\, m$$

และ

$$\mathbf{F} = \left( 4.0\,\widehat{\mathbf{i}} + 7.0\,\widehat{\mathbf{j}} \right)\, N.$$

ดังนั้น

$$\mathbf{\tau}_{O} = \mathbf{r} \times \mathbf{F} = \left( 0,0,0.30(7.0) - 0.20(4.0) \right)$$

$$\mathbf{\tau}_{O} = \boxed{1.30\,\widehat{\mathbf{k}}\ N\, m}.$$

ทิศ $+ \widehat{\mathbf{k}}$ หมายถึง counterclockwise tendency ตาม convention.

ตัวอย่าง 9.5 — Lever arm ทำให้ geometry สั้นกว่า components

ประแจยาว $r$ ถูกออกแรง $F$ ทำมุม $\phi$ กับแนวด้าม.

แทนที่จะแตก components ทั้งหมด ใช้

$$\ell = r\sin\phi$$

จึง

$$\tau = F\ell = rF\sin\phi.$$

ถ้าเป้าหมายคือ maximize torque เมื่อ $F,r$ fix:

$$\sin\phi \leq 1$$

ดังนั้น maximum ที่ $\phi = 90^{\circ}$.

ตัวอย่าง 9.6 — Couple และ reference point

แรง $+ \mathbf{F}$ และ $- \mathbf{F}$ มี line of action ห่างกัน $d$.

Net force:

$$\mathbf{F}_{net} = 0.$$

เลือก origin ใดก็ได้; จาก origin-shift relation torque ไม่เปลี่ยน.

Magnitude:

$$\left| \tau_{couple} \right| = Fd.$$

นี่คือระบบที่มี pure rotational tendency โดยไม่มี net translational force.

9.18 Main Exercise — 30 ข้อ

โจทย์ 9.1–9.30 เป็น original authoring ของโครงการ และตั้งใจให้ไม่มีข้อใดเป็น direct substitution ล้วน

Concept / Sign / Reference-Point Control

โจทย์ 9.1 — $\omega$ สองความหมาย
นักเรียนกล่าวว่า “ใน Chapter 8 $\omega$ เป็นบวกเสมอ ดังนั้น angular velocity ใน Chapter 9 ต้องเป็นบวกเสมอด้วย” จงวิจารณ์ โดยยกตัวอย่าง motion ที่ $\omega < 0$ ใน fixed-axis convention และอธิบายว่าเหตุใด SHM angular frequency กับ rotational angular velocity จึงไม่ใช่ปริมาณเดียวกัน

โจทย์ 9.2 — Why radians?
เริ่มจาก arc geometry แสดงว่าถ้า $\theta$ วัดเป็น degree, relation ระหว่าง $s$ กับ $\theta$ ต้องมี conversion factor. จากนั้นอธิบายว่าทำไม derivative $v = r\, d\theta/dt$ มีรูปเรียบง่ายที่สุดเมื่อ $\theta$ เป็น radian.

โจทย์ 9.3 — Nonzero force, zero torque
ให้ force $\mathbf{F} \neq 0$ กระทำที่จุดหนึ่งบน rigid body. สร้างอย่างน้อยสอง geometric conditions ที่ทำให้ torque เกี่ยวกับจุด $O$ เป็นศูนย์ และอธิบายด้วยทั้ง cross-product และ line-of-action language.

โจทย์ 9.4 — $\sum\tau = 0$ ไม่ใช่ full equilibrium
ยกตัวอย่างระบบแรงในระนาบที่ net torque about $O$ เป็นศูนย์ แต่ net force ไม่เป็นศูนย์. อธิบายว่าเหตุใดห้ามสรุปว่าวัตถุอยู่ใน mechanical equilibrium.

Angular Kinematics + Calculus

โจทย์ 9.5 — Polynomial angular motion
ให้ $\theta(t) = \theta_{0} + at^{2} - bt^{3}$ โดย $a,b > 0$. หา $\omega(t),\alpha(t)$ และหาเวลาบวกที่ angular velocity มี extremum. แปลความหมาย sign ของ $\alpha$ ก่อนและหลังเวลานั้น.

โจทย์ 9.6 — Variable angular acceleration
ให้ $\alpha(t) = \alpha_{0}e^{- t/\tau}$ และ $\omega(0) = 0$. หา $\omega(t)$ และ $\Delta\theta(t)$. ตรวจ limit เมื่อ $t \rightarrow \infty$ และอธิบายว่าทำไม angular velocity เข้าใกล้ค่าคงที่แต่ angular displacement ยังโตต่อ.

