คำตอบสั้น · การเคลื่อนที่สองและสามมิติ: คาร์ทีเซียนและโพรเจกไทล์

[$y \left(x\right) = x \tan \theta - \frac{g x^{2}}{2 v_{0}^{2} \cos ^{2} \theta }$, ภายใต้ constant $g$ และ no drag.]

$\left[T = \frac{2 v_{0} \sin \theta }{g} , H = \frac{v_{0}^{2} \sin ^{2} \theta }{2 g} , R = \frac{v_{0}^{2} \sin 2 \theta }{g} .\right]$

[$T \approx 2.341 \mathrm{s} , H \approx 6.714 \mathrm{m} , R \approx 38.355 \mathrm{m}$, speed ที่ apex$\approx \frac{16.383 \mathrm{m}}{\mathrm{s}} .$]

[$t_{f} = \sqrt{2 h / g}$, range$= u \sqrt{2 h / g} , \alpha = \tan ^{-1} \left[\frac{\sqrt{2 g h}}{u}\right]$ ต่ำกว่าแนวนอน.]

[speed ก่อนตกกลับระดับเดิมเท่ากับ $v_{0} .$]

[พิสัยเท่ากันเสมอ; ความสูงสูงสุดทั่วไปไม่เท่ากัน และเท่ากันเฉพาะ $\theta = 45 {}^\circ .$]

$\left[t_{\mathrm{hit}} = \frac{2 v_{0} \sin \left(\theta - \phi \right)}{g \cos \phi } .\right]$

$\left[s = \frac{2 v_{0}^{2} \cos \theta \sin \left(\theta - \phi \right)}{g \cos ^{2} \phi } .\right]$

$\left[\theta _{\mathrm{opt}} = 45 {}^\circ + \frac{\phi }{2} .\right]$

[signed component ตาม normal ที่ชี้เหนือพื้นคือ $v_{n} = - v_{0} \sin \left(\theta - \phi \right)$; magnitude $= v_{0} \sin \left(\theta - \phi \right) .$]

[$v_{0} = \left(\frac{X}{T}\right) i + \left(\frac{Y}{T} + \frac{g T}{2}\right) j$ และ fixed-speed condition คือ $\left(\frac{X}{T}\right)^{2} + \left(\frac{Y}{T} + \frac{g T}{2}\right)^{2} = V^{2} .$]

$\left[v_{0} = 10 i + \frac{12.5 j \mathrm{m}}{\mathrm{s}} , V \approx \frac{16.01 \mathrm{m}}{\mathrm{s}} , \theta \approx 51.34 {}^\circ .\right]$

[$\left(\frac{g X^{2}}{2 V^{2}}\right) u^{2} - X u + \left[Y + \frac{g X^{2}}{2 V^{2}}\right] = 0$; reachable iff $V^{4} - 2 g Y V^{2} - g^{2} X^{2} \ge 0 .$]

[target เป็น apex; $X = \frac{V^{2} \sin \theta \cos \theta }{g} , Y = \frac{V^{2} \sin ^{2} \theta }{2 g}$, และ $\tan \theta = \frac{2 Y}{X} .$]

$\left[\tan \theta _{1} + \tan \theta _{2} = \frac{2 V^{2}}{g X} ; \tan \theta _{1} \tan \theta _{2} = 1 + \frac{2 V^{2} Y}{g X^{2}} .\right]$

$\left[\tan \theta _{\mathrm{opt}} = \frac{V}{\sqrt{V^{2} + 2 g h}} ; R_{\mathrm{max}} = \left(\frac{V}{g}\right) \sqrt{V^{2} + 2 g h} .\right]$

$\left[\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \tan \theta - \frac{g x}{V^{2} \cos ^{2} \theta } = \frac{v_{y}}{v_{x}} .\right]$

$\left[x = \left(\frac{V^{2} \cos ^{2} \theta }{g}\right) \left(\tan \theta - \tan \phi \right) .\right]$

[$y'' = - \frac{g}{V^{2} \cos ^{2} \theta } < 0$; Cartesian trajectory concave downward ตลอด.]

[$y \approx 18.675 \mathrm{m}$; velocity ทำมุม≈3.05° เหนือแนวนอน.]

[$x_{}$apex$= \frac{R}{2} .$]

[$r \left(2\right) = \left(6 , - 2 , 6\right) m , v \left(2\right) = \frac{\left(4 , - 3 , 3\right) \mathrm{m}}{\mathrm{s}}$; relation ให้ $20 = 20 .$]

[compatibility: $V_{f} = v_{0} + a T$ และ $R - r_{0} = \left(\frac{T}{2}\right) \left(v_{0} + V_{f}\right)$ [เท่ากับ $v_{0} T +$(1/2)$a T^{2}$].]

[trajectory อยู่ใน affine $\operatorname{span}$ ของ $r_{0} , v_{0}$ และ $a$; โดย $r - r_{0} \in \operatorname{span} \left\{v_{0} , a\right\}$ ทุก $t .$]

[$R \approx R_{\mathrm{max}} \left(1 - 2 \delta \theta ^{2}\right)$; first-order error เป็นศูนย์.]

[ประมาณ -4%; ค่า exact สำหรับ +4% คือ range ลด≈3.85%.]

[envelope: $y = \frac{V^{2}}{2 g} - \frac{g x^{2}}{2 V^{2}}$; target ที่ $y$ สูงกว่านี้ยิงไม่ถึงด้วย speed $V .$]

[ไม่ได้; $x \left(t\right)$ strictly increasing จึงแต่ละ $X$ สอดคล้องกับเวลาเดียว.]

$\left[\Delta r = 18 i - 3.525 j m ; v_{f} = 12 i - \frac{9.70 j \mathrm{m}}{\mathrm{s}} .\right]$

$\left[v_{0 x} \approx \frac{9.391 \mathrm{m}}{\mathrm{s}} , v_{0 y} \approx \frac{12.522 \mathrm{m}}{\mathrm{s}} , V \approx \frac{15.652 \mathrm{m}}{\mathrm{s}} , \theta \approx 53.13 {}^\circ .\right]$