งาน พลังงานจลน์ และกำลัง

หลักคิดการเรียนบทนี้: อย่าเริ่มจากถามว่า “สูตรไหน?” ให้ถามก่อนว่า “โจทย์ต้องการเชื่อมสถานะต้น–ปลายโดยไม่สนใจเวลาใช่ไหม?” ถ้าใช่ งาน–พลังงานมักเป็นภาษาที่เหมาะมาก.

6.1 ทำไมต้องมีมุมมองงาน–พลังงาน?

จาก Part 1 นักเรียนรู้แล้วว่าแรงสุทธิทำให้ความเร็วเปลี่ยนผ่านกฎของนิวตัน บทนี้จะเปลี่ยนมุมมองจาก “แรง → ความเร่ง → เวลา” ไปเป็น “แรงตลอดเส้นทาง → การเปลี่ยนพลังงานจลน์” โดยใช้แคลคูลัสและเวกเตอร์ที่เรียนมาแล้วเป็นเครื่องมือ

6.2 งานของแรง: dot product ระหว่างแรงกับการกระจัด

นิยามงานเชิงอนุพันธ์ของแรงที่กระทำต่ออนุภาคเมื่อเกิดการกระจัดเล็กมากคือ

$$dW = \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}$$

แหล่งอ้างอิงสมการ (ตรวจจากต้นฉบับ): Young & Freedman, 15th ed. SI, Ch. 6 §6.3, pp. 213–214 (work along a curved path); Tipler & Mosca, 6th ed., Ch. 6 §§6-3–6-4, pp. 182–188.

ถ้าแรงคงที่และการกระจัดรวมเป็น Δr จะได้

$$W = \mathbf{F} \cdot \Delta\mathbf{r} = F\,\Delta r\cos\theta$$

แหล่งอ้างอิงสมการ (ตรวจจากต้นฉบับ): Young & Freedman, 15th ed. SI, Ch. 6 §6.1, p. 201, Eq. (6.1); Wolfson, 4th ed., Ch. 6 §6.2, pp. 96–99 (cross-check).

6.3 Dot product: ภาษาคณิตศาสตร์ที่ซ่อนอยู่ในงาน

ถ้านักเรียนยังไม่คุ้นสัญลักษณ์ dot product ให้คิดว่า “เอาเวกเตอร์หนึ่งฉายลงบนอีกเวกเตอร์หนึ่ง แล้วคูณขนาดกัน” เขียนได้ทั้งรูปขนาด–มุมและรูปองค์ประกอบ

$$\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = AB\cos\theta = A_{x}B_{x} + A_{y}B_{y} + A_{z}B_{z}$$

แหล่งอ้างอิงสมการ (ตรวจจากต้นฉบับ): Young & Freedman, 15th ed. SI, Ch. 1 §1.10, pp. 47–49, Eqs. (1.16), (1.19); Tipler & Mosca, 6th ed., Ch. 6 §6-3, p. 182.

6.4 แรงแปรผัน: งานคือผลรวมเชิงอินทิกรัล

สำหรับการเคลื่อนที่หนึ่งมิติตามแกน x

$$W_{A \rightarrow B} = \int_{x_{A}}^{x_{B}}F_{x}(x)\, dx$$

แหล่งอ้างอิงสมการ (ตรวจจากต้นฉบับ): Young & Freedman, 15th ed. SI, Ch. 6 §6.3, p. 210, Eq. (6.7); Bauer & Westfall, 2nd ed., Ch. 5 §5.5, p. 145 (cross-check).

ตัวอย่างแรงสปริงใน Chapter 6 เราใช้เพื่อฝึก variable-force work เท่านั้น โดยยังไม่เรียกใช้ potential energy

$$F_{s} = - kx$$

แหล่งอ้างอิงสมการ (ตรวจจากต้นฉบับ): Young & Freedman, 15th ed. SI, Ch. 6 §6.3, pp. 210–211 (Hooke-law work example); Bauer & Westfall, 2nd ed., Ch. 5 §5.6, p. 146.

$$W_{s} = \int_{x_{A}}^{x_{B}}( - kx)\, dx = \frac{1}{2}k\left( x_{A}^{2} - x_{B}^{2} \right)$$

แหล่งอ้างอิงสมการ (ตรวจจากต้นฉบับ): Young & Freedman, 15th ed. SI, Ch. 6 §6.3, pp. 210–211; Tipler & Mosca, 6th ed., Ch. 6 §6-2, pp. 179–182.

6.5 หลายมิติ: line integral และเส้นทางจริง

$$W_{A \rightarrow B} = \int_{C}^{}\mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}$$

แหล่งอ้างอิงสมการ (ตรวจจากต้นฉบับ): Young & Freedman, 15th ed. SI, Ch. 6 §6.3, pp. 213–214 (work–energy theorem along a curve); Tipler & Mosca, 6th ed., Ch. 6 §6-4, p. 188.