โจทย์ 9.7 — Piecewise drive and brake
disk เริ่มจาก rest. ช่วง $0 < t < T$ มี $\alpha = + \alpha_{0}$ และช่วง $T < t < 3T$ มี $\alpha = - \alpha_{0}/2$. สร้างกราฟ $\alpha(t),\omega(t)$ และหา total angular displacement ถึง $3T$ จาก area reasoning โดยไม่เริ่มจากสูตรสำเร็จ.

โจทย์ 9.8 — Same rigid body, different radii
จุด $P,Q$ อยู่ที่ $r$ และ $3r$. ที่ขณะหนึ่ง $|\alpha| = \omega^{2}$. เปรียบเทียบ $v_{t},a_{t},a_{r}$ และ total acceleration magnitudes ของสองจุด. ระบุสิ่งใดเท่ากันจริงและสิ่งใดไม่เท่ากัน.

โจทย์ 9.9 — Turning direction
ให้ $\omega(t) = \omega_{0} - \beta t^{2}$, $\omega_{0},\beta > 0$. หาเวลาที่วัตถุหยุดชั่วขณะและกลับทิศ. หา angular displacement ตั้งแต่ $0$ ถึงขณะกลับทิศ และอธิบายเหตุใด angular distance หลังจากนั้นไม่เท่ากับ signed displacement.

โจทย์ 9.10 — Inverse graph problem
กราฟ $\omega - t$ เป็นเส้นตรงจาก $\left( 0,\omega_{0} \right)$ ถึง $\left( T, - \omega_{0} \right)$. หา $\alpha$, net angular displacement, total angle traveled และเวลาที่เปลี่ยนทิศ.

โจทย์ 9.11 — Point acceleration vector
rigid disk มี $\omega(t) = \beta t$ เกี่ยวกับ $+ \widehat{\mathbf{k}}$. จุดหนึ่งมี $\mathbf{r} = R\widehat{\mathbf{i}}$ ณ ขณะ $t$. ใช้ทั้ง component reasoning และ advanced vector formula หา $\mathbf{v},\mathbf{a}$. แสดงว่า radial term โตเป็น $t^{2}$ แต่ tangential term คงที่.

โจทย์ 9.12 — Infer $\mathbf{\omega}$
วัตถุหมุนรอบแกนคงที่ผ่าน origin. ณ จุด $\mathbf{r} = (a,0,0)$ วัดได้ $\mathbf{v} = (0,ba,0)$ และทราบว่าแกนตั้งฉากกับ $xy$-plane. หา $\mathbf{\omega}$. จากนั้นทำนาย velocity ที่ $(0,2a,0)$ และตรวจ orthogonality $\mathbf{v} \cdot \mathbf{r} = 0$.

Cross Product + Torque Geometry

โจทย์ 9.13 — Full 3D torque vector
ให้ $\mathbf{r} = (a,2a, - a)$ และ $\mathbf{F} = F(2, - 1,3)$. หา $\mathbf{\tau}_{O}$, magnitude และ component ตาม axis $\widehat{\mathbf{n}} = \left( \widehat{\mathbf{i}} + \widehat{\mathbf{k}} \right)/\sqrt{2}$.

โจทย์ 9.14 — Three equivalent torque methods
force magnitude $F$ กระทำที่ปลาย rod length $L$ ทำมุม $\phi$ กับ rod. จงคำนวณ torque magnitude สามวิธี: $rF\sin\phi$, $rF_{\bot}$, $F\ell$, และแสดง algebraically ว่าตรงกัน.

โจทย์ 9.15 — Unknown line of action
แรงขนาด $F$ ให้ torque magnitude $\tau$ about $O$. จุด application อยู่ห่าง $O$ ระยะ $r$. หา possible angle(s) ระหว่าง $\mathbf{r}$ กับ $\mathbf{F}$ และระบุเงื่อนไขที่ข้อมูลไม่มี solution จริง.

โจทย์ 9.16 — Multiple planar forces
ที่จุด $(a,0)$ มี force $(0,F)$; ที่ $(0,a)$ มี force $(2F,0)$; ที่ $( - a,0)$ มี force $(0, - F/2)$. หา net torque about origin, net force และอธิบายว่าจะคาดหวัง pure translation, pure rotation หรือทั้งสองอย่างในเชิง tendency โดยยังไม่ใช้ $I\alpha$.

โจทย์ 9.17 — Torque about an oblique axis
ให้ $\mathbf{r} = a\left( \widehat{\mathbf{i}} + \widehat{\mathbf{j}} \right)$ และ $\mathbf{F} = F\left( \widehat{\mathbf{j}} + \widehat{\mathbf{k}} \right)$. หา torque vector แล้วหา torque component about axis $\widehat{\mathbf{n}} = \left( \widehat{\mathbf{i}} + \widehat{\mathbf{j}} + \widehat{\mathbf{k}} \right)/\sqrt{3}$.

