พลังงานศักย์และวิธีพลังงาน

หลักคิดการเรียนบทนี้: potential energy ไม่ใช่ “สูตรพลังงานอีกชุดหนึ่ง” แต่เป็นวิธีบีบข้อมูลของงานจากแรง conservative ให้เหลือข้อมูลของ configuration แล้วใช้ภูมิประเทศ U เพื่ออ่าน motion ได้.

7.1 จากงานไปสู่พลังงานศักย์: เรากำลังพยายามย่ออะไร?

คำถามกลางของบทคือ: เมื่อไร line integral ของแรง “ลืมเส้นทาง” และเมื่อมันลืมเส้นทางแล้ว เราใช้สิ่งนั้นแก้โจทย์ mechanics ให้สั้นและลึกขึ้นได้อย่างไร?

$$W_{A \rightarrow B} = \int_{C}^{}\mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}$$

สมการนี้เป็น prior result จาก Chapter 6. Chapter 7 จะไม่สอน line integral ใหม่ แต่จะศึกษาว่า field แบบใดทำให้ค่าของ integral ขึ้นกับ endpoints เท่านั้น.

7.2 Conservative force: เมื่อ work ขึ้นกับปลายทาง ไม่ขึ้นกับ path

$$\int_{C_{1},A \rightarrow B}^{}\mathbf{F}_{c} \cdot d\mathbf{r} = \int_{C_{2},A \rightarrow B}^{}\mathbf{F}_{c} \cdot d\mathbf{r}$$

$$\oint_{C}^{}\mathbf{F}_{c} \cdot d\mathbf{r} = 0$$

แหล่งอ้างอิงสมการ/แนวคิด (ตรวจจากต้นฉบับ): Young & Freedman, 15th ed. SI, Ch.7 §7.3, pp.243–247 (properties of conservative work, including path independence and closed-loop work); Tipler & Mosca, 6th ed., Ch.7 §7-1, p.202 onward (independent cross-check).

7.3 นิยาม potential-energy difference และศูนย์อ้างอิง

เมื่อ work ของแรง conservative เป็น endpoint quantity เราจึงนิยาม potential-energy difference ให้เก็บข้อมูลเดียวกัน แต่มีเครื่องหมายตรงข้าม:

$$U_{B} - U_{A} = - \int_{A}^{B}\mathbf{F}_{c} \cdot d\mathbf{r} = - W_{c}(A \rightarrow B)$$

แหล่งอ้างอิงสมการ/แนวคิด (ตรวจจากต้นฉบับ): Young & Freedman, 15th ed. SI, Ch.7 §§7.1–7.3; Tipler & Mosca, 6th ed., Ch.7 §7-1; Serway & Jewett, 10th ed., Ch.7 §§7.6–7.8.

$$U\left( \mathbf{r} \right) - U\left( \mathbf{r}_{0} \right) = - \int_{\mathbf{r}_{0}}^{\mathbf{r}}\mathbf{F}_{c} \cdot d\mathbf{r}\,$$

$$U^{*}\left( \mathbf{r} \right) = U\left( \mathbf{r} \right) + C$$

แหล่งอ้างอิงสมการ/แนวคิด (ตรวจจากต้นฉบับ): Serway & Jewett, 10th ed., Ch.7 §7.8, Eq. (7.28), pp.171–172 (potential from a reference configuration and arbitrary reference constant); Young & Freedman, 15th ed. SI, Ch.7 §7.5, p.251 (additive constant does not change the physics).

7.4 จาก global difference ไป local force: dU, slope และ gradient

เมื่อพิจารณาการกระจัดเล็กมาก ความสัมพันธ์ finite difference กลายเป็น differential relation

$$dU = - \mathbf{F}_{c} \cdot d\mathbf{r}$$

ในหนึ่งมิติ ถ้าเคลื่อนตามแกน x:

$$F_{x}(x) = - \frac{dU}{dx}$$

แหล่งอ้างอิงสมการ/แนวคิด (ตรวจจากต้นฉบับ): Serway & Jewett, 10th ed., Ch.7 §7.8, Eq. (7.29), pp.171–173; Young & Freedman, 15th ed. SI, Ch.7 §7.4, Eq. (7.16), p.248.