6.6 พลังงานจลน์: ตัวเลขที่บอกผลของ “มวล × ความเร็ว²”

$$K = \frac{1}{2}mv^{2}$$

แหล่งอ้างอิงสมการ (ตรวจจากต้นฉบับ): Young & Freedman, 15th ed. SI, Ch. 6 §6.2, pp. 205–206, Eq. (6.5); Wolfson, 4th ed., Ch. 6 §6.4, p. 103.

6.7 ทฤษฎีบทงาน–พลังงานจลน์

$$W_{net} = \sum_{i}^{}W_{i} = \int_{A}^{B}\mathbf{F}_{net} \cdot d\mathbf{r}$$

แหล่งอ้างอิงสมการ (ตรวจจากต้นฉบับ): Young & Freedman, 15th ed. SI, Ch. 6 §§6.2–6.3, pp. 205–214; Serway & Jewett, 10th ed., Ch. 7 §§7.4–7.5, pp. 156–164 (cross-check).

$$W_{net} = K_{B} - K_{A} = \Delta K$$

แหล่งอ้างอิงสมการ (ตรวจจากต้นฉบับ): Young & Freedman, 15th ed. SI, Ch. 6 §6.2, pp. 205–206, Eq. (6.6), and §6.3 pp. 212–214 for varying/curved-path extension; Knight, 4th ed., Ch. 9 §9.2, pp. 209–213.

$$K_{B} = K_{A} + W_{net}$$

6.7.1 Derivation ที่ควรเข้าใจ

สำหรับอนุภาคมวลคงที่ในกรอบเฉื่อย เริ่มจาก Newton’s second law

$$\mathbf{F}_{net} = m\frac{d\mathbf{v}}{dt}$$

แหล่งอ้างอิงสมการ (ตรวจจากต้นฉบับ): Young & Freedman, 15th ed. SI, Ch. 6 §6.2 pp. 204–205 และ §6.3 pp. 212–214; derivation cross-check: Tipler & Mosca, 6th ed., Ch. 6 §6-4, p. 188.

เพราะ dr=vdt และ dv=(dv/dt)dt เราจึงได้

$$\mathbf{F}_{net} \cdot d\mathbf{r} = m\mathbf{v} \cdot d\mathbf{v} = d\left( \frac{1}{2}mv^{2} \right)$$

อินทิเกรตจาก A ไป B จึงได้ W_net=ΔK. จุดสำคัญไม่ใช่จำ algebra แต่ต้องรู้ว่า derivation ใช้ particle model, มวลคงที่ และกฎของนิวตันในกรอบอ้างอิงเฉื่อย

6.8 กำลัง: อัตราการถ่ายโอนพลังงานเชิงกล

$$P_{av} = \frac{\Delta W}{\Delta t}$$

แหล่งอ้างอิงสมการ (ตรวจจากต้นฉบับ): Young & Freedman, 15th ed. SI, Ch. 6 §6.4, pp. 215–216, Eq. (6.15); Wolfson, 4th ed., Ch. 6 §6.5, p. 105.

$$P = \frac{dW}{dt}$$

แหล่งอ้างอิงสมการ (ตรวจจากต้นฉบับ): Young & Freedman, 15th ed. SI, Ch. 6 §6.4, p. 216, Eq. (6.16); Bauer & Westfall, 2nd ed., Ch. 5 §5.7, p. 150.

$$P = \mathbf{F} \cdot \mathbf{v} = Fv\cos\theta$$

แหล่งอ้างอิงสมการ (ตรวจจากต้นฉบับ): Young & Freedman, 15th ed. SI, Ch. 6 §6.4, pp. 216–217, Eqs. (6.18)–(6.19); Knight, 4th ed., Ch. 9 §9.6, p. 224 (cross-check).

$$W = \int_{t_{A}}^{t_{B}}P(t)\, dt$$

แหล่งอ้างอิงสมการ (ตรวจจากต้นฉบับ): ผลย้อนกลับจากนิยาม P=dW/dt โดย integration; นิยาม P ตรวจจาก Young & Freedman, 15th ed. SI, §6.4, p. 216.

หน่วยและมิติ

$$\lbrack W\rbrack = ML^{2}T^{- 2},\quad\quad\lbrack P\rbrack = ML^{2}T^{- 3}$$

แหล่งอ้างอิงสมการ (ตรวจจากต้นฉบับ): ตรวจหน่วยจาก 1 J = 1 N·m = 1 kg·m²/s² และ 1 W = 1 J/s; Young & Freedman, 15th ed. SI, Ch. 6 §§6.1, 6.4, pp. 201, 216.

