คำตอบสั้น · พื้นฐานจลศาสตร์และการวิเคราะห์ด้วยกราฟ

[$a = - \frac{1.0 \mathrm{m}}{\mathrm{s}^{2}}$, กลับทิศที่ $t = 6.0 \mathrm{s}$, การกระจัด $= 16 \mathrm{m}$, ระยะทาง $= 20 \mathrm{m} .$]

[$v \left(5\right) = \frac{3 \mathrm{m}}{\mathrm{s}} ; v$ เพิ่มใน $0 \mathbin{-} 2 \mathrm{s}$, ลดใน $2 \mathbin{-} 5 \mathrm{s}$ และคงที่หลัง $5 \mathrm{s} .$]

[ข้อความเดิมผิด: $a = 0 \Rightarrow v$ คงที่ ไม่จำเป็นต้อง $v = 0 .$]

[หยุดชั่วขณะที่ $t = 1 \mathrm{s}$ และ $3 \mathrm{s}$; การกระจัด $20 \mathrm{m}$; ระยะทาง $28 \mathrm{m} .$]

[$v$ มากที่สุดที่ $t = 4.0 \mathrm{s}$ และ $v_{\mathrm{max}} = \frac{20 \mathrm{m}}{\mathrm{s}} .$]

[$x \left(t\right) = 5 + 2 t + 3 t^{2} - t^{3} m$; ตำแหน่งมากสุดที่ $t = 1 + \frac{\sqrt{15}}{3} \approx 2.291 \mathrm{s}$ และ $x_{\mathrm{max}} \approx 13.303 \mathrm{m} .$]

[$v = a_{0} \tau \left(1 - e^{- t / \tau }\right) , \Delta x = a_{0} \tau \left[t - \tau \left(1 - e^{- t / \tau }\right)\right]$, และ $v \left(\infty \right) = a_{0} \tau .$]

$\left[A = \frac{2 \left(V - v_{0}\right)}{T} , B = \frac{2 \left(V - v_{0}\right)}{T^{2}} .\right]$

[พิสูจน์ได้ว่า $x - x_{0} - v_{0} t = \left(\frac{\alpha }{6}\right) t^{3}$; กำลังสามเกิดจากการอินทิเกรต $a \propto t$ สองครั้ง.]

[$x = \left(\frac{V}{\omega }\right) \left(1 - \cos \omega t\right)$, การกระจัดหนึ่งคาบ $= 0$, ระยะทางหนึ่งคาบ $= \frac{4 V}{\omega } .$]

[$A \cdot B = - 2 ; \theta = \cos ^{-1} \left[- \frac{2}{3 \sqrt{29}}\right] \approx 97.11 {}^\circ$ เป็นมุมป้าน.]

$\left[\operatorname{proj}_{B} A = i + 3 j ; A_{\mathrm{perp}} = 3 i - j .\right]$

[$\lambda = \frac{5}{2}$ และ $\left|A \times B\right| = \frac{3 \sqrt{70}}{2} .$]

[$A \times B = - 10 i + 7 j + 9 k$ และตั้งฉากกับทั้ง $A , B .$]

$\left[\left|A \times B\right| = 20 \sqrt{3} .\right]$

[$v = 2 t i + 6 t^{2} j - k , a = 2 i + 12 t j$; ที่ $t = 1$ ได้ $v \cdot a = 76 > 0$ จึง speed กำลังเพิ่ม.]

[สมการ $v \cdot a = 0$ ให้ $t = 2 \mathrm{s}$ ในช่วงที่กำหนด แต่ที่เวลานี้ $v = 0$ ดังนั้นมุมระหว่าง $v$ กับ $a$ ไม่ได้ถูกนิยาม; เป็นกรณี degeneracy ที่ต้องระบุ.]

[$\left|A\right| = 1$ คงที่, $\dot{A} \ne 0$ เมื่อ $\omega \ne 0$ และ $A \cdot \dot{A} = 0 .$]

[speed$= R \left|\omega \right|$ คงที่ และ $r \cdot v = 0$ ทุกเวลา.]

[$\frac{d \left(r \cdot r\right)}{\mathrm{d}t} = 2 r \cdot v$; motion ที่ระยะจาก origin คงที่ต้องมี $r \cdot v = 0$ ทุกเวลา และ converse ก็จริงเมื่อเงื่อนไขถือทั้งช่วง.]

[ระยะน้อยสุดที่ $t = 1$ และ $D_{\mathrm{min}} = \sqrt{2} .$]

[$v^{2} = v_{0}^{2} + 2 a \cdot \left(r - r_{0}\right)$ สำหรับ constant vector acceleration.]

$\left[t_{\mathrm{min}} = 0.400 \mathrm{s} , \mathrm{speed}_{\mathrm{min}} = \sqrt{24.2} \approx \frac{4.92 \mathrm{m}}{\mathrm{s}} .\right]$

[$v \left(1.0\right) \approx \frac{6.0 \mathrm{m}}{\mathrm{s}}$; central difference แม่นกว่าระดับ $O \left(h^{2}\right)$ เทียบกับ one-sided $O \left(h\right) .$]

[ต้องแก้เป็น $v^{2} = v_{0}^{2} + 2 a \cdot \left(r - r_{0}\right)$; จุดสำคัญคือ dot product ทำให้ข้างขวาเป็น scalar.]

[$\Delta r = v \left(t\right) \Delta t + \left(\frac{1}{2}\right) a \left(t\right) \Delta t^{2} + O \left(\Delta t^{3}\right)$; จึง approximation แรกมี error $O \left(\Delta t^{2}\right) .$]

[tangent direction $= \frac{A , 2 B t}{\sqrt{A^{2} + 4 B^{2} t^{2}}} ; v \cdot a = 4 B^{2} t > 0$; motion เร็วขึ้นสำหรับ $t > 0 .$]

[$\left|A\right|$ คงที่ $\Rightarrow A \cdot \dot{A} = 0$; converse ต้องให้ $A \cdot \dot{A} = 0$ ตลอดช่วง ไม่ใช่เพียงขณะเดียว.]

[$t^{\ast} = - \frac{v_{0}^{2}}{a \cdot v_{0}}$; มุมฉากจริงที่เวลาบวกต้องมี $v_{0} \ne 0 , a \cdot v_{0} < 0$ และ $a$ ไม่ขนานกับ $v_{0}$ เพื่อให้ $v \left(t \ast \right) \ne 0$; หาก $a$ สวนทางและขนานกับ $v_{0}$ เวลานี้เป็นจุดหยุด ไม่ใช่มุมฉาก.]

[speed$= \sqrt{R^{2} + c^{2}} ; \cos \alpha = \frac{c}{\sqrt{R^{2} + c^{2}}} ; a = - R \left(\cos t i + \sin t j\right)$ และไม่มีองค์ประกอบ $z .$]