ในหลายมิติ differential ของ scalar field คือ $dU = \nabla U \cdot d\mathbf{r}$. เปรียบเทียบกับ $dU = - \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}$ สำหรับ displacement arbitrary จึงได้

$$\boxed{\mathbf{F}_{c} = - \nabla U}$$

$$\nabla U = \frac{\partial U}{\partial x}\widehat{\mathbf{i}} + \frac{\partial U}{\partial y}\widehat{\mathbf{j}} + \frac{\partial U}{\partial z}\widehat{\mathbf{k}}$$

แหล่งอ้างอิงสมการ/แนวคิด (ตรวจจากต้นฉบับ): Young & Freedman, 15th ed. SI, Ch.7 §7.4 through p.250; Serway & Jewett, 10th ed., Ch.7 §7.8, vector-calculus extension immediately before §7.9, p.173.

7.5 Curl criterion: local test ที่ต้องอ่านพร้อม domain

$$\mathbf{F}_{c} = - \nabla U\quad \Rightarrow \quad\nabla \times \mathbf{F}_{c} = \mathbf{0}$$

สำหรับ converse เราใช้เวอร์ชันที่ปลอดภัย: ถ้า field smooth พอ, curl เป็นศูนย์ และ domain simply connected (ไม่มี “รู” ที่ทำให้ loop หดเป็นจุดไม่ได้) จึงสรุปว่ามี global potential ได้ในบริเวณนั้น.

แหล่งอ้างอิงสมการ/แนวคิด (ตรวจจากต้นฉบับ): MIT OpenCourseWare 18.02/18.02SC, Vector Fields and Line Integrals / Some Topological Questions: equivalence of gradient field, path independence and zero closed-loop integral; curl-free converse on simply connected domains.

7.6 Mechanical energy: conservation ไม่ใช่สมมติฐาน แต่เป็นผลจาก work–energy

เริ่มจาก prior theorem ของ Chapter 6

$$\Delta K = W_{net}$$

แยก work เป็น conservative และส่วนอื่นที่ไม่ได้เก็บใน U ของ mechanical model:

$$W_{net} = W_{c} + W_{nc},\quad\quad W_{c} = - \Delta U$$

$$\boxed{\Delta K + \Delta U = W_{nc}}$$

$$\boxed{\Delta E_{mech} = W_{nc}},\quad\quad E_{mech} = K + U$$

แหล่งอ้างอิงสมการ/แนวคิด (ตรวจจากต้นฉบับ): Young & Freedman, 15th ed. SI, Ch.7 Eqs. (7.6), (7.13)–(7.14) and surrounding discussion; Serway & Jewett, 10th ed., Ch.8 §8.4 for nonconservative/internal-energy bookkeeping.

$$W_{nc} = 0\quad \Rightarrow \quad K_{A} + U_{A} = K_{B} + U_{B} = E_{mech}$$

แหล่งอ้างอิงสมการ/แนวคิด (ตรวจจากต้นฉบับ): Young & Freedman, 15th ed. SI, Ch.7; Tipler & Mosca, 6th ed., Ch.7 §7-2; Knight, 4th ed., Ch.10 §§10.1–10.4.

7.7 Potential-energy curve: กราฟเดียวบอก allowed motion ได้อย่างไร

$$K(x) = E - U(x)$$

$$K \geq 0\quad \Rightarrow \quad U(x) \leq E$$

$$v(x) = \sqrt{\frac{2\,\left\lbrack E - U(x) \right\rbrack}{m}}$$

แหล่งอ้างอิงสมการ/แนวคิด (ตรวจจากต้นฉบับ): Young & Freedman, 15th ed. SI, Ch.7 §7.5, pp.250–252; Knight, 4th ed., Ch.10 §10.5, pp.244–246.

$$U\left( x_{t} \right) = E\quad\quad(K = 0)$$

จุดตัด E=U ที่ motion มาถึงแล้วกลับทิศเรียกว่า turning point ในกรณีทั่วไปของ well. อย่างไรก็ตาม v=0 เพียงอย่างเดียวไม่พอใน degenerate cases; ต้องอ่าน local shape และ dynamics ด้วย.

7.8 Equilibrium และ stability จาก geometry ของ U

$$F_{x}\left( x_{eq} \right) = 0\quad \Leftrightarrow \quad\left. \ \frac{dU}{dx} \right|_{x_{eq}} = 0$$

$$U^{''}\left( x_{eq} \right) > 0 \Rightarrow \text{stable},\quad\quad U^{''}\left( x_{eq} \right) < 0 \Rightarrow \text{unstable}$$

ถ้า U″=0 second-derivative test ยังสรุปไม่ได้: ต้องดู higher-order behavior หรือดูทิศแรงโดยตรง. นี่เป็นจุดสำคัญสำหรับโจทย์ Olympiad เพราะ stationary point แบบแบนอาจยัง stable ได้.