6.9 เลือกเครื่องมือให้ตรงโจทย์

ความเข้าใจผิดที่พบบ่อย

• งานของแรงหนึ่งตัวไม่จำเป็นต้องเท่ากับ ΔK; ต้องเป็นงานสุทธิรวมทุกแรง

• W_net=0 ไม่ได้แปลว่าไม่มีแรง — แรงอาจเปลี่ยนทิศของ v แต่ไม่เปลี่ยน speed

• normal force ไม่ได้ “ทำงานเป็นศูนย์เสมอ” โดยนิยาม ต้องตรวจ N·dr ของระบบ/จุดที่พิจารณา

• งานจากกราฟ F–x ต้องคิด signed area ไม่ใช่พื้นที่เรขาคณิตแบบค่าบวกทั้งหมด

• K ไม่มีทิศ แต่ขึ้นกับกรอบอ้างอิง

• กรณีทั่วไปใช้ $P = \mathbf{F} \cdot \mathbf{v} = Fv\cos\theta$. ถ้าแรงกับ velocity ทิศเดียวกัน $P = + Fv$; ถ้าสวนทางกัน $P = - Fv$; ถ้าตั้งฉากกัน $P = 0$.

6.10 Cheat Sheet — สมการหลักและคำถามที่ต้องถามตัวเอง

6.11 Worked Examples — ฝึกเลือกหลักการก่อนแทนสูตร

Example 1 — แรงดึงเอียงกับแรงเสียดทาน

Example 2 — อ่านกราฟ F–x

Example 3 — แรงกำลังสองของตำแหน่ง

Example 4 — งานของสปริงโดยยังไม่ใช้ U

Example 5 — constant vector force บนเส้นทางโค้ง

Example 6 — มีแรงแต่ W_net=0

Example 7 — กำลังของมอเตอร์ยกของ

Example 8 — constant power

6.12 Mathematical Extension — Gradient, Curl และสนามแรง

ทำไมเพิ่มส่วนนี้? ในโจทย์งานหลายมิติ เราไม่ได้สนใจเพียงค่าแรง ณ จุดเดียว แต่สนใจว่าเวกเตอร์แรงเปลี่ยนไปอย่างไรในอวกาศ การใช้ gradient และ curl ช่วยตอบคำถามสำคัญสองแบบ: “สนามนี้มาจาก scalar potential ได้หรือไม่?” และ “งานขึ้นกับเส้นทางหรือไม่?” ส่วนนี้ใช้ vector calculus เท่าที่จำเป็นต่อ mechanics เท่านั้น และยังไม่ใช้ Green’s theorem, Stokes’ theorem หรือ divergence theorem.

6.12.1 ตัวดำเนินการ nabla และ gradient

ในพิกัดคาร์ทีเซียน กำหนดตัวดำเนินการ

$$\nabla = \widehat{\mathbf{i}}\frac{\partial}{\partial x} + \widehat{\mathbf{j}}\frac{\partial}{\partial y} + \widehat{\mathbf{k}}\frac{\partial}{\partial z}.$$

เมื่อกระทำต่อ scalar field $\phi(x,y,z)$ จะได้ gradient

$$\nabla\phi = \frac{\partial\phi}{\partial x}\widehat{\mathbf{i}} + \frac{\partial\phi}{\partial y}\widehat{\mathbf{j}} + \frac{\partial\phi}{\partial z}\widehat{\mathbf{k}}.$$

สัญลักษณ์: $\partial/\partial x$ คือ partial derivative โดยถือว่าตัวแปรอื่นคงที่; $\nabla\phi$ เป็นเวกเตอร์และชี้ไปในทิศที่ $\phi$ เพิ่มเร็วที่สุดเฉพาะที่.

มองแบบคณิตศาสตร์: สำหรับการกระจัดเล็กมาก $d\mathbf{r}$ การเปลี่ยนแปลงของ scalar field เขียนได้

$$d\phi = \nabla\phi \cdot d\mathbf{r}.$$

ดังนั้นถ้าสนามแรงเขียนได้เป็น $\mathbf{F} = \nabla\phi$ จะได้

$$\int_{C}^{}\mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \phi(B) - \phi(A),$$

ซึ่งขึ้นกับจุดต้น–ปลายเท่านั้น ไม่ขึ้นกับรูปร่างของเส้นทาง $C$.

ในกลศาสตร์นิยมใช้ potential energy $U$ และ convention

$$\boxed{\mathbf{F} = - \nabla U}$$

จึงได้ $W_{A \rightarrow B} = U(A) - U(B)$. ความหมายเชิงพลังงานของ $U$ จะพัฒนาเต็มรูปใน Chapter 7; ใน Chapter 6 ใช้สมการนี้เป็นสะพานเชื่อมกับ line integral เท่านั้น.