โจทย์ 9.18 — Choose a reference point strategically
แรงสามแรงกระทำบน triangular frame. จงเสนอ reference point ที่ทำให้แรงอย่างน้อยหนึ่งแรงมี torque เป็นศูนย์โดยทันที และอธิบาย general principle จาก line of action. จากนั้นเปรียบเทียบความยากของการเลือก origin สองแบบ.

โจทย์ 9.19 — Origin dependence proof
เริ่มจาก $\mathbf{\tau}_{O} = \sum_{i}^{}\mathbf{r}_{i} \times \mathbf{F}_{i}$ และพิสูจน์ $\mathbf{\tau}_{O'} = \mathbf{\tau}_{O} - \mathbf{a} \times \mathbf{F}_{net}$. จากนั้นระบุเงื่อนไขที่ torque invariant ต่อ translation ของ origin.

โจทย์ 9.20 — Couple from two forces
แรง $+ F\widehat{\mathbf{j}}$ ที่ $( + a,0)$ และ $- F\widehat{\mathbf{j}}$ ที่ $( - a,0)$. หา net force และ torque about (i) origin, (ii) point $(b,c)$. แสดงผลลัพธ์ torque เหมือนกันและตีความด้วย couple.

โจทย์ 9.21 — Maximum useful torque under directional constraint
force magnitude $F$ ที่ปลาย lever length $L$ ถูกบังคับให้ทิศ force ทำมุมไม่เกิน $\phi_{\max} < 90^{\circ}$ กับ lever. หา maximum torque และอธิบายว่าทำไม “ออกแรงมากที่สุด” ไม่พอถ้าทิศไม่เหมาะ.

Olympiad-Style Synthesis

โจทย์ 9.22 — Torque measurements about two origins
แรงเดียว $\mathbf{F}$ กระทำในระนาบ แต่ไม่ทราบ line of action. วัด torque about $O$ และ about $O'$ ที่ห่างกัน $\mathbf{a}$. ใช้ origin-shift relation หา constraint ต่อ $\mathbf{F}$. อธิบายกรณีที่ข้อมูลสอง torque ไม่พอหา force uniquely.

โจทย์ 9.23 — Zero net force, prescribed torque
ออกแบบแรงสองแรงในระนาบให้ net force เป็นศูนย์แต่ net torque เท่ากับ prescribed value $\tau_{0}$. หา family ของ solutions และอธิบายว่าเหตุใด force magnitude กับ separation trade off กันได้.

โจทย์ 9.24 — Full torque vs allowed-axis torque
rigid body ถูก constrain ให้หมุนได้เฉพาะแกน $\widehat{\mathbf{k}}$. ให้ $\mathbf{r} = (a,a,0)$ และ $\mathbf{F} = (F,0,F)$. หา full $\mathbf{\tau}$ และ $\tau_{z}$. อธิบายว่าทำไม component อื่นของ torque vector ไม่ได้กลายเป็น fixed-axis angular acceleration ใน model นี้.

โจทย์ 9.25 — Nonconstant rotation, two points
rod หมุนรอบปลายหนึ่งด้วย $\omega(t) = \omega_{0}e^{- \lambda t}$. จุด $P,Q$ อยู่ที่ $L/3$ และ $L$. หาเวลาเมื่อ $a_{t} = a_{r}$ สำหรับแต่ละจุด และพิสูจน์ว่าเวลานั้นเหมือนกันแม้ magnitudes ของ acceleration ต่างกัน.

โจทย์ 9.26 — Optimal origin
มี forces หลายแรง $\{\mathbf{F}_{i}\}$ ที่รู้ line of action. เสนอ algorithm เลือก origin ให้ torque calculation สั้นที่สุด. ทดลองกับระบบสามแรงซึ่ง line of action ของสองแรงตัดกันที่จุดเดียว และพิสูจน์ว่าการเลือก intersection นั้นทำให้สอง torque หายไป.

โจทย์ 9.27 — When does origin not matter?
พิสูจน์ทั้งสองทิศว่า ถ้า net torque ของ force system ไม่เปลี่ยนเมื่อเลื่อน originด้วย arbitrary vector $\mathbf{a}$, แล้วจำเป็นต้องมี $\mathbf{F}_{net} = 0$. ระบุ assumption ทาง vector space ที่ใช้.

โจทย์ 9.28 — Piecewise angular history + torque geometry
wheel มี prescribed $\omega(t)$ แบบ triangular pulse. ที่บางขณะมีแรง $F$ กระทำที่ rim ด้วย angle $\phi(t)$ ที่เปลี่ยนตามเวลา. โดยยังห้ามใช้ $I\alpha$, ให้หา angular displacement จาก kinematics และ torque history $\tau(t) = RF\sin\phi(t)$ แยกกัน แล้วอธิบายว่าทำไมเราไม่สามารถเชื่อมสองกราฟเข้าหากันเชิง dynamics ได้จนกว่าจะเรียน Chapter 10.