แหล่งอ้างอิงสมการ/แนวคิด (ตรวจจากต้นฉบับ): Young & Freedman, 15th ed. SI, Ch.7 §7.5, p.251 onward; Serway & Jewett, 10th ed., Ch.7 §7.9, p.173 onward; Knight, 4th ed., Ch.10 §§10.5–10.7.

7.9 สอง potential มาตรฐาน: uniform gravity และ ideal spring

เลือก +y ขึ้น และ g>0. สำหรับ uniform near-Earth field:

$$\mathbf{F}_{g} = - mg\widehat{\mathbf{j}}$$

$$U_{g}(y) - U_{g}\left( y_{0} \right) = mg\left( y - y_{0} \right)$$

$$U_{g} = mgy\quad\text{when }U_{g}(0) = 0$$

แหล่งอ้างอิงสมการ/แนวคิด (ตรวจจากต้นฉบับ): Young & Freedman, 15th ed. SI, Ch.7 §7.1, p.229 onward; Knight, 4th ed., Ch.10 §10.2, p.233 onward; Serway & Jewett, 10th ed., Eq. (7.19).

สำหรับ ideal spring และ x วัดจาก force-zero position:

$$F_{s} = - kx$$

$$U_{s}(x) - U_{s}(0) = - \int_{0}^{x}\left( - kx' \right)dx' = \frac{1}{2}kx^{2}$$

แหล่งอ้างอิงสมการ/แนวคิด (ตรวจจากต้นฉบับ): Young & Freedman, 15th ed. SI, Ch.7 §7.2, p.238 onward; Knight, 4th ed., Ch.10 §10.3, Eq. (10.18); Serway & Jewett, 10th ed., Eq. (7.22).

7.10 เลือกวิธีอย่างมีกลยุทธ์

7.11 Worked Examples — progressive difficulty

ตัวอย่าง 7.1 — ตรวจ path independence แล้วสร้าง U

ให้ $F = (2x + y)i + (x + 2y)j$. ตรวจ curl, หา U โดยเลือก $U(0,0) = 0$ และหา work จาก (0,0) ไป (1,2).

curl test:

$$\frac{\partial F_{y}}{\partial x} - \frac{\partial F_{x}}{\partial y} = 1 - 1 = 0$$

potential:

$$U(x,y) = - \left( x^{2} + xy + y^{2} \right)$$

work:

$$W_{A \rightarrow B} = U_{A} - U_{B} = 0 - \left\lbrack - (1 + 2 + 4) \right\rbrack = 7\ J$$

ตัวอย่าง 7.2 — จาก nonlinear force ไป U และ speed

ให้ $F_{x} = - kx^{3}$ และ $U(0) = 0$. ปล่อย m จาก $x = A$ ด้วย $v = 0$; หา speed ที่ $x = 0$.

integrate:

$$U(x) = \frac{kx^{4}}{4}$$

energy:

$$\frac{1}{2}mv^{2} = \frac{kA^{4}}{4}$$

result:

$$v = A^{2}\sqrt{\frac{k}{2m}}$$

ตัวอย่าง 7.3 — U ให้แรงและ stability

ให้ $U(x) = U_{0}\left( x^{4}/a^{4} + x^{2}/a^{2} \right)$. หา F และจำแนก $x = 0$.

force:

$$F_{x} = - \frac{dU}{dx} = - U_{0}\left( \frac{4x^{3}}{a^{4}} + \frac{2x}{a^{2}} \right)$$

curvature:

$$U^{''}(0) = \frac{2U_{0}}{a^{2}} > 0$$

conclusion:

$$x = 0\ \text{is stable}$$

ตัวอย่าง 7.4 — อ่าน barrier และ turning points

ให้ $U = U0\left( x^{2}/a^{2} \right)$ และ $E = U0$. หา allowed region และ turning points.