6.12.2 Curl — ตรวจการหมุนเวียนเฉพาะที่ของสนาม

สำหรับสนามเวกเตอร์ $\mathbf{F} = F_{x}\widehat{\mathbf{i}} + F_{y}\widehat{\mathbf{j}} + F_{z}\widehat{\mathbf{k}}$ นิยาม

$$\nabla \times \mathbf{F} = \left( \frac{\partial F_{z}}{\partial y} - \frac{\partial F_{y}}{\partial z} \right)\widehat{\mathbf{i}} + \left( \frac{\partial F_{x}}{\partial z} - \frac{\partial F_{z}}{\partial x} \right)\widehat{\mathbf{j}} + \left( \frac{\partial F_{y}}{\partial x} - \frac{\partial F_{x}}{\partial y} \right)\widehat{\mathbf{k}}.$$

ในปัญหา 2 มิติที่ $F_{z} = 0$ เรามักใช้เฉพาะองค์ประกอบแกน $z$:

$$\left( \nabla \times \mathbf{F} \right)_{z} = \frac{\partial F_{y}}{\partial x} - \frac{\partial F_{x}}{\partial y}.$$

มองแบบคณิตศาสตร์: curl วัดแนวโน้มการหมุนเวียนเฉพาะที่ของสนาม. ถ้า $\mathbf{F}$ เป็น gradient field ที่อนุพันธ์ต่อเนื่องดี จะมี $\nabla \times \mathbf{F} = \mathbf{0}$.

เงื่อนไขที่ต้องระวัง: การพบ $\nabla \times \mathbf{F} = \mathbf{0}$ เพียงอย่างเดียวไม่รับประกัน path independence ทั่วทั้งบริเวณเสมอไป ถ้าบริเวณมีรูหรือมีจุดที่สนามไม่ถูกนิยาม. ในบริเวณ simply connected ที่สนามเรียบเพียงพอ เงื่อนไข curl เป็นศูนย์จึงใช้เป็นเกณฑ์ conservative ได้.

6.12.3 วิธีใช้ grad/curl ในโจทย์ mechanics

ถ้าโจทย์ให้เส้นทางจริง $\mathbf{r}(t)$: คำนวณ $d\mathbf{r} = \left( d\mathbf{r}/dt \right)dt$ แล้วใช้ $W = \int\mathbf{F}\left( \mathbf{r}(t) \right) \cdot \left( d\mathbf{r}/dt \right)dt$.

ถ้าสงสัยว่า work path-independent: ตรวจ curl และ domain ก่อน.

ถ้าพบ scalar potential $\phi$ ที่ $\mathbf{F} = \nabla\phi$: ใช้ fundamental theorem for line integrals เพื่อแทน line integral ยาว ๆ ด้วย $\phi(B) - \phi(A)$.

ในกลศาสตร์ เมื่อใช้ potential energy ให้จำเครื่องหมาย $\mathbf{F} = - \nabla U$.

แหล่งตรวจสอบสำหรับส่วนขยายนี้: MIT OpenCourseWare 18.02SC Multivariable Calculus, Part B: Vector Fields and Line Integrals (Sessions 57–64) และหัวข้อ simply connected/conservative fields; OpenStax, University Physics Volume 1, §8.2 สำหรับความสัมพันธ์ระหว่าง conservative force, line integral และ $\mathbf{F} = - \nabla U$.

6.13 แบบฝึกหัด Chapter 6 — Advanced Calculus & Vector Calculus

ชุดนี้ตั้งใจลดโจทย์แทนสูตรระดับมัธยมปลาย เหลือ concept checks ที่จำเป็น และให้น้ำหนักกับ integral, parameterization, gradient, curl, path dependence, power และ work–energy synthesis. โจทย์ทั้งหมดในชุดนี้เขียนขึ้นใหม่สำหรับตำราเล่มนี้ จึงไม่มีวงเล็บอ้าง textbook ต่อท้ายโจทย์.

Concept Checks — สั้นแต่ต้องอธิบายฟิสิกส์

ข้อ 6.1 อนุภาคเคลื่อนด้วย speed คงที่เป็นวงกลม โดยแรงสุทธิชี้เข้าศูนย์กลางตลอดเวลา. ใช้ $P = \mathbf{F}_{net} \cdot \mathbf{v}$ และ work–energy theorem พิสูจน์ว่า kinetic energy คงที่ แม้ $\mathbf{F}_{net} \neq \mathbf{0}$.