โจทย์ 9.29 — Recover axis direction from two velocity measurements
fixed-axis rigid body มี $\mathbf{v}_{1} = \mathbf{\omega} \times \mathbf{r}_{1}$ และ $\mathbf{v}_{2} = \mathbf{\omega} \times \mathbf{r}_{2}$. กำหนด $\mathbf{r}_{1} = a\widehat{\mathbf{i}}$, $\mathbf{v}_{1} = v\widehat{\mathbf{j}}$ และ $\mathbf{r}_{2} = a\widehat{\mathbf{j}}$ พร้อม $\mathbf{v}_{2} = - v\widehat{\mathbf{i}}$. หา $\mathbf{\omega}$ และตรวจ consistency ของข้อมูล.

โจทย์ 9.30 — Synthesis: force system equivalence without dynamics
force system ในระนาบมี net force $\mathbf{F}_{net} \neq 0$ และ net torque $\tau_{O}$. แสดงว่าถ้ามีจุด $P$ ที่สามารถแทน force system ทั้งหมดด้วยแรงเดียว $\mathbf{F}_{net}$ แล้วต้องมี $\mathbf{r}_{P} \times \mathbf{F}_{net} = \mathbf{\tau}_{O}$. อภิปรายเงื่อนไขการมีอยู่/ไม่เอกลักษณ์ของ line of action และเปรียบเทียบกับกรณี pure couple ซึ่งไม่สามารถแทนด้วยแรงเดียวที่ไม่เป็นศูนย์ได้.

9.19 Cheat Sheet — สูตรพร้อมเงื่อนไข

$$\omega = \frac{d\theta}{dt},\quad\quad\alpha = \frac{d\omega}{dt}.$$

ใช้กับ fixed-axis signed angular coordinate.

$$\Delta\theta = \int\omega\, dt,\quad\quad\Delta\omega = \int\alpha\, dt.$$

ใช้ได้แม้ $\alpha$ ไม่คงที่.

$$v_{t} = r_{\bot}\omega,\quad\quad a_{t} = r_{\bot}\alpha,\quad\quad a_{r} = r_{\bot}\omega^{2}.$$

ใช้กับ point บน rigid body ที่หมุนรอบ fixed axis.

$$\mathbf{\tau}_{O} = \mathbf{r}_{O} \times \mathbf{F}.$$

ต้องระบุ reference point $O$.

$$\tau = rF\sin\phi = F\ell.$$

$\ell$ คือ perpendicular distance จาก $O$ ไปยัง line of action.

$$\tau_{n} = \widehat{\mathbf{n}} \cdot \mathbf{\tau}_{O}.$$

ใช้เมื่อถาม rotational effect เกี่ยวกับ specified axis.

$$\mathbf{\tau}_{O'} = \mathbf{\tau}_{O} - \mathbf{a} \times \mathbf{F}_{net}.$$

ใช้เปรียบเทียบ torque เมื่อเปลี่ยน origin.

9.20 Reference Notes

แหล่งต่อไปนี้ถูกเปิดตรวจจริงสำหรับ Chapter 9:

1. Young, H. D., & Freedman, R. A., University Physics with Modern Physics, 15th ed., SI units: Ch.9 §§9.1–9.3; Ch.10 §10.1; Ch.1 §1.10 Vector Product.

2. Serway, R. A., & Jewett, J. W., Physics for Scientists and Engineers with Modern Physics, 10th ed.: Ch.10 §§10.1–10.4; Ch.11 §11.1 relevant portions.

3. Knight, R. D., Physics for Scientists and Engineers: A Strategic Approach with Modern Physics, 4th ed.: Ch.12 §§12.1, 12.5, 12.10 relevant portions.

4. Tipler, P. A., & Mosca, G., Physics for Scientists and Engineers with Modern Physics, 6th ed.: Ch.9 rotational-kinematics and torque portions.

โจทย์ 9.1–9.30, worked-example statements, figures และคำอธิบายที่จัดทำในบทนี้เป็น original authoring ของโครงการ เว้นแต่ระบุเป็นอย่างอื่นอย่างชัดเจน.

Scope boundary confirmed by source inspection: Standard textbooks often continue immediately to moment of inertia, $\sum\tau = I\alpha$, rotational energy, angular momentum, rolling or statics. Project นี้จงใจแยกเนื้อหาเหล่านั้นไป Chapters 10–11 เพื่อรักษา chronology และ workload ของค่าย.