allowed:

$$U_{0}\frac{x^{2}}{a^{2}} \leq U_{0} \Rightarrow |x| \leq a$$

turning:

$$x_{t} = \pm a$$

ตัวอย่าง 7.5 — friction เปลี่ยน mechanical energy

บล็อกเริ่มด้วย speed $v0$ บนพื้นราบ มี friction คงที่ f ตลอดระยะ L ก่อนเข้าหาสปริง. หา speed ก่อนชนสปริง.

balance:

$$\frac{1}{2}mv^{2} - \frac{1}{2}mv_{0}^{2} = - fL$$

result:

$$v = \sqrt{v_{0}^{2} - \frac{2fL}{m}}$$

condition:

$$v_{0}^{2} \geq \frac{2fL}{m}$$

ตัวอย่าง 7.6 — 2D gradient และ contour

ให้ $U = \alpha x^{2} + \beta y^{2}$. หา F และอธิบาย contour.

gradient:

$$\mathbf{F} = - 2\alpha x\widehat{\mathbf{i}} - 2\beta y\widehat{\mathbf{j}}$$

geometry:

$$\mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = 0\quad\text{for tangent }d\mathbf{r}\text{ on }U = const.$$

ตัวอย่าง 7.7 — curl zero แต่ domain มีรู

ให้ $F = \lambda\lbrack - y/r^{2}$ $i + x/r^{2}$ j] บน $r > 0$. ตรวจ loop circle.

local curl:

$$\nabla \times \mathbf{F} = \mathbf{0}\quad(r > 0)$$

loop:

$$\oint\mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = 2\pi\lambda \neq 0$$

conclusion:

$$\text{no global single-valued }U\text{ on the punctured plane}$$

ตัวอย่าง 7.8 — spring + gravity เป็น potential เดียว

มวล m แขวนกับสปริงแนวดิ่ง; x ลงจากความยาวธรรมชาติ. หา equilibrium จาก U.

potential:

$$U(x) = \frac{1}{2}kx^{2} - mgx$$

complete square:

$$U = \frac{k}{2}\left( x - \frac{mg}{k} \right)^{2} - \frac{m^{2}g^{2}}{2k}$$

equilibrium:

$$x_{eq} = \frac{mg}{k}\quad\text{stable}$$

7.12 Main Exercise — 30 ข้อ

Concept Check

โจทย์ 7.1 Path independence ≠ “เส้นทางไม่สำคัญเสมอ”

แรงหนึ่งถูกระบุว่าเป็น conservative ในบริเวณ D. ให้ $C1$ และ $C2$ เป็นสองเส้นทางจาก A ไป B ภายใน D. จงพิสูจน์จาก closed-loop criterion ว่า work ตาม $C1$ และ $C2$ ต้องเท่ากัน และอธิบายว่าทำไมการตรวจเพียงวงปิดวงเดียวแล้วได้ work = 0 ยังไม่พอที่จะสรุปว่าแรง conservative.

โจทย์ 7.2 เลื่อนศูนย์ของ U แล้วอะไรเปลี่ยน?

ให้ $U^{*}(x) = U(x) + C$ โดย C เป็นค่าคงที่. จงแสดงว่า (ก) แรงไม่เปลี่ยน (ข) potential-energy difference ไม่เปลี่ยน และ (ค) ถ้าเส้นพลังงานรวมถูกเลื่อนเป็น $E^{*} = E + C$ ตำแหน่ง allowed region และ turning point ไม่เปลี่ยน. สรุปว่าปริมาณใดของ U ที่มีความหมายต่อ dynamics.

โจทย์ 7.3 อ่านทิศแรงจากภูมิประเทศพลังงาน

ที่จุด $x1$ กราฟ $U(x)$ มี slope บวก, ที่ $x2$ มี local minimum, และที่ $x3$ มี slope ลบ. จงระบุทิศของ $F_{x}$ ที่ $x1$ และ $x3$ และจัดประเภทสมดุลที่ $x2$. หากเพิ่มค่าคงที่ 100 J ให้ U ทั้งกราฟ คำตอบเปลี่ยนหรือไม่? อธิบายโดยไม่แทนสูตรอย่างเดียว.

โจทย์ 7.4 เงื่อนไขของกฎอนุรักษ์พลังงานกล

นักเรียนคนหนึ่งกล่าวว่า “พลังงานกล K+U อนุรักษ์เสมอ เพราะพลังงานอนุรักษ์เสมอ” จงวิจารณ์ข้อความนี้โดยแยกคำว่า total energy conservation ออกจาก mechanical-energy conservation และยกตัวอย่างว่าการเลือก system boundary ทำให้ friction ถูกบันทึกในสมการพลังงานได้ต่างรูปอย่างไร.