ข้อ 6.2 กรอบ $S'$ เคลื่อนด้วยความเร็วคงที่ $\mathbf{u}$ เทียบกับกรอบ $S$. อนุภาคมวล $m$ มีความเร็ว $\mathbf{v}$ ใน $S$. จาก $\mathbf{v}' = \mathbf{v} - \mathbf{u}$ จงแสดงว่า

$$K' - K = - m\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} + \frac{1}{2}mu^{2},$$

และหาเงื่อนไขที่ $K' = K$.

ข้อ 6.3 สมมติว่างานของสนามแรงจากจุด $A$ ไป $B$ ตามเส้นทาง $C_{1}$ และ $C_{2}$ ได้ค่าไม่เท่ากัน. พิสูจน์ว่าในบริเวณที่ครอบคลุมเส้นทางทั้งสอง ไม่สามารถมี scalar function แบบค่าเดียว $U$ ที่ทำให้ $\mathbf{F} = - \nabla U$ ได้.

ข้อ 6.4 ให้

$$\mathbf{F} = \frac{A}{x^{2} + y^{2}}\left( - y\widehat{\mathbf{i}} + x\widehat{\mathbf{j}} \right),\quad\quad A = 2.0\, N\, m.$$

แสดงว่า $\left( \nabla \times \mathbf{F} \right)_{z} = 0$ ทุกจุดที่ $(x,y) \neq (0,0)$. (b) คำนวณ work รอบวงกลมรัศมี $R$ หนึ่งรอบทวนเข็มนาฬิกา. (c) อธิบายว่าทำไมข้อ (a) ไม่ขัดกับคำตอบข้อ (b).

Calculus Core — งาน พลังงาน และกำลัง

ข้อ 6.5 แรง

$$F_{x} = (6\, N) - (2\, N/m)x$$

กระทำจาก $x = 0$ ถึง $x = 4\, m$. หา work และตีความจาก signed area ของกราฟ $F_{x} - x$.

ข้อ 6.6 มวล $1.0\, kg$ เริ่มหยุดนิ่งที่ $x = 0$ ภายใต้แรงสุทธิ

$$F_{x} = F_{0}e^{- x/L},\quad\quad F_{0} = 10\, N,\quad L = 2.0\, m.$$

หา $v(x)$ และหาค่า $\lim_{x \rightarrow \infty}v(x)$.

ข้อ 6.7 วัตถุมวล $m$ เคลื่อนแนวตรงภายใต้แรงต้าน $F_{x} = - cv^{2}$. ใช้ Newton + chain rule หรือ work–energy แสดงว่าระยะที่ speed ลดจาก $v_{0}$ เป็น $v_{0}/2$ คือ

$$\Delta x = \frac{m}{c}\ln 2.$$

คำนวณเมื่อ $m = 1000\, kg$ และ $c = 50\, kg/m$.

ข้อ 6.8 วัตถุมวล $m$ ได้รับอัตราการถ่ายโอนพลังงานเชิงกลคงที่ $P$. เริ่มจาก speed $v_{0}$. จาก $P = dK/dt$ จง derive $v(t)$. แล้วคำนวณกรณี $m = 100\, kg$, $P = 5.0\, kW$, $v_{0} = 0$, $t = 10\, s$. ใช้ idealized constant-power energy-transfer model.

ข้อ 6.9 แรงสุทธิ

$$F_{x} = \frac{A}{x},\quad\quad A = 6.0\, N\, m$$

กระทำกับมวล $3.0\, kg$ จาก $x = 1\, m$ ถึง $x = e^{2}\, m$. ถ้า $v_{A} = 2.0\, m/s$ หา $v_{B}$.

ข้อ 6.10 มวล $2.0\, kg$ เริ่มหยุดนิ่งที่ $x = 0$ ภายใต้

$$F_{x} = F_{0}\left( 1 - \frac{x}{L} \right),\quad\quad F_{0} = 10\, N,\quad L = 2.0\, m.$$

หา $x$ ที่ speed มากที่สุดและค่าของ speed นั้น. (b) ถ้า force law นี้ใช้ต่อไป วัตถุจะหยุดชั่วขณะอีกครั้งที่ตำแหน่งใด?

Line Integrals และ Parameterized Paths

ข้อ 6.11 ให้

$$\mathbf{F} = \alpha xy\,\widehat{\mathbf{i}} + \frac{\alpha}{2}x^{2}\,\widehat{\mathbf{j}},\quad\quad\alpha = 4.0\, N/m^{2}.$$

คำนวณ work จาก $A = (0,0)$ ไป $B = (2,1)\, m$ ตามเส้นตรง $\mathbf{r}(t) = (2.0\, m)t\widehat{\mathbf{i}} + (1.0\, m)t\widehat{\mathbf{j}}$, $0 \leq t \leq 1$ โดย $t$ เป็นพารามิเตอร์ไร้มิติ. จากนั้นหา scalar potential $\phi$ ที่ $\mathbf{F} = \nabla\phi$ และตรวจคำตอบซ้ำ.