Calculus Core

โจทย์ 7.5 Double-well จากแรงลูกบาศก์

อนุภาคมวล m เคลื่อนใน 1D ภายใต้ $F_{x} = ax - bx^{3}$ โดย $a,b > 0$. กำหนด $U(0) = 0$. (ก) หา $U(x)$ (ข) หา equilibrium ทั้งหมดและจำแนกเสถียรภาพ (ค) อนุภาคเริ่มที่ minimum ด้านซ้ายด้วย speed $v0$. หาค่า $v0$ ต่ำสุดเชิงพลังงานที่ทำให้มีพลังงานพอถึงยอดกั้นที่ $x = 0$.

โจทย์ 7.6 แรงแบบชิ้นส่วนและ barrier จาก signed area

อนุภาคมวล m เคลื่อนตามแกน x. สำหรับ $0 < x < a$ ให้ $F_{x} = F0$ และสำหรับ $a < x < 2a$ ให้ $F_{x} = - 2F0$ โดย $F0 > 0$. ให้ $U(0) = 0$. (ก) สร้าง $U(x)$ ในช่วง 0 ถึง 2a ให้ต่อเนื่อง (ข) ถ้าเริ่มที่ $x = 0$ ด้วย speed $v0$ จงหาค่า $v0$ ต่ำสุดที่ทำให้ไปถึง $x = 2a$ ได้ (ค) อธิบายคำตอบด้วยพื้นที่มีเครื่องหมายใต้กราฟ F-x.

โจทย์ 7.7 Energy landscape แบบสองบ่อ

กำหนด $U(x) = U0\left\lbrack (x/a)^{4} - 2(x/a)^{2} \right\rbrack$, $U0 > 0$. (ก) หา equilibrium และจำแนกเสถียรภาพ (ข) สำหรับ $E = - U0/2$ หา allowed intervals ของ x (ค) อธิบายว่าทำไมอนุภาคที่มีพลังงานนี้ไม่สามารถย้ายจากบ่อซ้ายไปบ่อขวาได้โดยไม่รับพลังงานเพิ่ม.

โจทย์ 7.8 Nonlinear spring

แรงคืนรูปหนึ่งมิติมี $F_{x} = - kx - \beta x^{3}$ โดย $k,\beta > 0$. เลือก $U(0) = 0$. (ก) หา $U(x)$ (ข) ปล่อยอนุภาคมวล m จาก $x = A$ ด้วย $v = 0$. หาค่า speed สูงสุด (ค) ตรวจ limiting case $\beta \rightarrow 0$ และตีความว่าพจน์ β ทำให้ potential “แข็งขึ้น” อย่างไร.

โจทย์ 7.9 Logarithmic potential และแรงสูงสุด

ให้ $U(x) = U0$ $\ln\left( 1 + x^{2}/a^{2} \right)$, $U0,a > 0$. (ก) หา $F_{x}(x)$ (ข) หาตำแหน่งที่ $\left| F_{x} \right|$ มากที่สุดและค่ามากที่สุด (ค) หา asymptotic form ของแรงเมื่อ $|x| \gg a$ และอธิบายว่าทำไม origin เป็น stable equilibrium.

โจทย์ 7.10 หาเวลาโดยเริ่มจาก energy integral

อนุภาคมวล m อยู่ใน potential U(x)=αx โดย $\alpha > 0$. ที่ $x = 0$ อนุภาคเคลื่อนไปทาง +x ด้วย kinetic energy $K0$. ใช้ energy method สร้าง integral สำหรับเวลาไปถึง turning point และคำนวณ integral ให้ได้รูปปิด. ห้ามเริ่มจากสมการ constant acceleration.

โจทย์ 7.11 Well ที่มี plateau และ escape threshold

ให้ $U(x) = U0\left\lbrack 1 - \exp\left( - x^{2}/a^{2} \right) \right\rbrack$ โดย $U0 > 0$. (ก) หา $F_{x}$ (ข) ตรวจเสถียรภาพที่ $x = 0$ (ค) หา speed ต่ำสุดที่ $x = 0$ ที่ทำให้อนุภาคมวล m มีพลังงานถึง plateau $U \rightarrow U0$ เมื่อ $|x| \rightarrow \infty$ (ง) หา behavior ของ F เมื่อ $|x| \gg a$.