ข้อ 6.12 ให้สนามหมุน

$$\mathbf{F} = \beta\left( - y\widehat{\mathbf{i}} + x\widehat{\mathbf{j}} \right),\quad\quad\beta = 3.0\, N/m.$$

จาก $A = (R,0)$ ไป $B = (0,R)$ โดย $R = 2.0\, m$: (a) หา work ตามส่วนโค้งหนึ่งในสี่ของวงกลมทวนเข็มนาฬิกา (b) หา work ตามเส้นตรงเชื่อม $A$ กับ $B$ (c) สรุปเรื่อง path dependence.

ข้อ 6.13 อนุภาคเคลื่อนตาม

$$\mathbf{r}(t) = ut\,\widehat{\mathbf{i}} + \frac{1}{2}at^{2}\,\widehat{\mathbf{j}},\quad\quad 0 \leq t \leq T,$$

ภายใต้สนาม $\mathbf{F} = \lambda\left( y\widehat{\mathbf{i}} + x\widehat{\mathbf{j}} \right)$. ให้ $u = 2.0\, m/s$, $a = 1.0\, m/s^{2}$, $\lambda = 3.0\, N/m$ และ $T = 2.0\, s$. (a) หา instantaneous power $P(t)$ (b) integrate power เพื่อหา work (c) ตรวจซ้ำด้วย line integral.

ข้อ 6.14 เส้นทางเกลียว

$$\mathbf{r}(t) = R\cos t\,\widehat{\mathbf{i}} + R\sin t\,\widehat{\mathbf{j}} + ct\,\widehat{\mathbf{k}},\quad\quad 0 \leq t \leq 2\pi$$

อยู่ในสนาม

$$\mathbf{F} = \beta\left( - y\widehat{\mathbf{i}} + x\widehat{\mathbf{j}} \right) + F_{z}\widehat{\mathbf{k}}.$$

ให้ $R = 1.5\, m$, $c = 0.20\, m/rad$, $\beta = 2.0\, N/m$ และ $F_{z} = 4.0\, N$. หา work ตลอดหนึ่งรอบ.

ข้อ 6.15 ให้

$$\mathbf{F} = \alpha\left( yz\widehat{\mathbf{i}} + xz\widehat{\mathbf{j}} + xy\widehat{\mathbf{k}} \right),\quad\quad\alpha = 5.0\, N/m^{2}.$$

จาก $A = (0,0,0)$ ไป $B = (1,2,3)\, m$: (a) คำนวณ work ตามเส้นตรง $\mathbf{r}(t) = \left\lbrack (1.0\, m)t \right\rbrack\widehat{\mathbf{i}} + \left\lbrack (2.0\, m)t \right\rbrack\widehat{\mathbf{j}} + \left\lbrack (3.0\, m)t \right\rbrack\widehat{\mathbf{k}}$, $0 \leq t \leq 1$ โดย $t$ เป็นพารามิเตอร์ไร้มิติ (b) หา scalar potential และตรวจซ้ำ.

ข้อ 6.16 แรงคงที่ $\mathbf{F} = \left( 2\widehat{\mathbf{i}} - 3\widehat{\mathbf{j}} + 4\widehat{\mathbf{k}} \right)\, N$. พิสูจน์จาก line integral ว่า work จาก $A$ ไป $B$ ไม่ขึ้นกับเส้นทาง แล้วคำนวณเมื่อ $A = (1,0, - 1)\, m$ และ $B = (4,2,3)\, m$.

ข้อ 6.17 ให้

$$\mathbf{F} = \gamma\left( y^{2}\widehat{\mathbf{i}} + 2xy\widehat{\mathbf{j}} \right),\quad\quad\gamma = 1.0\, N/m^{2}.$$

อนุภาคเคลื่อนตามพาราโบลา $y = x^{2}/L$ จาก $(0,0)$ ถึง $(L,L)$ โดย $L = 2.0\, m$. คำนวณ work ด้วยการ parameterize ด้วย $x$, แล้วตรวจว่าผลตรงกับ scalar potential หรือไม่.

ข้อ 6.18 สำหรับสนาม $\mathbf{F} = \beta\left( - y\widehat{\mathbf{i}} + x\widehat{\mathbf{j}} \right)$ ให้คำนวณ line integral รอบสี่เหลี่ยมผืนผ้า $0 \leq x \leq a$, $0 \leq y \leq b$ ทวนเข็มนาฬิกา โดยรวมทีละด้าน. ให้ $\beta = 2.0\, N/m$, $a = 3.0\, m$, $b = 1.0\, m$.