โจทย์ 7.12 แรง rational และศูนย์พลังงานที่อนันต์

ให้ $F_{x} = - kx/\left\lbrack 1 + x^{2}/a^{2} \right\rbrack^{2}$ โดย $k,a > 0$. กำหนด $U(\infty) = 0$. (ก) หา $U(x)$ (ข) หา depth ของ potential well ที่ $x = 0$ (ค) หา escape speed จาก $x = 0$ สำหรับอนุภาคมวล m (ง) ตรวจหน่วยของทุกพจน์.

Vector / Vector Calculus

โจทย์ 7.13 Coupled quadratic potential

ให้ $U(x,y) = \frac{k}{2}\left( x^{2} + 4y^{2} \right) + \lambda xy$ โดย $k > 0$. (ก) หาแรงเวกเตอร์ (ข) หา equilibrium เมื่อ $|\lambda| \neq 2k$ (ค) โดยการ complete the square (ไม่ใช้ Hessian matrix) หาเงื่อนไขของ λ ที่ทำให้ origin เป็น stable equilibrium.

โจทย์ 7.14 Gaussian hill ใน 2D

ให้ $U(x,y) = U0$ $\exp\left\lbrack - \left( x^{2} + y^{2} \right)/a^{2} \right\rbrack$, $U0 > 0$. (ก) หา $\mathbf{F} = - \nabla U$ (ข) อธิบายทิศแรงและเสถียรภาพของ origin (ค) หา radius ที่ $|F|$ มากที่สุด (ง) หา work ของแรงจากจุด A ไป B ในรูป U(A),U(B).

โจทย์ 7.15 ทดสอบ field แล้วสร้าง potential

ให้ $F = \alpha\left\lbrack \left( 2xy + y^{2} \right)i + \left( x^{2} + 2xy \right)j \right\rbrack$, โดย α มีหน่วย $N/m^{2}$. (ก) ตรวจ conservative ในระนาบทั้งระนาบ (ข) หา $U(x,y)$ โดยเลือก $U(0,0) = 0$ (ค) หา work จาก (0,0) ไป (a,2a) โดยไม่ทำ line integral และตรวจหน่วย.

โจทย์ 7.16 สนามหมุน: สอง path ให้ work ต่างกัน

ให้ $F = \alpha( - y$ i+x j), $\alpha > 0$. จาก $A = (R,0)$ ไป $B = (0,R)$, คำนวณ work (ก) ตาม quarter circle $r = R$ และ (ข) ตาม straight chord. เปรียบเทียบผลและเชื่อมกับ curl ของสนาม.

โจทย์ 7.17 Potential ใน 3D

ให้ F=-(2Ax+Byz)i-(2Ay+Bxz)j-(2Az+Bxy)k โดย A,B เป็นค่าคงที่ที่มีหน่วยเหมาะสม. (ก) แสดงว่า field เป็น conservative (ข) หา U โดยกำหนด $U(0,0,0) = 0$ (ค) หา work จาก origin ไป (a,a,a).

โจทย์ 7.18 Curl เป็นศูนย์แต่ global U ไม่มี

บน domain $D = \mathbb{R}^{2}\backslash\{(0,0)\}$ ให้ $F = \lambda\left\lbrack - y/\left( x^{2} + y^{2} \right)i + x/\left( x^{2} + y^{2} \right)j \right\rbrack$. (ก) แสดงว่า curl เป็นศูนย์ทุกจุดใน D (ข) คำนวณ work รอบวงกลมรัศมี R ทวนเข็มนาฬิกา (ค) สรุปว่ามี global single-valued U บน D หรือไม่ (ง) เขียน local potential บนบริเวณที่เลือก branch ของมุม θ ได้.

โจทย์ 7.19 Equipotential contour กับกำลัง

ให้ $U(x,y) = U0\left( x^{2}/a^{2} + y^{2}/b^{2} \right)$. (ก) หา F (ข) แสดงว่า F ตั้งฉากกับเส้น contour $U = constant$ (ค) ถ้าอนุภาคถูก constraint ให้เคลื่อนตาม contour หนึ่ง จงแสดงว่า instantaneous power ของแรง conservative นี้เป็นศูนย์ และอธิบายว่าข้อสรุปนี้ไม่ได้แปลว่าแรงเป็นศูนย์.

โจทย์ 7.20 ใช้ potential แล้วตรวจด้วย parameterization

ให้ $F = - k(x$ i+y j), $k > 0$. จาก $A = (a,0)$ ไป $B = (0,2a)$. (ก) หา U และ work จาก endpoint method (ข) ตรวจคำตอบด้วย line integral ตามเส้นตรง $r(t) = a(1 - t)i + 2at$ j, $0 \leq t \leq 1$.

โจทย์ 7.21 Saddle potential จาก conservative field

ให้ F=(αy+β)i+(αx+γ)j โดย $\alpha \neq 0$. (ก) ตรวจ conservative และหา U (ข) หา equilibrium (ค) เปลี่ยนตัวแปร $X = x + \gamma/\alpha$, $Y = y + \beta/\alpha$ แล้วแสดงว่าใกล้ equilibrium potential เป็น saddle; จึงไม่ใช่ stable minimum แม้ $F = 0$.

Olympiad-style Synthesis

โจทย์ 7.22 Loop-the-loop: energy + contact constraint

ลูกปัดมวล m เคลื่อนโดยไม่มีแรงเสียดทานด้านในรางวงกลมแนวดิ่งรัศมี R. ที่จุดล่างสุดมี speed $v0$. หา $v0$ ต่ำสุดที่ทำให้ลูกปัดครบวงโดยไม่หลุดจากราง. ต้องใช้ทั้ง energy conservation และเงื่อนไขแรงปฏิกิริยาที่จุดบนสุด.

โจทย์ 7.23 หลุดจากผิวทรงกลม

อนุภาคเล็กเริ่มจากหยุดนิ่งที่ยอดผิวด้านนอกของทรงกลมเรียบรัศมี R และไถลโดยไม่มีแรงเสียดทาน. ให้ θ เป็นมุมวัดจากแนวดิ่งผ่านยอด. หา θ ที่อนุภาคหลุดจากผิว. แสดงชัดว่าพลังงานอย่างเดียวไม่พอ: ต้องใช้ radial dynamics เพื่อหาจุด $N = 0$.

โจทย์ 7.24 Constraint ทำให้เกิด effective energy landscape

ลูกปัดเคลื่อนแบบไร้แรงเสียดทานบนลวดในระนาบแนวดิ่งที่มีรูป $y = h\left\lbrack (x/a)^{4} - 2(x/a)^{2} \right\rbrack$, $h > 0$. มีเพียงแรงโน้มถ่วงและแรง constraint. (ก) ใช้ x เป็นพิกัดของ configuration และสร้าง $U_{e}ff(x)$ (ข) หา equilibrium และเสถียรภาพ (ค) จาก minimum ซ้าย $x = - a$ หา speed ต่ำสุดเชิงพลังงานที่ต้องให้เพื่อมีพลังงานถึงยอดกั้น $x = 0$.

โจทย์ 7.25 Parameter-controlled change of stability

พิจารณา $U_{\mu}(x) = k$ $x^{4}/\left( 4a^{2} \right) + k(1 - \mu)x^{2}/2$ โดย $k,a > 0$ และ μ เป็น dimensionless parameter. (ก) หา equilibrium เป็นฟังก์ชันของ μ (ข) จำแนกเสถียรภาพสำหรับ $\mu < 1$, $\mu = 1$, $\mu > 1$ (ค) เมื่อ $\mu > 1$ หา barrier height จาก minimum หนึ่งถึง $x = 0$. เน้นกรณี $\mu = 1$ ซึ่ง $U^{''}(0) = 0$.

โจทย์ 7.26 Vertical spring + gravity โดยรวม potential

มวล m แขวนกับสปริงค่าคงที่ k ในแนวดิ่ง. ให้ x วัดลงจากความยาวธรรมชาติของสปริง. (ก) สร้าง total potential $U(x)$ ของ spring+gravity (ข) complete the square เพื่อหา equilibrium และแสดงว่า stable (ค) ปล่อยจาก $x = 0$ ด้วย $v = 0$ หา turning point อีกด้านและ speed สูงสุด. ห้ามแก้ SHM differential equation.