Gradient และ Curl

ข้อ 6.19 Potential energy

$$U(x,y) = U_{0}\left( \frac{x^{2}}{a^{2}} + 2\frac{y^{2}}{b^{2}} \right)$$

โดย $U_{0} = 10\, J$, $a = 2.0\, m$, $b = 1.0\, m$. หา $\mathbf{F} = - \nabla U$ และประเมินแรงที่ $(x,y) = (1.0,0.50)\, m$.

ข้อ 6.20 ให้ $\mathbf{F} = - kx\widehat{\mathbf{i}} - 2ky\widehat{\mathbf{j}}$, $k = 4.0\, N/m$. (a) ตรวจ curl (b) หา $U(x,y)$ ที่ $\mathbf{F} = - \nabla U$ และ $U(0,0) = 0$ (c) หา $U(2,1)$.

ข้อ 6.21 ให้

$$\mathbf{F} = (ay + cz)\widehat{\mathbf{i}} + (ax + dz)\widehat{\mathbf{j}} + (cx + dy)\widehat{\mathbf{k}}$$

โดย $a = 2.0\, N/m$, $c = 1.0\, N/m$, $d = 3.0\, N/m$. (a) หา $\nabla \times \mathbf{F}$ (b) หา $\phi$ ที่ $\mathbf{F} = \nabla\phi$ (c) หา work จาก $(0,0,0)$ ไป $(1,2,1)\, m$.

ข้อ 6.22 สำหรับ $\mathbf{F} = \beta\left( - y\widehat{\mathbf{i}} + x\widehat{\mathbf{j}} \right)$, $\beta = 3.0\, N/m$: (a) หา curl (b) หา circulation/work รอบวงกลมรัศมี $R = 2.0\, m$ หนึ่งรอบทวนเข็มนาฬิกา (c) อธิบายว่าผลสองส่วนสัมพันธ์กันอย่างไรโดยไม่ใช้ Green’s theorem.

ข้อ 6.23 สนาม

$$\mathbf{F} = \frac{A}{x^{2} + y^{2}}\left( - y\widehat{\mathbf{i}} + x\widehat{\mathbf{j}} \right)$$

มี curl เป็นศูนย์เมื่อไม่ผ่านจุดกำเนิด. ให้ $A = 2.0\, N\, m$. จงคำนวณ work รอบวงกลมรัศมีใด ๆ และอธิบายบทบาทของ domain topology ต่อคำว่า conservative.

ข้อ 6.24 ให้

$$\mathbf{F} = (2axy + cz)\widehat{\mathbf{i}} + \left( ax^{2} + dz \right)\widehat{\mathbf{j}} + (cx + dy)\widehat{\mathbf{k}},$$

โดย $a = 1.0\, N/m^{2}$, $c = 2.0\, N/m$, $d = 3.0\, N/m$. ตรวจ curl, หา scalar potential และหา work จาก $(0,0,0)$ ไป $(1,2,1)\, m$.

Olympiad-style Synthesis

ข้อ 6.25 อนุภาคมวล $1.2\, kg$ เคลื่อนตามส่วนโค้งหนึ่งในสี่วงกลมรัศมี $R = 1.5\, m$ จาก $(R,0)$ ไป $(0,R)$ ทวนเข็มนาฬิกา ภายใต้แรงสุทธิ $\mathbf{F} = \beta\left( - y\widehat{\mathbf{i}} + x\widehat{\mathbf{j}} \right)$, $\beta = 2.0\, N/m$. ถ้า speed ต้น $2.0\, m/s$ หา speed ปลายโดยใช้ line integral + work–energy.

ข้อ 6.26 ให้

$$U(x,y) = U_{0}\left\lbrack \left( \frac{x}{a} \right)^{4} + \left( \frac{y}{b} \right)^{2} \right\rbrack,$$

$U_{0} = 12\, J$, $a = 2.0\, m$, $b = 1.0\, m$. (a) หา $\mathbf{F} = - \nabla U$ (b) อนุภาคมวล $1.5\, kg$ เคลื่อนจาก $A = (0,0)$ ด้วย speed $3.0\, m/s$ ไป $B = (1.0,0.50)\, m$. ถ้ามีแรงนี้ทำงานเพียงแรงเดียว หา speed ที่ $B$.

ข้อ 6.27 อนุภาคถูกบังคับให้เคลื่อนบนวงกลม $\mathbf{r}(t) = R\cos\omega t\,\widehat{\mathbf{i}} + R\sin\omega t\,\widehat{\mathbf{j}}$ ในสนาม $\mathbf{F} = \beta\left( - y\widehat{\mathbf{i}} + x\widehat{\mathbf{j}} \right)$. (a) แสดงว่า power ของสนามคงที่ (b) หา work ในหนึ่งรอบ. คำนวณเมื่อ $\beta = 1.5\, N/m$, $R = 2.0\, m$, $\omega = 3.0\, rad/s$.