โจทย์ 7.27 Mechanical energy decay under drag

อนุภาคมวล m เคลื่อนใน 1D ภายใต้ conservative potential $U(x)$ และมี drag $F_{d} = - bv$, $b > 0$. นิยาม $E_{m}ech = K + U$. (ก) พิสูจน์ว่า $dE_{m}ech/dt = - bv^{2} \leq 0$ (ข) เขียนพลังงานที่สูญเสียระหว่าง t1,t2 เป็น integral (ค) อธิบายว่าทำไมผลนี้ไม่ขัดกับ conservation of total energy.

โจทย์ 7.28 ที่ threshold ของ barrier: “ถึงยอด” ในเวลาจำกัดหรือไม่?

ให้ $U(x) = U0\left\lbrack 1 - (x/a)^{2} \right\rbrack^{2}$. อนุภาคมวล m เริ่มที่ $x = - a$. (ก) หา minimum initial speed ตามเกณฑ์พลังงานที่ทำให้ $E = U(0)$ (ข) สำหรับกรณี $E = U0$ ใช้ energy integral วิเคราะห์เวลาเมื่อ $x \rightarrow 0^{-}$ และแสดงว่าเวลา diverges. อธิบายความต่างระหว่าง “energetically allowed to reach barrier energy” กับ “cross barrier in finite time”.

โจทย์ 7.29 Radial conservative + topological circulation

บน punctured plane ให้องค์ประกอบเชิงขั้ว $F_{r} = - kr$ และ $F_{\theta} = \lambda/r$ โดย $k > 0$. (ก) แยกส่วนที่เขียนด้วย potential ได้และหา $U_{r}$ (ข) หา work รอบวงกลมรัศมี R หนึ่งรอบ (ค) เปรียบเทียบ work จาก (R,0) ไป (R,π) ตาม upper และ lower semicircle (ง) อธิบายว่าจะใช้ mechanical-energy method กับ full field อย่างไรโดยไม่สร้าง global U ปลอม.

โจทย์ 7.30 Inverse mechanics จาก speed profile

อนุภาคมวล m เคลื่อนใน 1D ภายใต้แรง conservative และมี speed profile $v(x) = v0$ $\sqrt{1 - (x/a)^{4}}$ สำหรับ $|x| \leq a$. เลือก $U(0) = 0$. (ก) หา total energy E และ $U(x)$ (ข) หา $F_{x}(x)$ (ค) หา turning points (ง) ตรวจเสถียรภาพของ $x = 0$ และอธิบายว่าทำไม $U^{''}(0) = 0$ ไม่ได้หมายความว่า “ตัดสินเสถียรภาพไม่ได้ตลอดไป”.

7.13 Cheat Sheet — ต้องรู้ทั้งสมการและเงื่อนไข

$$U_{B} - U_{A} = - \int_{A}^{B}\mathbf{F}_{c} \cdot d\mathbf{r}$$

เงื่อนไข: ใช้ได้เมื่อ force/interaction conservative บน domain ที่เหมาะสม

$$\mathbf{F}_{c} = - \nabla U$$

เงื่อนไข: U differentiable; force points toward steepest decrease of U

$$\nabla \times \mathbf{F} = \mathbf{0}$$

เงื่อนไข: necessary for smooth gradient field; converse ต้องมี domain caveat

$$\Delta E_{mech} = W_{nc}$$

เงื่อนไข: ต้องระบุ system boundary และสิ่งใดถูกเก็บไว้ใน U

$$E = K + U = const.$$

เงื่อนไข: special case เมื่อไม่มี nonconservative work/energy-transfer term ใน model

$$U(x) \leq E$$

เงื่อนไข: allowed region ใน 1D conservative model

$$U\left( x_{t} \right) = E$$

เงื่อนไข: turning-point candidate; ตรวจ local motion

$$U'\left( x_{eq} \right) = 0$$

เงื่อนไข: equilibrium candidate

7.14 Reference notes

แหล่งต่อไปนี้ถูกเปิดตรวจจริงสำหรับ Chapter 7: Young & Freedman 15th ed. SI Ch.7; Knight 4th ed. Ch.10; Tipler & Mosca 6th ed. Ch.7; Serway & Jewett 10th ed. Chs.7–8; MIT OpenCourseWare 18.02/18.02SC สำหรับ vector-field/path-independence/curl-domain extension.

โจทย์ 7.1–7.30 และคำอธิบาย/กราฟที่จัดทำขึ้นในบทนี้เป็น original authoring ของโครงการ ไม่ได้อ้างว่าเป็นโจทย์จากตำรา.