ข้อ 6.28 มวล $m$ เคลื่อนตามแกน $x > 0$ ภายใต้แรงสุทธิ $F_{x} = kx$. เริ่มหยุดนิ่งที่ $x = x_{0} > 0$. (a) ใช้ work–energy หา $v(x)$ (b) แสดงว่าเวลาจาก $x_{0}$ ถึง $X > x_{0}$ คือ

$$t = \sqrt{\frac{m}{k}}\, arcosh\left( \frac{X}{x_{0}} \right).$$

คำนวณเมื่อ $m = 2.0\, kg$, $k = 8.0\, N/m$, $x_{0} = 0.50\, m$, $X = 2.0\, m$.

ข้อ 6.29 สนามแรงประกอบ

$$\mathbf{F} = - k\left( x\widehat{\mathbf{i}} + y\widehat{\mathbf{j}} \right) + \gamma\left( - y\widehat{\mathbf{i}} + x\widehat{\mathbf{j}} \right),$$

โดย $k = 2.0\, N/m$ และ $\gamma = 1.0\, N/m$. (a) หา curl (b) หา work จาก $(R,0)$ ไป $(0,R)$ ตาม quarter circle ทวนเข็มนาฬิกา เมื่อ $R = 2.0\, m$ (c) หา work จาก $(R,0)$ เข้าสู่จุดกำเนิดตามแนวรัศมี และอธิบายว่าพจน์ใดของสนามทำงานในแต่ละเส้นทาง.

ข้อ 6.30 สนาม $\mathbf{F} = \alpha y\widehat{\mathbf{i}}$ โดย $\alpha = 2.0\, N/m$. จาก $(0,0)$ ไป $(L,H)$ ใช้ family ของเส้นทาง

$$y = H\left( \frac{x}{L} \right)^{n},\quad\quad n > 0,$$

โดย $L = 3.0\, m$, $H = 2.0\, m$. หา $W(n)$ และวิเคราะห์ขีดจำกัดเมื่อ $n$ เข้าใกล้ศูนย์จากด้านบวก และเมื่อ $n$ เพิ่มขึ้นโดยไม่มีขอบเขต. ผลนี้บอกอะไรเกี่ยวกับ path dependence?

6.14 Equation Reference Map — สำหรับตรวจย้อนกลับ

Bibliography — แหล่งที่เปิดตรวจในฉบับนี้

• Young, H. D., Freedman, R. A., & Ford, A. L. University Physics with Modern Physics, 15th ed., SI Units. Pearson, 2020. Chapter 6: Work and Kinetic Energy, pp. 199–228; §1.10 for scalar product.

• Knight, R. D. Physics for Scientists and Engineers: A Strategic Approach with Modern Physics, 4th ed. Pearson, 2017. Chapter 9: Work and Kinetic Energy, pp. 206–230.

• Tipler, P. A., & Mosca, G. Physics for Scientists and Engineers with Modern Physics, 6th ed. W. H. Freeman, 2008. Chapter 6: Work and Kinetic Energy, pp. 173–200.

• Serway, R. A., & Jewett, J. W. Physics for Scientists and Engineers with Modern Physics, 10th ed. Cengage, 2019. Chapter 7: Energy of a System, pp. 150–180; §8.5 Power, p. 200.

• Wolfson, R. Essential University Physics, Volume 1, 4th ed. Pearson, 2020. Chapter 6: Energy, Work, and Power, pp. 94–112.

• Bauer, W., & Westfall, G. D. University Physics with Modern Physics, 2nd ed. McGraw-Hill, 2014. Chapter 5: Kinetic Energy, Work, and Power, pp. 134–159.

• MIT OpenCourseWare. 18.02SC Multivariable Calculus, Part B: Vector Fields and Line Integrals (Sessions 57–64), plus conservative fields / simply connected region material. Open educational verification source for gradient, line integrals and curl.

• OpenStax. University Physics Volume 1, §8.2 Conservative and Non-Conservative Forces. Verification source for conservative-force line integrals and F = −grad U.

• หลักสูตรฟิสิกส์ (สอวน.) สำหรับค่าย 1, ปรับปรุง พ.ศ. 2568 — ใช้กำหนดขอบเขตเนื้อหา.

• Classical Mechanics Part 1 — ใช้กำหนด prior knowledge, notation และ continuity ของตำรา.

หมายเหตุสำหรับครู: คำตอบสั้นของแบบฝึกหัดชุด Advanced Calculus & Vector Calculus แยกเป็นไฟล์ Detailed Solution Manual เพื่อให้จัดพิมพ์ฉบับนักเรียนได้สะดวก.

END OF CHAPTER 6 — Teacher Edition • Verified References • Final